山東省淄博第十一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高57級(jí)10月階段性考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.為空間任意一點(diǎn)，若，若，，，四點(diǎn)共面，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將化簡為：，利用四點(diǎn)共面定理可得，即可求解.因?yàn)椋?，可化簡為：，即，由于，，，四點(diǎn)共面，則，解得：；故選：C2.向量，，，則（）A.9 B.3 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)先求解出的值，然后表示出的坐標(biāo)，結(jié)合坐標(biāo)下的模長計(jì)算公式求解出結(jié)果.因?yàn)?，所以，解得，則，所以.故選：A.3.已知向量，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)m的值為（）．A. B.0 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到存在使得，從而得到方程組，得到答案.因?yàn)椴荒軜?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得.故選：C4.若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性質(zhì)列式即可作答.因隨機(jī)事件，互斥，則，依題意及概率的性質(zhì)得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C5.對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè){兩彈都擊中飛機(jī)}，{兩彈都沒擊中飛機(jī)}，{恰有一彈擊中飛機(jī)}，{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列說法不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)樣本空間、事件的運(yùn)算和含義即可解答.由于至少有一彈擊中飛機(jī)包括兩種情況：兩彈都擊中飛機(jī)，只有一彈擊中飛機(jī)，對于A，有，故A正確；對于B，事件B、D不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件互斥，所以，故B正確；對于C，成立，故C正確；對于D，{至少有一彈擊中飛機(jī)}，不是必然事件，而為必然事件，故D不正確．故選:D．6.如圖，某系統(tǒng)由A，B，C，D四個(gè)零件組成，若每個(gè)零件是否正常工作互不影響，且零件A，B，C，D正常工作的概率都為，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】要使系統(tǒng)正常工作，則A、B要都正?；蛘逤正常，D必須正常，然后利用獨(dú)立事件，對立事件概率公式計(jì)算.記零件或系統(tǒng)能正常工作的概率為，該系統(tǒng)正常工作的概率為:,故選：C.7.如圖，分別是二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)兩點(diǎn)，，，，，若，則異面直線的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求得，根據(jù)，利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由向量夾角公式可求得所求余弦值.連接，在中，由余弦定理得：，；在中，由余弦定理得：；，，即異面直線夾角的余弦值為.故選：C.8.已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則（）A.直線MN與所成角的余弦值為 B.平面與平面夾角的余弦值為C.在上存在點(diǎn)Q，使得 D.在上存在點(diǎn)P，使得平面【答案】C【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，由空間向量計(jì)算異面直線所成角，二面角和線線垂直可判斷ABC；由四點(diǎn)共面，而平面可判斷D.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，所以，，，對于A，，，直線MN與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤；對于B，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，可得，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，平面與平面夾角的余弦值為：，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)镼在上，設(shè)，所以，，則，所以，所以，，所以，解得：.故上存在點(diǎn)，使得，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，而平面，所以上不存在點(diǎn)P，使得平面，故D錯(cuò)誤.故選：C..二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說法正確的有（）A.事件A與事件B對立 B.事件A與事件B相互獨(dú)立C.事件A與事件C相互獨(dú)立 D.【答案】BC【解析】【分析】對于A，甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時(shí)發(fā)生，由對立事件的概念可判斷；對于B，計(jì)算出，根據(jù)可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對于C，計(jì)算出，根據(jù)可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對于D，由前面可知，即可判斷是否相等.由題意，得，，，對于A，當(dāng)甲為奇數(shù)點(diǎn)，且乙為偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，事件可以同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，故事件A與事件B不對立，故A錯(cuò)誤；對于B，由題意知，又，故事件A與事件B相互獨(dú)立，故B正確；對于C，，又，故事件A與事件C相互獨(dú)立，故C正確；對于D，由上知，，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.已知空間向量，則（）A.B.在上的投影向量為C.若向量，則點(diǎn)在平面內(nèi)D.向量是與平行的一個(gè)單位向量【答案】ABD【解析】【分析】由空間向量垂直和平行坐標(biāo)運(yùn)算判斷AD,由空間向量基本定理判斷C,由投影向量判斷B.由已知可得，A正確；由于，所以在上的投影向量即為，B正確；若在平面ABC內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)x，y，使得，而,所以，上述方程組無解，故點(diǎn)E不在平面ABC內(nèi)，C錯(cuò)誤;由，故，且，所以正確．故選：ABD．11.如圖，在棱長為2的正方體中，為側(cè)面上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則過P、Q、三點(diǎn)的截面為四邊形B.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為C.不存在點(diǎn)，使D.與平面所成角的正切值最小為【答案】AB【解析】【分析】全程采用建系法可驗(yàn)證ABCD選項(xiàng)的正確性，由向量平行可驗(yàn)證A；由線面角的正弦公式驗(yàn)證B，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證C，由線面角的正弦公式可求最小值，進(jìn)而求出正切值.如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，對于A項(xiàng)，連接P、、Q、四點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，，，，，，所以為平行四邊形，A正確；對B，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，則與平面所成角的正弦值為，故B正確；對C，可設(shè)，，，，，，令，即，顯然能取到，故C錯(cuò)誤；對D，當(dāng)與平面所成角的正切值最小時(shí)，與平面所成角的正弦值也最小，，設(shè)的法向量為，則與平面所成角的正弦值為，當(dāng)或2，時(shí)，，由三角函數(shù)可得與平面所成角的正切值最小為，故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)，，，若直線，則______．【答案】2【解析】【分析】先求向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量共線定理即可求解；因?yàn)?，，所以，又，所以，又，所以，解得，故．故答案為?13.設(shè)、為兩個(gè)隨機(jī)事件，給出以下命題：（1）若、為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則、為相互獨(dú)立事件；（3）若，，，則、為相互獨(dú)立事件；（4）若，，，則、為互斥事件；其中正確命題的個(gè)數(shù)為______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的加法公式，易判斷（1）的正誤；根據(jù)相互對立事件的概率和為1，結(jié)合相互獨(dú)立事件，的概率滿足，可判斷（2）、（3）的正誤；根據(jù)獨(dú)立事件與互斥事件的性質(zhì)，可判斷（4）的正誤.．若，為互斥事件，且，，則，故（1）錯(cuò)誤；若，，，則，則由相互獨(dú)立事件乘法公式知，為相互獨(dú)立事件，故（2）正確；若，，所以，又，則，由對立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知，為相互獨(dú)立事件，故（3）正確；若，，又，所以，則事件，不能同時(shí)發(fā)生，故事件，為互斥事件，故（4）正確；綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為3 .故答案為：3.14.長方體中，，點(diǎn)是線段上異于的動(dòng)點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是______；當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，的值為______．【答案】①.②.##0.25【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共線表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，由為鈍角建立不等式求解的范圍；由空間點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算的值.在長方體中，建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系，則，令，則有，，，由為鈍角，得，解得，，因此；顯然，點(diǎn)到直線的距離，整理得，解得，所以.故答案為：；【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，可以借助向量共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個(gè)性化作業(yè)質(zhì)量情況，隨機(jī)訪問50名學(xué)生，根據(jù)這50名學(xué)生對個(gè)性化作業(yè)的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間[40，50）?[50，60）?…?[80，90）?[90，100].（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該中學(xué)學(xué)生對個(gè)性化作業(yè)評分不低于70的概率；（2）從評分在[40，60）的受訪學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評分都在[50，60）的概率；【答案】（1）a=0.006，概率為0.68（2）【解析】【分析】（1）由所有小矩形的面積之和為1可求得.根據(jù)面積可求得概率.（2）列舉出所有情況求概率即可.【小問1】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知：（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得：a=0.006；不低于70分頻率為：，故該中學(xué)的學(xué)生對個(gè)性化作業(yè)評分不低于70的概率為0.68；【小問2】[40，50）組共有人，[50，60）組共有人，把[40，50）的2人記為1?2，把[50，60）組的3人記為3?4?5，則總可能有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10種情況，設(shè)2人評分都在[50，60）為事件A，則滿足事件A的有：（3，4），（3，5），（4，5）共3種，故.16.如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè).（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把表示出來，然后由點(diǎn)E為的中點(diǎn)得，化簡即得結(jié)果；（2）把、用表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件即可求出結(jié)果.【小問1】因，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以.【小問2】因?yàn)?，，所?17.第22屆亞運(yùn)會(huì)已于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行．為慶祝這場體育盛會(huì)的勝利召開，某市決定舉辦一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競賽，該市A社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽．已知A社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，a，b，通過初賽后，甲、乙、丙3位選手通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．其中，甲乙兩人都能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽的概率為，乙丙都不能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽的概率為.（1）求a，b的值；（2）求這3人至少一人參加市知識(shí)競賽的概率；（3）某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識(shí)競賽，給參加選拔賽的選手提供了獎(jiǎng)勵(lì)方案：只參加了初賽的選手獎(jiǎng)勵(lì)200元，通過了初賽并參加了決賽的選手獎(jiǎng)勵(lì)500元．求三人獎(jiǎng)金總額為1200元的概率．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）先計(jì)算出這三人各自能參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽的概率，再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）問，利用對立事件的概率公式計(jì)算即可；（3）計(jì)算出三人中有兩人通過初賽的概率，再利用概率的加法公式計(jì)算即可.【小問1】甲能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽的概率為；乙能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽的概率為；丙能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽的概率為；由于他們之間通過與否互不影響,所以甲乙兩人都能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽的概率，解得：，乙丙都不能代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽的概率為，解得：，【小問2】結(jié)合（1）問可知：這3人都不能代表A社區(qū)參加市知識(shí)競賽的概率:，所以這3人至少一人參加市知識(shí)競賽的概率為：.【小問3】由題意可得：要使獎(jiǎng)金之和為1200元，則只有兩人參加決賽，記“甲，乙，丙三人獲得的獎(jiǎng)金之和為1200元”為事件B,則.18.如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，平面.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得，再利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）由（1）的信息以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即可.小問1】在三棱柱中，，則，由，得，在中，，由余弦定理，得，OA2+于是，由平面平面，得A1O⊥OD，而平面，因此平面，又平面，所以，【小問2】由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得A1O=3，則于是，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則32x-32y+3z=0332x-3因此，顯然二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為.19.如圖1，直角梯形中，，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)后得到幾何體W，如圖2，其中分別為上下底面直徑，點(diǎn)分別在圓弧上，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值等于，求到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的余弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)平