2025屆北京市昌平區(qū)昌平二中數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆北京市昌平區(qū)昌平二中數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）．A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．3．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．4．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．5．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形，俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．8．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內(nèi)的任何直線都與平行9．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．10．過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程是（）．A． B． C． D．11．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，三角形AOB的面積為，則p=（）．A．1 B． C．2 D．312．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，為定長(zhǎng)，，若的面積的最大值為，則邊的長(zhǎng)為_(kāi)___________．14．從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為_(kāi)_____________.(用數(shù)字作答)15．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.16．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的長(zhǎng)；(2)在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.18．（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其短半軸長(zhǎng)為1，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設(shè)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的長(zhǎng)．19．（12分）已知函數(shù)f（x）ax﹣lnx（a∈R）.（1）若a＝2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)g（x）＝f（x）1，若函數(shù)g（x）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）已知關(guān)于的不等式有解.（1）求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，，均為正實(shí)數(shù)，且滿足.證明：.21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，求的最小值.22．（10分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率，其右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先化簡(jiǎn)求出，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確度，屬于簡(jiǎn)單題目.2、D【解析】

當(dāng)時(shí)，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.3、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．4、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都用表示出來(lái)，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．5、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為故答案為A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.7、C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù)，排除；B.，值域?yàn)?，奇函?shù)，排除；C.，值域?yàn)?，奇函?shù)，滿足；D.，值域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，排除；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.8、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當(dāng)，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內(nèi)的任何直線都與平行，故，若，則內(nèi)的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.9、C【解析】

根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進(jìn)而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因?yàn)?在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問(wèn)題,屬于中檔題.10、A【解析】過(guò)圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程為，故選．11、C【解析】試題分析：拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的離心率為2，則，，漸近線方程為，求出交點(diǎn)，，，則；選C考點(diǎn)：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；12、C【解析】

，將看成一個(gè)整體，結(jié)合的對(duì)稱性即可得到答案.【詳解】由已知，，令，得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問(wèn)題，在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一般采用整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，，利用求向量模的公式，可得，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.【詳解】解：設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，則，即，由，可得.則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，建系是關(guān)鍵，屬于難題.14、5040.【解析】分兩類，一類是甲乙都參加，另一類是甲乙中選一人，方法數(shù)為。填5040.【點(diǎn)睛】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏.在本題中，甲與乙是兩個(gè)特殊元素，對(duì)于特殊元素“優(yōu)先法”，所以有了分類。本題還涉及不相鄰問(wèn)題，采用“插空法”。15、80.【解析】

只需找到展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為80.故答案為：80.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到展開(kāi)式中的特殊項(xiàng)系數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.16、【解析】

利用配方法化簡(jiǎn)式子，可得，然后根據(jù)觀察法，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）;（2）.【解析】

（1）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，由點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離，結(jié)合垂徑定理即可求得的長(zhǎng)；（2）將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求得直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，化為直角坐標(biāo)方程為，即直線與曲線交于兩點(diǎn).則圓心坐標(biāo)為，半徑為1，則由點(diǎn)到直線距離公式可知，所以.（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，化為直角坐標(biāo)可得，直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，解得，所以兩點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，由兩點(diǎn)間距離公式可得.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)求法，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）分斜率為0，斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設(shè)的方程為，可求解得到，，可得到的距離為1，即得證；（2）表示的面積為，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且，所以．所以橢圓的方程為．由點(diǎn)在直線上，且知的斜率必定存在，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，，，于是，到的距離為1，直線與圓相切．當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，所以，，從而．而，故的方程為，而在上，故，從而，于是．此時(shí)，到的距離為1，直線與圓相切．綜上，直線與圓相切．（2）由（1）知，的面積為，上式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以面積的最小值為1．此時(shí)，點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，為．不妨設(shè)為長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，則直線的方程為，代入橢圓的方程解得，即，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關(guān)系判斷，面積的最值問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.19、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）（2）（3，2e]【解析】

（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求出，求解，即可得出結(jié)論；（2）函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于a＝2x在上有兩解，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)，可分析求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)a＝2時(shí)，定義域?yàn)椋瑒t，令，解得x1，或x1（舍去），所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）設(shè)，函數(shù)g（x）在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在上有兩解令，，則，令，，顯然，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)，有，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，取得極小值，也是最小值，即，由方程在上有兩解及，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意，只需找到的最大值即可；（2），構(gòu)造并利用基本不等式可得，即.【詳解】（1），∴的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價(jià)于，（?。┊?dāng)時(shí)，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，（ⅱ）當(dāng)時(shí)，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的最大值為3，即.（2）證明：根據(jù)（1）求解知，所以，又∵，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，∴，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式中的能成立問(wèn)題以及綜合法證明不等式問(wèn)題，是一道中檔題.21、（1）（2）【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到，再求得，再構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解：（1）由函數(shù)有意義，則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上恒成