吉林省長春汽車經濟技術開發(fā)區(qū)第六中學2025屆數學高二上期末聯考試題含解析

吉林省長春汽車經濟技術開發(fā)區(qū)第六中學2025屆數學高二上期末聯考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線，點，連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.2．如圖是函數的導函數的圖象，下列結論中正確的是（）A.在上是增函數 B.當時，取得最小值C.當時，取得極大值 D.在上是增函數，在上是減函數3．已知直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，則實數a的值為（）A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣24．在區(qū)間內隨機取一個數，則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.5．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.6．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.327．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.38．已知，若，則（）A. B.2C. D.e9．已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-110．關于實數a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數列B.如果，則，，成等比數列C.如果，則，，成等差數列D.如果，則，，成等差數列11．數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．若對任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.312．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設雙曲線C:的焦點為，點為上一點，，則為_____.14．在報名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數為__________.(結果用數值表示)15．已知數列滿足，將數列按如下方式排列成新數列：，，，，，，，，，…，，…．則新數列的前70項和為______16．小明同學發(fā)現家中墻壁上燈光邊界類似雙曲線的一支.如圖，P為雙曲線的頂點，經過測量發(fā)現，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線的焦點位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為____cm.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓經過點，左焦點為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的右頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，求的面積.18．（12分）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接（1）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（2）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值；（3）若面與面所成二面角的大小為，求的值19．（12分）已知等比數列滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若，設（），記數列的前n項和為，求.20．（12分）2017年廈門金磚會晤期間產生碳排放3095噸．2018年起廈門市政府在下潭尾濕地生態(tài)公園通過種植紅樹林的方式中和會晤期間產生的碳排放，擬用20年時間將碳排放全部吸收，實現“零碳排放”目標，向世界傳遞低碳，環(huán)保辦會的積極信號，踐行金磚國家倡導的可持續(xù)發(fā)展精神據研究估算，紅樹林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹林若干畝，新種植的紅樹林當年的年碳吸收量為m（）噸．2018年起，紅樹林的年碳吸收量依次記，，，…（1）①寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；②證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）為了提前5年實現廈門會晤“零碳排放”的目標，m的最小值為多少？參考數據：，，21．（12分）已知函數在處取得極值（1）若對任意正實數，恒成立，求實數的取值范圍；（2）討論函數的零點個數22．（10分）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：（1）頂點的坐標；（2）直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據題意求得拋物線的方程為和焦點為，由，得到為的中點，得到，代入拋物線方程，求得，進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點為，因為，可得可得三點共線，且為的中點，又因為，，所以，將點代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.2、D【解析】根據導函數的圖象判斷出函數的單調區(qū)間、極值、最值，由此確定正確選項.【詳解】根據圖象知：當，時，函數單調遞減；當，時，函數單調遞增.所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故選項A不正確，選項D正確；故當時，取得極小值，選項C不正確；當時，不是取得最小值，選項B不正確；故選：D.3、B【解析】由題意，利用兩直線垂直的性質，兩直線垂直時，一次項對應系數之積的和等于0，計算求得a的值【詳解】∵直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，∴a×2+2×（2a+2）＝0，求得a＝﹣，故選：B4、D【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是，故選D.5、A【解析】由，可得進一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數法，先定式（根據已知確定焦點所在的坐標軸，設出曲線的方程），再定式（根據已知建立方程組解方程組得解）.6、C【解析】依據正態(tài)曲線的對稱性即可求得【詳解】由隨機變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸為直線由，可得則，故故選：C7、B【解析】由雙曲線定義結合通徑公式、化簡得出，最后得出離心率.【詳解】，，，解得故選：B8、B【解析】求得導函數，則，計算即可得出結果.【詳解】,.,解得：.故選：B9、A【解析】由題可得，利用與的關系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項，以1為公差的等差數列，∴，即，∴當時，，當時，也適合上式，所以故選：A.10、B【解析】根據給定條件結合取特值、推理計算等方法逐一分析各個選項并判斷即可作答.【詳解】對于A，若，取，而，即，，不成等差數列，A不正確；對于B，若，則，即，，成等比數列，B正確；對于C，若，取，而，，，不成等差數列，C不正確；對于D，a，b，c是實數，若，顯然都可以為負數或者0，此時a，b，c無對數，D不正確.故選：B11、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對各選項逐一驗證可得選項.【詳解】解：因為數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．對任意的，都有，所以，即，解得，則當時，，不成立；當時，，成立；當時，，成立；當時，，成立；所以的值不可能是，故選：A.12、B【解析】根據空間向量線性運算的坐標表示即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、14【解析】利用雙曲線的定義求解即可【詳解】由，得，則，因為點為上一點，所以，因為，所以，解得或（舍去），故答案為：1414、18【解析】由題設，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應用組合數求出選取方法數.【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.15、##2.9375【解析】先根據題干條件得到，再利用錯位相減法求前64項和，最后求出前70項和.【詳解】①，當時，；當時，②，①-②得：，即又滿足，所以由，得令，則，兩式相減得，則所以新數列的前70項和為故答案為：16、【解析】建立直角坐標系，利用代入法、雙曲線的對稱性進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，設雙曲線的標準方程為：，因為該雙曲線的漸近線相互垂直，所以，即，因為AB=60cm，PC=20cm，所以點的坐標為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線的焦距為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義求出的值，由求出，代入，得到橢圓的方程；（Ⅱ）由點斜式求出直線的方程，設，聯立直線與橢圓方程，求出的值，再算出的面積試題解析（Ⅰ）由橢圓的定義得：又，故，∴橢圓的方程為：.（Ⅱ）過的直線方程為，，聯立，設，則，∴的面積.點睛：本題主要考查了求橢圓的方程，直線與橢圓相交時弦長的計算等，屬于中檔題．在（Ⅱ）中，注意的面積的計算公式18、（1）證明見解析，是鱉臑，四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解析】（1）由直線與直線，直線與平面的垂直的轉化證明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，確定直角即可；（2）PD是陽馬P?ABCD的高，DE是鱉臑D?BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根據公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線與平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉化到直角三角形求解即可【小問1詳解】因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE又因為PD＝CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小問2詳解】由已知，PD是陽馬P?ABCD的高，∴，由（Ⅰ）知，，在Rt△PDC中，∵PD＝CD，點E是PC的中點，∴，∴【小問3詳解】如圖所示，在面BPC內，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設PD＝DC＝1，BC＝λ，有，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，則，解得所以故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，19、（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設等比數列的公比為q，由已知建立方程組，求得數列的首項和公比，從而求得數列的通項；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），運用錯位相減法可求得數列的和【詳解】解：（Ⅰ）設等比數列的公比為q，由，可得，記為①又因為，可得，即記為②，由①②可得或，故的通項公式為或（Ⅱ）由（Ⅰ）及可知，所以（），所以③④③－④得，所以【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和.（2）錯位相減法：若是等差數列，是等比數列，求.（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，相消剩下首尾的若干項.常見的裂頂有，，等.（4）分組求和法：把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，再求和.（5）倒序相加法.20、（1）①；②證明見解析，（2）最少為6.56噸【解析】（1）①根據題意直接寫出一個遞推公式即可；②要證明是等比數列，只要證明為一個常數即可，求出等比數列的通項公式，即可求出的通項公式；（2）記為數列的前n項和，根據題意求出，利用分組求和法求出數列的前n項和，再令，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：①依題意得,則，②因為，所以，所以，因為所以數列是等比數列，首項是，公比是1.02，所以，所以；【小問2詳解】解：記為數列的前n項和，，依題，所以，所以m最少為6.56噸21、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據極值點求出，再利用導數求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結果；（2）利用導數求出函數的極大、極小值，結合函數的圖象分類討論可得結果.【小問1詳解】函數的定義域為，因為，且在處取得極值，所以，即，得，此時，當時，，為增函數；當時。，為減函數，所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，因為對任意正實數，恒成立，所以，得.【小問2詳解】，，由，得，由，得或，所以在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，所以在時取得極大值為，在時取得極小值為，因為當大于0趨近于0時，趨近于負無窮，當趨近于正無窮時，趨近于正無窮，所以當，即時，有且只有一個零點；當，即時，有且只有兩個零點；當，即時，有且只有三個零點