2020年初中數(shù)學中考資陽試題解析

四川省資陽市2020年年中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）每在小題給出四個答案選項，只

有一個符合題意的.

1.（3分）（2020年?資陽）16的平方根是（）

A.4B.±4C.8D.±8

考點：平方根.

分析：根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個數(shù)x,使得x2=a,則x就是a的

平方根，由此即可解決問題.

解答：解：：（±4）2=16,

16的平方根是±4.

故選B.

點評：本題考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方

根是0;負數(shù)沒有平方根.

2.（3分）（2020年?資陽）一個正多邊形的每個外角都等于36。，那么它是（）

A.正六邊形B.正八邊形C.正十邊形D.正十二邊形

考點：多邊形內(nèi)角與外角.

分析：利用多邊形的外角和360。，除以外角的度數(shù)，即可求得邊數(shù).

解答：解：36g36=10.

故選C.

點評：本題考查了多邊形的外角和定理，理解任何多邊形的外角和都是360度是關(guān)鍵.

3.（3分）（2020年?資陽）在一個不透明的盒子里，裝有4個黑球和若干個白球，它們除顏

色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重

復，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計盒子中大約有白球（）

A.12個B.16個C.20個D.30個

考點：模擬實驗

分析：根據(jù)共摸球40次，其中10次摸到黑球，則摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1：3,

由此可估計口袋中黑球和白球個數(shù)之比為1：3；即可計算出白球數(shù).

解答：解：?.?共摸了40次，其中10次摸到黑球，

???有30次摸到白球，

.??摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1：3,

口袋中黑球和白球個數(shù)之比為1：3,

4+3=12（個）.

3

故選：A.

點評：本題考查的是通過樣本去估計總體，只需將樣本"成比例地放大”為總體即可.

4.（3分）（2020年?資陽）在函數(shù)y=信中,自變量X的取值范圍是（

)

A.x<lB.x>lC.x<lD.x>l

考點：函數(shù)自變量的取值范圍.

分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于。列式進行計算即可得解.

解答：解：根據(jù)題意得，X-1>0,

解得x>l.

故選D.

點評：本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0;二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

5.（3分）（2020年?資陽）如圖,點E在正方形ABCD內(nèi),滿足NAEB=90°,AE=6,BE=8,

則陰影部分的面積是（）

C.76D.80

考點：勾股定理；正方形的性質(zhì).

分析：由已知得△ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB,用S陰影部/S正方形

ABCD-SAABE求面積.

解答：解：ZAEB=90°,AE=6,BE=8,

在RtAABE中，AB2=AE2+BE2=100,

S陰影部A>=S正方形ABCD-SAABE=AB2-AXAEXBE

2

=100-1x6x8

2

=76.

故選C.

點評：本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質(zhì).關(guān)鍵是判斷△ABE為直角三角形，運用

勾股定理及面積公式求解.

6.（3分）（2020年?資陽）資陽市2012年財政收入取得重大突破，地方公共財政收入用四

舍五入取近似值后為27.39億元，那么這個數(shù)值（）

A.精確到億位B.精確到百分位C.精確到千萬位D.精確到百萬位

考點：近似數(shù)和有效數(shù)字.

分析：近似數(shù)精確到哪一位，應當看末位數(shù)字實際在哪一位.

解答：解：???27.39億末尾數(shù)字9是百萬位，

27.39億精確到百萬位.

故選D.

點評：本題考查了近似數(shù)的確定，熟悉數(shù)位是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2020年?資陽）鐘面上的分針的長為1,從9點到9點30分，分針在鐘面上掃

過的面積是（）

A.1B.1C.1D.n

—n—n與

248

考點：扇形面積的計算；鐘面角.

分析：從9點到9點30分分針掃過的扇形的圓心角是180。，利用扇形的面積公式即可求解.

解答：解：從9點到9點30分分針掃過的扇形的圓心角是180。，

則分針在鐘面上掃過的面積是：180.X/=%

3602

故選：A.

點評：本題考查了扇形的面積公式，正確理解公式是關(guān)鍵.

8.（3分）（2020年?資陽）在蘆山地震搶險時，太平鎮(zhèn)部分村莊需8組戰(zhàn)士步行運送物資，

要求每組分配的人數(shù)相同，若按每組人數(shù)比預定人數(shù)多分配1人，則總數(shù)會超過100人；若

按每組人數(shù)比預定人數(shù)少分配1人，則總數(shù)不夠90人，那么預定每組分配的人數(shù)是（）

A.10人B.11人C.12人D.13人

考點：一元一次不等式組的應用.

分析：先設預定每組分配x人，根據(jù)若按每組人數(shù)比預定人數(shù)多分配1人,則總數(shù)會超過100

人；若按每組人數(shù)比預定人數(shù)少分配【人，則總數(shù)不夠90人，列出不等式組，解不

等式組后，取整數(shù)解即可.

解答：解：設預定每組分配x人，根據(jù)題意得：

'8(x+1)>100

8(x-1)<90

解得：111<X<121,

24

??,x為整數(shù)，

x=12.

故選：C.

點評：此題主要考查了一元一次不等式組的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)關(guān)鍵語句若

按每組人數(shù)比預定人數(shù)多分配1人，則總數(shù)會超過100人：若按每組人數(shù)比預定人數(shù)

少分配1人，則總數(shù)不夠

90人列出不等式組.

9.（3分）（2020年?資陽）從所給出的四個選項中，選出適當?shù)囊粋€填入問號所在位置，使

之呈現(xiàn)相同的特征（）

考點：規(guī)律型：圖形的變化類

分析：根據(jù)圖形的對稱性找到規(guī)律解答.

解答：解：第一個圖形是軸對稱圖形，

第二個圖形是軸對稱也是中心對稱圖形，

第三個圖形是軸對稱也是中心對稱圖形，

第四個圖形是中心對稱但不是軸對稱，

所以第五個圖形應該是軸對稱但不是中心對稱，

故選C.

點評：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細的觀察圖形并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

10.（3分）（2020年?資陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（aM）過點（1,0）和點（0,-2）,

且頂點在第三象限，設P=a-b+c,則P的取值范圍是（）

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

分析：求出a>0,b>0,把x=l代入求出a=2-b,b=2-a,把x=-1代入得出y=a-b+c=2a

-4,求出2a-4的范圍即可.

解答：解：1?二次函數(shù)的圖象開口向上，

a>0,

???對稱軸在y軸的左邊，

-A<0,

2a

b>0,

.?,圖象與y軸的交點坐標是（0,-2）,過（1,0）點，

代入得：a+b-2=0,

a=2-b,b=2-a,

y=ax2+（2-a）x-2,

把x=-1代入得：y=a-（2-a）-2=2a-4,

?/b>0,

??.b=2-a>0,

a<2,

?/a>0,

/.0<a<2,

0<2a<4,

.??-4<2a-4<0,

即-4VPV0,

故選A.

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（arO）的圖象為拋

物線，當a>0,拋物線開口向上；對稱軸為直線*=-上：拋物線與y軸的交點坐標

2a

為（0,c）.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）請將直接答案填橫線上.

11.（3分）（2020年?資陽）（-a2b）2?a=a5b2.

考點：鼎的乘方與積的乘方；同底數(shù)基的乘法.

分析：根據(jù)積的乘方以及同底數(shù)基的乘方等知識求解即可求得答案.

解答：解：（-a2b）2?a=a4b2a=a5b2.

故答案為：a5b2.

點評：本題考查了積的乘方和同底數(shù)幕的乘法運算法則，一定要記準法則才能做題.

12.（3分）（2020年?資陽）若一組2,-1,0,2,-1,a的眾數(shù)為2,則這組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)為z.

一3一

考點：眾數(shù)；算術(shù)平均數(shù).

分析：要求平均數(shù)只要求出數(shù)據(jù)之和再除以總個數(shù)即可；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的

數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個.依此先求出a,再求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

解答：解：數(shù)據(jù)2,-1,0,2,-1,a的眾數(shù)為2,即2的次數(shù)最多；

即a=2.

則其平均數(shù)為（2-1+0+2-1+2）+6=2

3

故答案為：2

3

點評：本題考查平均數(shù)與眾數(shù)的意義.平均數(shù)等于所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)；眾數(shù)是

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

13.（3分）（2020年?資陽）在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,若NAOB=60。,

AC=10,則AB=5.

考點：含30度角的直角三角形；矩形的性質(zhì).

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到△AOB是等邊三角形，則可以求得OA的長，進而求得

AB的長.

解答：解：四邊形ABCD是矩形，

OA=OB

又「ZAOB=60°

「.△AOB是等邊三角形.

AB=OA」AC=5,

2

故答案是：5.

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，正確理解AAOB是等邊三角形是關(guān)鍵.

14.（3分）（2020年?資陽）在一次函數(shù)y=（2-k）x+1中，y隨x的增大而增大，則k的

取值范圍為k<2.

考點：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

分析：根據(jù)一次函數(shù)圖象的增減性來確定（2-k）的符號，從而求得k的取值范圍.

解答：解：???在一次函數(shù)y=（2-k）x+1中，y隨x的增大而增大，

2-k>0,

k<2.

故答案是：k<2.

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.在直線y=kx+b（kHO）中，當k>0時，y隨

x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小.

15.（3分）（2020年?資陽）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,NB=60°,點D是BC邊上

的點，CD=1,將△ABC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線

AD上的動點，則。PEB的周長的最小值是1+、序.

CD\~5

考點：軸對稱-最短路線問題；含30度角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）.

分析：連接CE,交AD于M,根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當P和D重合時，PE+BP的

值最小，即可此時△BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC,

先求出BC和BE長，代入求出即可.

解答：4

D(P)B

解：連接CE,交AD于M,

?.,沿AD折疊C和E重合，

NACD=NAED=90°,AC=AE,NCAD=NEAD,

二AD垂直平分CE,即C和E關(guān)于AD對稱，CD=DE=1,

.,.當P和D重合時，PE+BP的值最小，即可此時△BPE的周長最小，最小值是

BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC,

???ZDEA=90",

ZDEB=90°,

???ZB=60°,DE=1,

BE=近，BD=2?,

33

即BC=I+2?,

3

?,1ZACB=90°,ZB=60°,

ZCAB=30",

AB=2BC=2x(1+2

__3

AC=V3BC=A/3+2.

BE=AB-AE=2+3C-(73+2)

3

△PEB的周長的最小值是BC+BE=1+273+-V3=1+V3>

33

故答案為：i+J^.

點評：本題考查了折疊性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30

度角的直角三角形性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中.

16.（3分）（2020年?資陽）已知直線上有n（*2的正整數(shù)）個點，每相鄰兩點間距離為1,

從左邊第1個點起跳，且同時滿足以下三個條件：

①每次跳躍均盡可能最大；

②跳n次后必須回到第1個點；

③這n次跳躍將每個點全部到達，

設跳過的所有路程之和為Sn,則S25=312.

考點：規(guī)律型：圖形的變化類.

專題：規(guī)律型.

分析：首先認真讀題，明確題意.按照題意要求列表（或畫圖），從中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出規(guī)律.注

意：當n為偶數(shù)或奇數(shù)時，Sn的表達式有所不同.

解答：解：設這n個點從左向右依次編號為Ai,Ai,A3，…，An.

根據(jù)題意，n次跳躍的過程可以列表如下：

第n次跳躍起點終點路程

1AiAnn-1

2AnA2n-2

3A2An-1n-3

???

n-1n為偶數(shù)An1

2

n為奇數(shù)等An+11

nn為偶數(shù)Ain

2

n為奇數(shù)An+1Ain-l

2

發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下:

當n為偶數(shù)時，跳躍的路程為：Sn=(l+2+3+...+n-1)+工=巴包二12_+工=五

2222

當n為奇數(shù)時，跳躍的路程為:Sn=(l+2+3+...+n-1)

n-ln(n-l),n-1n2-1

2222

因此，當n=25時，跳躍的路程為：$25=巡二L=312.

2

故答案為：312.

點評：本題是對圖形變化規(guī)律的考查，比較抽象.列表發(fā)現(xiàn)跳躍運動規(guī)律是解題的關(guān)鍵，同

學們也可以自行畫出圖形予以驗證.

三、(本大題共8小題，共72分)

17.(7分)(2020年?資陽)解方程：一*+2=1

x2_4x+2X-2

考點：解分式方程.

專題：計算題.

分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分

式方程的解.

解答：解：去分母得:x+2(x-2)=x+2,

去括號得：x+2x-4=x+2,

解得：x=3,

經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解.

點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是〃轉(zhuǎn)化思想〃，把分式方程轉(zhuǎn)化為整

式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.

18.（8分）（2020年?資陽）體考在即，初三（1）班的課題研究小組對本年級530名學生的

體育達標情況進行調(diào)查，制作出如圖所示的統(tǒng)計圖，其中1班有50人.（注：30人以上為

達標，滿分50分）根據(jù)統(tǒng)計圖，解答下面問題：

（不含30）（不含40）（40匹）

（1）初三（1）班學生體育達標率和本年級其余各班學生體育達標率各是多少？

（2）若除初三（1）班外其余班級學生體育考試成績在30--40分的有120人，請補全扇

形統(tǒng)計圖；（注：請在圖中分數(shù)段所對應的圓心角的度數(shù)）

（3）如果要求全年級學生的體育達標率不低于90%,試問在本次調(diào)查中，該年級全體學生

的體育達標率是否符合要求？

考點：條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖

專題：計算題.

分析：（1）由頻率分布直方圖求出30分以上的頻率，即為初三（1）班的達標率；由扇形

統(tǒng)計圖中30分以下的頻率求出30分以上的頻率，即為其余班的達標率；

（2）根據(jù)30-40分的人數(shù)除以其余各班的人數(shù)求出所占的百分比，乘以360度，求

出30-40分所占的角度，補全扇形統(tǒng)計圖即可；

（3）根據(jù)其余各班體育達標率小于90%,得到在本次調(diào)查中，該年級全體學生的體

育達標率不符合要求.

解答：解：（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖得：初三（1）班學生體育達標率為0.6+0.3=0.9=90%；

根據(jù)扇形統(tǒng)計圖得：本年級其余各班學生體育達標率為1-12.5%=87.5%；

（2）其余各班的人數(shù)為530-50-480（人），

30-40分人數(shù)所占的角度為將x36（F=90。，

480

補全扇形統(tǒng)計圖，如圖所示:

初三（1）班體育達標調(diào)查頻率分布直方圖

(1)0-30

(不含30)

⑶012.5H(2)30-40

62.5%

禰(2)(不含30)

25°o(3)40-50

(40liLt)

（不含30）（不含40）（40壯）

（3）由扇形統(tǒng)計圖得到其余各班體育達標率為87.5%<90%,

則該年級全體學生的體育達標率不符合要求.

點評：此題考查了條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，以及扇形統(tǒng)計圖，弄清題意是解本題的關(guān)

鍵.

19.（8分）（2020年?資陽）在關(guān)于x,y的二元一次方程組I*卡2尸③中.

2x-y=l

（1）若a=3.求方程組的解；

（2）若S=a（3x+y）,當a為何值時，S有最值.

考點：二次函數(shù)的最值；解二元一次方程組.

分析：（1）用加減消元法求解即可；

（2）把方程組的兩個方程相加得到3x+y,然后代入整理，再利用二次函數(shù)的最值問

題解答.

解j解:⑴a=3時,方程組為（x+2尸

Zx-尸您

②x2得，4x-2y=2③，

①+③得，5x=5,

解得x=l,

把x=l代入①得，l+2y=3,

解得y=l，

所以，方程組的解是［x=l；

1y=l

（2）方程組的兩個方程相加得，3x+y=a+l,

所以，S=a（3x+y）=a（a+l）=a2+a,

所以，當2=-二^=-3時，S有最小值.

2X12

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值問題，解二元一次方程組，（2）根據(jù)方程組的系數(shù)的特點,

把兩個方程相加得到3x+y的表達式是解題的關(guān)鍵.

20.(8分)(2020年?資陽)在00中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻

折交AB于點D,連結(jié)CD.

(1)如圖1,若點D與圓心O重合，AC=2,求的半徑r；

(2)如圖2,若點D與圓心O不重合，ZBAC=25。，請直接寫出NDCA的度數(shù).

圖1圖2

考點：垂徑定理；含30度角的直角三角形；圓周角定理；翻折變換(折疊問題).

分析：(1)過點。作OE_LAC于E,根據(jù)垂徑定理可得AE=」AC,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得

2

OE=lr,然后在R2AOE中，利用勾股定理列式計算即可得解；

2

(2)連接BC,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出ZACB,根據(jù)直角三角形兩銳角互

余求出NB,再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到位所對的圓周角，然后根據(jù)NACD等于位所

對的圓周角減去而所對的圓周角，計算即可得解.

解答：解：(1)如圖，過點O作OE_LAC于E,

貝AE=lAC=lx2=l,

22

???翻折后點D與圓心O重合，

OE=L,

2

在RtAAOE中，AO2=AE2+OE2,

即r=l2+(Ar)2,

2

解得口結(jié)；

3

(2)連接BC,

,/AB是直徑，

ZACB=90°,

ZBAC=25°,

ZB=90°-ZBAC=900-25°=65°,

根據(jù)翻折的性質(zhì)，々所對的圓周角等于市所對的圓周角，

ZDCA=ZB-ZA=65°-25°=40°.

B

圖1圖2

點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，翻折的變換的性質(zhì)，以及圓周角定理，（1）

作輔助線構(gòu)造出半徑、半弦、弦心距為邊的直角三角形是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)同弧

所對的圓周角相等求解是解題的關(guān)鍵.

21.（9分）（2020年?資陽）如圖，已知直線1分別與x軸、y軸交于A,B兩點，與雙曲線

\=亙（awO,x>0）分別交于D、E兩點.

x

（1）若點D的坐標為（4,1）,點E的坐標為（1,4）：

①分別求出直線1與雙曲線的解析式；

②若將直線1向下平移m（m>0）個單位，當m為何值時，直線1與雙曲線有且只有一個

交點？

（2）假設點A的坐標為（a,0），，點B的坐標為（0,b）,點D為線段AB的n等分點，請

直接寫出b的值.

k

~0\4

考點：反比例函數(shù)綜合題.

分析：（1）①運用待定系數(shù)法可分別得到直線1與雙曲線的解析式；

②直線1向下平移m（m>0）個單位得到y(tǒng)=-x=5-m,根據(jù)題意得方程組

4

y=-

x只有一組解時，化為關(guān)于x的方程得x?+（5-m）x+4=0,則4=（m

y=-x+5-in

-5）2-4x4=0,解得mi=l,m2=9,當m=9時，公共點不在第一象限，所以m=l；

（2）作DF_Lx軸，由DFIIOB得到△ADF-△ABO,根據(jù)相似比可得到AF=月,DF=b

nn

則D點坐標為（a-3，工），然后把D點坐標代入反比例函數(shù)解析式中即可得到b的

nb

值.

解答：解：（1）①把D（4,1）代入y=且得a=lx4=4,

X

所以反比例函數(shù)解析式為y=W（x>0）；

X

設直線1的解析式為y=kx+t,

把D(4,1),E(1,4)代入得［4k+t=l,

lk+t=4

解得(k=-1

,t=5

所以直線1的解析式為y=-x+5；

②直線1向下平移m(m>0)個單位得到y(tǒng)=-x=5-m,

當方程組(只有一組解時，直線1與雙曲線有且只有一個交點,

y=-x+5-m

化為關(guān)于x的方程得x2+(5-m)x+4=0,

△=(m-5)2-4x4=0,解得mi=l,m2=9,

而m=9時，解得x=-2,故舍去，

所以當m=l時，直線1與雙曲線有且只有一個交點；

（2）作DFJ_x軸，如圖，

??.點D為線段AB的n等分點,

DA：AB=1：n,

,/DFIIOB,

△ADF-△ABO,

.AF_DF_ADpDAF_DF_1

AOBOABabn

AF=WDF=b

nn

.0.OF=a-—,

D點坐標為(a-旦衛(wèi)),

nb

把D（a-g工）代入y=9得（a-0）＞23=3

nbxnb

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法

求函數(shù)解析式；熟練運用相似比進行幾何計算.

22.（9分）（2020年?資陽）釣魚島歷來是中國領(lǐng)土，以它為圓心在周圍12海里范圍內(nèi)均屬

于禁區(qū)，不允許它國船只進入，如圖，今有一中國海監(jiān)船在位于釣魚島A正南方距島60海

里的B處海域巡邏，值班人員發(fā)現(xiàn)在釣魚島的正西方向52海里的C處有一艘日本漁船，正

以9節(jié)的速度沿正東方向駛向釣魚島，中方立即向日本漁船發(fā)出警告，并沿北偏西30。的方

向以12節(jié)的速度前往攔截，期間多次發(fā)出警告，2小時候海監(jiān)船到達D處，與此同時日本

漁船到達E處，此時海監(jiān)船再次發(fā)出嚴重警告.

（1）當日本漁船受到嚴重警告信號后，必須沿北偏東轉(zhuǎn)向多少度航行，才能恰好避免進入

釣魚島12海里禁區(qū)？

（2）當日本漁船不聽嚴重警告信號，仍按原速度，原方向繼續(xù)前進，那么海監(jiān)船必須盡快

到達距島12海里，且位于線段AC上的F處強制攔截漁船，問海監(jiān)船能否比日本漁船先到

達F處？（注：①中國海監(jiān)船的最大航速為18節(jié)，1節(jié)=1海里/小時；②參考數(shù)據(jù)：

加=1.4，?=1.7）

海監(jiān)船

考點：解直角三角形的應用-方向角問題

分析：（1）過點E作圓A的切線EN,求出NAEN的度數(shù)即可得出答案；

（2）分別求出漁船、海監(jiān)船到達點F的時間，然后比較可作出判斷.

解答：解：⑴過點E作圓A的切線EN,連接AN,則AN_LEN,

海監(jiān)船

由題意得，CE=9x2=18海里，則AE=AC-CE=52-18=34海里,

???sinzAEN=_^=l^=0.35,

AE34

ZAEN=20.5°,

ZNEM=69.5°,

即必須沿北偏東至少轉(zhuǎn)向69.5。航行，才能恰好避免進入釣魚島12海里禁區(qū).

(2)過點D作DH_LAB于點H,

由題意得，BD=2xl2=24海里，

在RtZiDBH中，DH=』BD=12海里，BH=12?海里，

2

?/AF=12海里，

DH=AF,

DF_LAF,

此時海監(jiān)船以最大航速行駛，

海監(jiān)船到達點F的時間為：一BH=60T2&2小時；

181818

漁船到達點F的時間為：世=52-18-12=24小時，

99

2.2<2,4,

???海監(jiān)船比日本漁船先到達F處.

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，本題依托時事

問題出題，立意新穎，是一道很好的題目.

23.(II分)(2020年?資陽)在一個邊長為a(單位：cm)的正方形ABCD中，點E、M

分別是線段AC,CD上的動點，連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點F,過點M作MN_LDF

于H,交AD于N.

(1)如圖1,當點M與點C重合，求證：DF=MN；

(2)如圖2,假設點M從點C出發(fā)，以lcm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A

出發(fā)，以&cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t(t>0)；

①判斷命題"當點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由.

②連結(jié)FM、FN,AMNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a,t之間的關(guān)系；若不能，請

說明理由.

考點：四邊形綜合題

分析：(1)證明△ADF空△DNC,即可得到DF=MN；

(2)①首先證明△AFE-△CDE,利用比例式求出時間t=』a,進而得到

3

CM=.la=lcD,所以該命題為真命題；

33

②若AMNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論.

解答：(1)證明：NDNC+ZADF=90。，ZDNC+ZDCN=90°,

ZADF=NDCN.

在^ADF^ADNC中，

2DAF=NCDN=9O°

<AD=CD，

ZADF=ZDCN

AADmADNC(ASA),

DF=MN.

（2）解：①該命題是真命題.

理由如下：當點F是邊AB中點時，則AF=1AB=1CD.

22

ABIICD,△AFE-△CDE,

.AE_AF_1；

―EC^CD^_

AEJEC,則AE」AC=",

233

則CM=l,t=la=1CD,

33

二點M為邊CD的三等分點.

②能.理由如下：_

易證AFE-ACDE,.,.期步，即絲=二'2t,得AF=-21_.

CDECaV23-V2ta-1

易證△MND-△DFA,岫=DM,即得ND=t

AFAData

a-t

ND=CM=t,AN=DM=a-t.

若AMNF為等腰三角形，則可能有三種情形：

(I)若FN=MN,則由AN=DM知△FANT?NDM,

AF=DM,即at=3得t=o,不合題意.

a-t

此種情形不存在；

(II)若FN=FM,由MNJ.DF知，HN=HM,DN=DM=MC,

二t=」a,此時點F與點B重合；

2

(III)若FM=MN,顯然此時點F在BC邊上，如下圖所示：

又由△NDMsADCF,二典口，即1=a,FC=&(&一七)“

DM-FCa-t-FCt

.a(a~t).

At=a,此時點F與點C重合.

綜上所述，當t=a或t=1a時，AMNF能夠成為等腰三角形.

2

點評：本題是運動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、

命題證明等知識點.解題要點是：（1）明確動點的運動過程：（2）明確運動過程中,

各組成線段、三角形之間的關(guān)系；（3）運用分類討論的數(shù)學思想，避免漏解.

24.（12分）（2020年?資陽）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C、D作拋物線

y=ax2+bx+c（aM）,與x軸的另一交點為E,連結(jié)CE,點A、B、D的坐標分別為（-2,0）、

（3,0）、（0,4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知拋物線的對稱軸1交x軸于點F,交線段CD于點K,點M、N分別是直線1和x

軸上的動點，連結(jié)MN,當線段MN恰好被BC垂直平分時，求點N的坐標；

（3）在滿足（2）的條件下，過點M作一條直線，使之將四邊形AECD的面積分為3：4

的兩部分，求出該直線的解析式.

考點：二次函數(shù)綜合題

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求點C的坐標，由待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析

式；

（2）連結(jié)BD交對稱軸于G,過G作GNLBC于H,交x軸于N,根據(jù)待定系數(shù)法

即可求出直線BD的解析式，根據(jù)拋物線對稱軸公式可求對稱軸，由此即可求出點N

的坐標；

（3）過點M作直線交x軸于點Pi,分點P在對稱軸的左側(cè)，點P在對稱軸的右側(cè)，

兩種情況討論即可求出直線的解析式.

解答：解：(1)???點A、B、D的坐標分別為(-2,0)、(3,0)、(0,4),且四邊形ABCD

是平行四邊形，

AB=CD=5,

.?.點C的坐標為(5,4),

...過點A、C、D作拋物線y=ax?+bx+c(aM),

，4a-2b+c=0

，-25a+5b+c=4，

,c=4

c=4

故拋物線的解析式為y=-&2+四+4.

37

(2)連結(jié)BD交對稱軸于G,

在RsOBD中，易求BD=5,

CD=BD,則NDCB=NDBC,

又ZDCB=ZCBE,

ZDBC=NCBE,

過G作GNJLBC于H,交x軸于N,

易證GH=HN,

.,.點G與點M重合，

故直線BD的解析式y(tǒng)=--x+4

3

根據(jù)拋物線可知對稱軸方程為x=2

2

則點M的坐標為(至，Z),即GF=2,BFJ,

2332

BM=VFM2+FB2"|,

又???MN被BC垂直平分，

BM=BN=g

6

???點N的坐標為(23,0)；

6

(3)過點M作直線交x軸于點Pi,

易求四邊形AECD的面積為28,四邊形ABCD的面積為20,

由“四邊形AECD的面積分為3：4"可知直線PiM必與線段CD相交，

設交點為Q1，四邊形APiQiD的面積為Si,四邊形P1ECQ1的面積為S2,點PI的坐

標為(a,0),

假設點P在對稱軸的左側(cè)，則PiF=壬-a,PiE=7-a,

2

由^MKQi-AMFPi,得一耶=FM,

QjKFP1

易求Q1K=5P1F=5(至-a),

2

CQi=i-5(&-a)=5a-10,

22

S2=(5a-10+7-a),

根據(jù)Pi(20),M(22)可求直線PiM的解析式為y=&x-6,

4233

若點P在對稱軸的右側(cè)，則直線P2M的解析式為y=-A+-22.

33

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線

的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，拋物線對稱軸公式，分類思想的運用，綜合

性較強，有一定的難度.

1.列一元一次方程解應用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設出未知數(shù)，列出方程：設出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，

是否符合實際，檢驗后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長量=原有量X增長率現(xiàn)在量

=原有量+增長量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積乂高=5?h=乃dh

②長方體的體積V=長X寬X高=2血

4.數(shù)字問題

一般可設個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場經(jīng)濟問題

(1)商品利潤=商品售價一商品成本價(2)商品利潤率=

商品利潤X100%

商品成本價

(3)商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

(4)商品的銷售利潤=(銷售價一成本價)X銷售量

(5)商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標價的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時間時間=路程+速度速度=路

程小時間

(1)相遇問題：快行距+慢行距=原距

(2)追及問題：快行距一慢行距=原距

(3)航行問題：順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)

速度

逆水（風）速度=靜水（風）速度一水流（風）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考

慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率X工作時間

完成某項任務的各工作量的和=總工作量=1

8.儲蓄問題

利潤=笆泗曾笆庭X100%利息=本金義利率義期數(shù)

本金

實際問題與二元一次方程組題型歸納（練習題答案）

類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，

那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出

發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設甲，乙速度分別為x,y千米/時，依題意得：

（2.5+2）x+2.5y=36

3x+（3+2）y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時，乙的速度是3.6千米/每小時。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用

20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時，則水流速度y千米/小時，有：

20（x-y）=280

14（x+y）=280

解得：x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時、水流速度3千米/小時，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2

萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若

只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應選甲公司還是乙公司？請你說

明理由.

解：

設甲、乙兩公司每周完成工程的x和y,則

1

1

X+V=一/日10故+工=。（周）工=周

J6得1111+15

1_1015

4x+9尸=1

即甲、乙完成這項工程分別需10周，15周

又設需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬元則

_3

6a+66=5.2"一§[10a=6（萬元）

得彳此時|二一

4a+9b=4.8=4115》=4②兀）

'15

比較知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題

【變式1］（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2