概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件3.1二維隨機(jī)變量及其分布

第三章多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量邊緣分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布條件分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章、多維隨機(jī)變量及其分布從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)向量及其分布它是第二章內(nèi)容的推廣.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章、多維隨機(jī)變量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章、多維隨機(jī)變量及其分布§3.1二維隨機(jī)變量及其分布在實(shí)際問(wèn)題中，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象有時(shí)往往需要同時(shí)由多個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述。例如，為研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況就需要了解學(xué)生的身高W和體重M同時(shí)來(lái)描述。一般來(lái)說(shuō)，定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量之間有一定的聯(lián)系，只分別研究單個(gè)隨機(jī)變量是不夠的，還需要將他們作為一個(gè)整體來(lái)討論。本章一兩個(gè)隨機(jī)變量的情形為代表，講述多個(gè)隨機(jī)變量的一些內(nèi)容。變量，則稱(chēng)由它們構(gòu)成的二維變量(X,Y)為二維設(shè)X,Y是定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)隨機(jī)變量（二維隨機(jī)向量）。二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X,Y各自的性隨機(jī)變量整體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,我們引入聯(lián)合分布質(zhì)有關(guān),而且還依賴(lài)于它們之間的相互關(guān)系,因此必須把它們作為一個(gè)整體來(lái)研究.為了描述二維函數(shù)的概念.一、二維隨機(jī)變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布定義1

設(shè)(X，Y)為二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意x，稱(chēng)為(X，Y)的分布函數(shù),或稱(chēng)為X與Y的聯(lián)合

y，二元函數(shù)分布函數(shù).[注]1)聯(lián)合分布函數(shù)的概率意義：

圖1落在以為頂點(diǎn)的左下方的無(wú)窮矩形的概率.是隨機(jī)點(diǎn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布2)設(shè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布3)

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)的基本性質(zhì)：（2）F(x,y)分別關(guān)于x與y是單調(diào)遞增.即，固定y,固定x,（3）

固定x,有固定y,有

（4）F(x,y)在間斷點(diǎn)(x,y)上分別關(guān)于x和y右連續(xù).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布例1

已知二元函數(shù)問(wèn)此F(x,y)是否是某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)?3-1例題\3-1例1.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布二、二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律定義2

如果二維隨機(jī)變量的每一個(gè)分量X

和Y為隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布律。散型隨機(jī)變量。若(X，Y)的所有可能值為都是離散型隨機(jī)變量，則稱(chēng)(X，Y)為二維離概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合分布律概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)向量（X,Y）聯(lián)合分布離散型i,j=1,2,…X和Y的聯(lián)合分布律k=1,2,…離散型一維隨機(jī)變量Xk=1,2,…X的分布律概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布例2

袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，

試分別求出有放回和無(wú)放回取球情況下(X,Y)的取球兩次，每次取一個(gè)球,定義下列隨機(jī)變量：聯(lián)合分布律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布

離散型二維隨機(jī)向量聯(lián)合分布律確定方法:3.列出聯(lián)合概率分布律.值對(duì)的概率;2.利用古典概型或概率的性質(zhì)計(jì)算每個(gè)數(shù)

1.找出隨機(jī)變量X和Y的所有取值結(jié)果,得到(X,Y)的所有取值數(shù)對(duì);概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布求(X1,X2)的聯(lián)合分布律。例3

設(shè)隨機(jī)變量Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布三、連續(xù)型隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)定義3

對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)使得對(duì)于稱(chēng)(X,Y)是一個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量，稱(chēng)f(x,y)為連續(xù)型二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，記作(X，Y)～f(x,y).[注]①

f(x,y)的基本性質(zhì)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布②

③若(X，Y)～f(x,y)④

D是平面上的一個(gè)區(qū)域，則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域D上的概率記作:若在x，y處連續(xù)，則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布⑤連續(xù)型二維隨機(jī)向量(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)

的概率意義是：以曲面f(x,y)為頂面，以(x,y)為頂點(diǎn)的無(wú)窮矩形區(qū)域?yàn)榈酌娴那斨w的體積。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布四、常見(jiàn)的二維分布

1.二維均勻分布設(shè)D是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為，

若隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為：

就稱(chēng)服從區(qū)域上的均勻分布，簡(jiǎn)記為

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布

2.二維正態(tài)分布

設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合概率密度函數(shù)其中均為常數(shù)，且,則稱(chēng)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記作.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布

3.二維指數(shù)分布設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合概率密度函數(shù)其中

，則稱(chēng)服從參數(shù)為的二維指數(shù)分布。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布例5

設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：試求：(1)常數(shù)A；其中D是如圖1的陰影部分；（3）(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布例6

設(shè)隨機(jī)向量(X，Y)的聯(lián)合密