專題12全冊幾何證明題動點問題（3種類型60道）（原卷版）

專題12全冊幾何證明題動點問題（3種類型60道）目錄TOC\o"13"\h\u【題型1三角形中的動點問題】 1【題型2全等三角形中的動點問題】 9【題型3軸對稱中的動點問題】 17【題型1三角形中的動點問題】1．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，動點E在射線BD上（不與點D重合），過點E作EF∥BC交線段AC于點F（不與點A，C重合），∠AFE的平分線所在的直線與射線BD交于點(1)當點E在線段BD上時．①若∠ABC=40°，∠C=60°，∠FED的度數(shù)為______；∠FGD的度數(shù)為______；②求證∠FGD=90°?1(2)當點E在線段BD的延長線上時，直接寫出∠FGD與∠A之間的數(shù)量關系．2．已知：在△ABC中，∠C=70°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，(1)若點P在線段AB上，如圖①所示，且∠α=50°，則∠(2)若點P在線段AB上運動，如圖②所示，則∠α、∠1、(3)若點P在線段AB的延長線上運動CE<CD，如圖③所示，則∠α、∠1、3．在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B．

(1)如圖1，若AD⊥BC于點D，∠C=60°，∠B=40°，則∠DAE=______；(2)如圖2，若點P是線段AE上一動點，過點P作PG⊥BC于點G，則∠EPG與∠C，∠B之間的數(shù)量關系是______；(3)如圖3，若點P是AE延長線上一點，過點P作PG⊥BC于點G，則∠EPG與∠C，∠B之間有何數(shù)量關系？畫出圖形并證明你的結(jié)論．4．在銳角△ABC中，E、D分別為AB、AC邊上的動點，連接EC、BD交于點P．

(1)如圖1，當E、D運動到CE⊥AB、BD⊥AC,∠BPC=130°，求∠A的度數(shù)；(2)如圖2，當E、D運動到BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，寫出∠A與∠BPC的數(shù)量關系，并證明．5．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，P為線段AD上一個動點，PE⊥AD于點P，交BD的延長線于點E．

(1)若∠B=36°，∠ACB=84°，則∠BAD=______，∠ADC=______；(2)若∠ACB=90°，∠ABC=∠E，求∠B的度數(shù)；(3)若∠B=α，∠ACB=β，a<β，求∠DEP，(用含α,β的式了表示)6．在△ABC中，∠C=80°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

(1)若點P在線段AB上，如圖①且∠α=60°，則∠1+∠2=(2)若點P在邊AB上運動，如圖①，則∠α，∠1，∠2之間有何關系?并說明理由．(3)若點P運動到邊BA的延長線上，如圖②，則∠α，∠1，∠2之間有何關系?猜想并說明理由．(4)若點P運動到△ABC外，如圖③，則∠α，∠1，∠2之間的關系為．7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于點D，點F是直線AD上一動點，過點F作FE⊥BC于點E，∠B=40°，(1)求∠DFE的度數(shù)；(2)當∠B=α，∠C=β，點F在直線AD上移動時，直接寫出∠DFE的度數(shù)．（用含α，8．Rt△ABC中，∠C=90°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是一動點，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α

(1)若點P在線段AB上，如圖①所示，且∠α=50°，則∠1+∠2=______°；(2)若點P在邊AB上運動，如圖②所示，則∠α、∠1、∠2之間的關系為______；(3)如圖③，若點P在斜邊BA的延長線上運動(CE<CD)，請寫出∠α、∠1、∠2之間的關系式，并說明理由．9．如圖，A，B分別是∠MON兩邊OM，ON上的動點（均不與點O重合）．

(1)如圖1，當∠MON=58°時，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分線交于點C，則∠ACB=______°．(2)如圖2，當∠MON=n°時，∠OAB，∠OBA的平分線交于點D，則∠ADB=______°（用含n的式子表示）．(3)如圖3，當∠MON=α（α為定值，0°<α<180°）時，BE是∠NBA的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線交于點F．隨著點A，B的運動，∠F的大小會改變嗎？如果不會，求出∠F的度數(shù)（用含α的式子表示）；如果會，請說明理由．10．Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是AC、BC邊上的點，點P是一動點，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α(1)若點P在線段AB上，如圖1所示，且∠α=50°，求∠1+∠2的度數(shù)；(2)若點P在邊AB上運動，如圖2所示，求∠α、∠1、∠2之間的數(shù)量關系．11．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E是線段AC上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交射線BD于點F，∠CEF的平分線所在直線與射線BD交于點G．(1)如圖，點E在線段AD上運動．①若∠ABC=40°，∠C=60°，則∠A的度數(shù)是；∠EFB的度數(shù)是②探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關系，并說明理由；(2)若點E在線段DC上運動時，請直接寫出∠BGE與∠A之間的數(shù)量關系．12．如圖1，點D、點E分別在△ABC邊AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分線交AC于

(1)求證：∠DBF+∠DFB=90°；(2)如圖2，如果∠ACD的平分線與AB交于點G，∠BGC=50°，求∠DEC的度數(shù)．(3)如圖3，如果H點是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），AH交DC于M點，∠CAH的平分線AI交DF于N點，當H點在BC上運動時，∠DEC+∠DMH∠ANF13．△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，F(xiàn)是AB上的一個動點，EF⊥AB交BC于點E，EG平分∠CEF，

(1)如圖1，當點E在線段BD上時，EG交AB于點G，判斷EG與AD的位置關系是；(2)如圖2，當點E在線段CD上時，EG交AC于點G，(1)中結(jié)論是否成立？請證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當點E在線段DC延長線上時，EG交AC于點G，判斷EG與AD的位置關系，并說明理由．14．已知點D在∠ABC內(nèi)，E為射線BC上一點，連接DE，CD．

(1)如圖1所示，連接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．①線段AB與CD有何位置關系？請說明理由；②過點D作DM∥AE交直線BC于點M，求證：∠CDM=∠BAE；(2)如圖2所示，∠AED=∠A?∠D，若M為平面內(nèi)一動點，MA∥ED，請直接寫出∠MAB與15．在△ABC中，∠B=40°，∠C=36°，點D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點，點P是一動點，設∠DPE=∠α，∠PDB=∠1，∠PEC=∠2．(1)若點P在邊BC上，如圖1，∠α=40°，計算(2)若點P運動到△ABC外，請在圖2中標出∠α，∠1，∠2，探究∠α，∠1，∠2之間的等量關系，并說明理由；

(3)若點P運動到△ABC外，請分別在圖3，圖4中標出∠α，∠1，∠2，并直接寫出相應的∠α，∠1，∠2之間的等量關系．

16．在△ABC中，∠A=70°，點D，E分別是邊AC，AB上的點（不與A，B，C重合），點P是平面內(nèi)一動點（P與D，E不在同一直線上），設

(1)若點P在邊BC上運動（不與點B和點C重合），如圖（1）所示，則∠1+∠2=___________（用含∠α的代數(shù)式表示）；(2)若點P在ABC的外部，如圖（2）所示，則∠α，(3)當點P在邊BC的延長線上運動時，試畫出相應圖形，標注有關字母與數(shù)字，并寫出對應的∠α，17．在△ABC中，∠A=60°，點D、E分別是△ABC邊AC、AB上的點，點P是一動點，設∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)如圖1，若點P在線段BC上，且∠α=50°，求∠1+∠2的度數(shù)；(2)若點P在線段BC延長線上，請借助圖2和圖3，分別探究∠1、∠2與∠α之間的關系，并說明理由．18．在ΔABC中，BO平分∠ABC，點P為直線AC上一動點，PO⊥BO于點O(1)如圖①，當∠ABC=40°，∠BAC=60°，點P與點C(2)如圖②，當點P在AC的延長線上時，求證：∠APO=119．如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的平分線交于A1(1)如圖1，若∠A=70°，則∠A1(2)如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線及外角∠DCE的角平分線相交于點F，若∠A+∠D=230°，求∠F的度數(shù)．(3)如圖3，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的角平分線交于A1，若E為BA延長線上一動點，連接EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于點Q①∠Q+∠A②∠Q?∠A其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結(jié)論，并求出其值．20．Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α(1)若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=48°，則∠1+∠2=__________°；(2)若點P在邊AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關系為：__________；(3)若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由．(4)若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關系為：__________．【題型2全等三角形中的動點問題】21．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D為AC上一動點．

(1)如圖1，點E、點F均是射線BD上的點并且滿足AE=AF，∠EAF=90°．求證：△ABE≌(2)在（1）的條件下，求證：CF⊥BD；(3)由（1）我們知道∠AFB=45°，如圖2，當點D的位置發(fā)生變化時，過點C作CF⊥BD于F，連接AF．那么∠AFB的度數(shù)是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論．22．如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC．E點為射線CB上一動點，連接AE，作AF⊥AE且AF=AE．(1)如圖1，過F點作FG⊥AC交AC于G點，求證：△AGF≌△ECA，AG=EC；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接BF交AC于D點，若AD=3CD，求證：E點為BC中點；(3)如圖3，當E點在CB的延長線上時，連接BF與AC的延長線交于D點，若BCBE=423．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，D為射線CB上一動點，連接AD

(1)當點D是BC的中點時，求△ABD的面積；(2)過A作AE⊥AD且AE=AD（E在直線AB上方）．①如圖2，當D在線段CB上，連接EC，請問△AEC的面積的值是否為定值？若為定值請求出該值；若不為定值請說明理由；②如圖3，當D在CB的延長線上，連接EB，與AC的延長線交于點F，求證：BD=2CF．24．如圖①，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AB→BC→CA運動，回到點

(1)如圖①，當△ABP的面積等于△ABC面積的一半時，求t的值：(2)如圖②，點D在BC邊上CD=4cm，點E在AC邊上CE=5cm,ED⊥BC,ED=3cm，在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AC→CB→BA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，以A,P,Q為頂點的三角形恰好與25．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20cm，AC=16cm，BC=12cm，現(xiàn)有一動點P從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為

(1)如圖1，當t=s時，S△BPC(2)如圖2，在△DEF中，∠E=90°，DE=8cm，DF=10cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ與△DEF全等，求點26．Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是直線CB上的一個動點，連接AD，過點C作AD的垂線，垂足為點E，過點B作AC的平行線交直線CE于點F

(1)如圖1，當點D為BC中點時，請直接寫出線段BF與AC的數(shù)量關系．(2)如圖2，當點D在線段CB上(不與C，B重合)，請?zhí)骄烤€段BF，BD，AC之間的數(shù)量關系(要求：寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說明理由)．(3)如圖3，當點D在線段CB延長線上，請?zhí)骄烤€段BF，BD，AC之間的數(shù)量關系(要求：畫出圖形，寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說明理由)．(4)當點D在線段BC延長線上，請直接寫出線段BF，BD，AC之間的數(shù)量關系．27．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，AB=AC=10cm，BC=8cm，動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以每秒3cm的速度向點C運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CA方向以每秒3cm的速度向點(1)在運動過程中，當點C位于線段PQ的垂直平分線上時，求出t的值；(2)在運動過程中，是否存在某一時刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，請說明理由．28．如圖1，在△ABC中，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，點P、Q分別是△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從點A、點Q從點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．(1)求證：△ABQ≌(2)點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．(3)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，直接寫出∠QMC的度數(shù)．29．在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一動點，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點F(1)如圖1，點M為邊AC上一點，則BD、(2)如圖2，點M為邊CA延長線上一點，則BD、30．△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是BC邊上的一個動點，連接AD，過點B作BF⊥AD于點F．(1)如圖1，分別延長AC，BF相交于點E，求證：BE=AD；(2)如圖2，若AD平分∠BAC，AD=5，求BF的長；(3)如圖3，M是FB延長線上一點，AD平分∠MAC，試探究AC，CD，AM之間的數(shù)量關系并說明理由．31．如圖，在長方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度向點C勻速運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CD方向以2cm/s的速度向點D勻速運動，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．設運動時間為t（s）（0<t<3）．解答下列問題：（1）當點C在線段PQ的垂直平分線上時，求t的值；（2）是否存在某一時刻t，使ΔABP≌ΔPCQ若存在，求出t的值，并判斷此時AP32．如圖①，線段BC=6，過點B、C分別作垂線，在其同側(cè)取AB=4，另一條垂線上任取一點D．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC向終點C運動；同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線CD運動，當點P停止時，點Q也隨之停止運動．設點P的運動的時間為ts（1）當t=1，CP=________，用含a的代數(shù)式表示CQ的長為_______．（2）當a=2,t=1時，①求證：△ABP≌△PCQ．②求證：AP⊥PQ．（3）如圖②，將“過點B、C分別作垂線”改為“在線段BC的同側(cè)作∠ABC=∠DCB”，其它條件不變．若△ABP與△PCQ全等，直接寫出對應的a、t的值．33．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．（1）如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關系．（不用證明）

34．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為BC邊所在直線上的一個動點（不與點B?C重合），在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD,∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）求證：∠ABD=∠ACE；（2）當點D為線段BC的中點時，判斷DE與AC的位置關系，并說明理由；（3）探究∠DAE與∠DCE的數(shù)量關系，直接寫出其結(jié)果_______．35．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A<∠ABC，D是AC邊上一點，且DA=DB，O是AB的中點，CE是△BCD的中線．（1）如圖a，連接OC，請寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關系并說明理由；（2）點M是射線EC上的一個動點，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得射線ON，使∠MON=∠ADB，ON與射線CA交于點N．如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關系．36．已知：點D是△ABC的AC邊上的一個動點（點D不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BD作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點．

圖1

圖2（1）如圖1，當點D與點O重合時，求證OE=OF．（2）如圖2，當點D與點O不重合時，OE與OF又有怎樣的數(shù)量關系，證明你的結(jié)論．37．如圖，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點D是斜邊AB的中點．點E從點B出發(fā)以1cm/s的速度向點C運動，點F同時從點C出發(fā)以一定的速度沿射線CA方向運動，規(guī)定當點E到終點C時停止運動．設運動的時間為x秒，連接

（1）填空：SΔABC=______（2）當x=1且點F運動的速度也是1cm/s（3）若動點F以3cm/s的速度沿射線CA方向運動，在點E、點F運動過程中，如果存在某個時間x，使得ΔADF的面積是ΔBDE38．如圖，在ΔABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD.以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.（1）若AB=AC，∠BAC=90°①當點D在線段BC上時（與點B不重合），試探討CF與BD的數(shù)量關系和位置關系；②當點D在線段BC的延長線上時，①中的結(jié)論是否仍然成立，請在圖2中面出相應的圖形并說明理由；（2）如圖3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，點D在線段BC上運動，試探究CF與BD的位置關系.39．【閱讀】如圖1，等邊△ABC中，P是AC邊上一點，Q是CB延長線上一點，若AP＝BQ．則過P作PF∥BC交AB于F，可證△APF是等邊三角形，再證△PDF≌QDB可得D是FB的中點．請寫出證明過程．【運用】如圖2，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A，C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當∠BQD＝30°時，求AP的長；（2）在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請說明理由．40．射線AE為ΔABC的外角平分線，點P為射線AE上不與A重合的一個動點．（1）如圖①，求證：不論P在何處，總有AB+AC＜PB+PC.（2）如圖②，過點P作PM⊥BA交BA的延長線于點M，且∠BPC=∠BAC.求AC?ABAM【題型3軸對稱中的動點問題】41．已知：如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間ts42．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，E是AD上的一動點，點F在直線AB上，且∠F=∠ECA．(1)求證：∠CEF=2∠B；(2)如圖1，求證：EC=EF；(3)如圖2，如果AF=10，AC=m，當CE正好平分∠ACB時，直接寫出BC的長為_____．（用含m的代數(shù)式表示）43．如圖，AD是等邊△ABC的中線，點E和點F分別是線段AD和AC上的動點．(1)如圖1，當點F與點C重合時，連接EF,EB，若EF=5，求EB的長；(2)如圖2，當點F與點C重合時，連接EF，以EF為邊在AD的右側(cè)作等邊△EFG，連接AG、BG，BG交AC于點H，作射線DH交EG于點M，求證：EM=GM；(3)如圖3，若AE=CF，請直接寫出當BE+BF取得最小值時∠EBF的度數(shù)．44．如圖等腰△ABC中，AB=AC，點D是AC上一動點，點E在BD延長線上，且AB=AE，CF=EF．(1)在圖1中，證明：△AFE≌△AFC；(2)在圖1中，證明：∠BFC=∠BAC；(3)若∠BAC=60°，如圖2，探究線段AF、BF、EF之間的數(shù)量關系，并證明．45．已知:在△ABC中,AB=AC,點D為線段AB上一動點（不與A?B重合）．(1)如圖1,若∠BAC=90°,BE⊥CD交CA延長線于點F,當AD=4,BD=3時,△ABF的面積為______;(2)如圖2,若∠BAC=45°,E是AC上的一點,且滿足∠ABE=22.5°,當CD⊥AB時,CD交BE于點P時,判斷PC與BD的數(shù)量關系,并說明理由;(3)如圖3,若∠BAC=aa<90°,點M?N分別為AC?BC邊上的動點,當△DMN周長取最小值時,求∠MDN46．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP=2cm/s，VQ=1cm/s，當點P(1)當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？(2)當t為何值時，△PBQ為直角三角形？47．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，點F是AC邊上一點，CF=5(1)在邊AB上作點D，使得點D到邊CA、CB的距離相等；(2)在射線CD上作點E，使得點E到點A、點C的距離相等；(3)若點P是射線CD上一個動點，當FP+AP取最小值時，在圖中作出符合要求的點P，F(xiàn)P+AP的最小值是．48．在△ABC中，AB=17，BC=15，點D為邊CB的中點，動點P以2個單位的速度從點B出發(fā)在射線BA上運動，點Q在邊AC上，設點P運動時間為t秒．t>0(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP的長．(2)當AC=BC，點P在線段BA上．若△BPD和△AQP全等，求t的值；(3)當∠CAB=56°，△AQP為等腰三角形時，請直接寫出∠APQ的度數(shù)．49．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，EF垂直平分AC，交AC于點E，交AB于點F，M是直線EF上的動點．(1)當MD⊥BC時，①若ME=1，則點M到AB的距離為________；②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周長；(2)若BC=8，且△ABC的面積為40，求△CDM周長的最小值．50．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A

(1)BP＝（用t的代數(shù)式表示）(2)當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？(3)當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？51．如圖，△ABC是邊長為9的等邊三角形，P是AC邊上的動點，由點A向點C運動（與A，C不重合），Q是CB延長線上的動點，與點P以相同的速度同時由點B向CB延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作PE⊥AB于點E，連接PQ交AB于D．

(1)當∠BQD=30°時，求AP的長；(2)在運動過程中線段DE的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段DE的長；如果發(fā)生變化，請說明理由．52．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，CD平分∠ACB，交邊AB于點D，點E是邊AB的中點．點P為邊CB

(1)AE=，∠ACD=度；(2)當四邊形ACPD為軸對稱圖形時，求CP的長；(3)若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；53．如圖，△ABC和△ACD都是邊長為4厘米的等邊三角形，兩個動點P，Q同時從A點出發(fā)，點P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運動，點Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運動，當點Q運動到點D時，P，Q兩點同時停止運動．設P，Q運動的時間為t秒．

(1)點P，Q從出發(fā)到相遇所用時間是______秒；(2)當t取何值時，△APQ也是等邊三角形？請說明理由；(3)當0<t<2時，判斷PQ與AC的位置關系，請說明理由．54．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點O是BC的中點，點P是射線CB上的一個動點（點P不與點C、O、B重合），過點C作CE⊥AP于點E，過點B作BF⊥AP于點F，連接EO，OF【問題探究】如圖1，當P點在線段CO上運動時，延長EO交BF于點G．（1）求證：△AEC≌△BFA；（2）求AF與BG的數(shù)量關系并說明理由．【拓展延伸】（3）①如圖2，當P點在線段OB上運動，EO的延長線與BF的延長線交于點G．求證：GF=EF；②當P點在射線OB上運動時，若AE=3，CE=7，直接寫出△OEF的面積，不需證明．55．如圖①，等腰△ABC中，AB=AC．點D是AC上一動點，點E、P分別在BD延長線上，且AB=AE，CP=EP．問題思考

在圖①中，求證：∠BPC=∠BAC；問題再探

若∠BAC=60°，如圖②，探究線段AP、BP、EP之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；問題拓展

若∠BAC=90°且BD平分∠ABC，如圖③，請直接寫出EPBD的