專題12全冊(cè)幾何證明題動(dòng)點(diǎn)問題（3種類型60道）（原卷版）

專題12全冊(cè)幾何證明題動(dòng)點(diǎn)問題（3種類型60道）目錄TOC\o"13"\h\u【題型1三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】 1【題型2全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】 9【題型3軸對(duì)稱中的動(dòng)點(diǎn)問題】 17【題型1三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】1．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)E在射線BD上（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作EF∥BC交線段AC于點(diǎn)F（不與點(diǎn)A，C重合），∠AFE的平分線所在的直線與射線BD交于點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)．①若∠ABC=40°，∠C=60°，∠FED的度數(shù)為______；∠FGD的度數(shù)為______；②求證∠FGD=90°?1(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長線上時(shí)，直接寫出∠FGD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．2．已知：在△ABC中，∠C=70°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA=∠1，(1)若點(diǎn)P在線段AB上，如圖①所示，且∠α=50°，則∠(2)若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖②所示，則∠α、∠1、(3)若點(diǎn)P在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)CE<CD，如圖③所示，則∠α、∠1、3．在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B．

(1)如圖1，若AD⊥BC于點(diǎn)D，∠C=60°，∠B=40°，則∠DAE=______；(2)如圖2，若點(diǎn)P是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，則∠EPG與∠C，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是______；(3)如圖3，若點(diǎn)P是AE延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，則∠EPG與∠C，∠B之間有何數(shù)量關(guān)系？畫出圖形并證明你的結(jié)論．4．在銳角△ABC中，E、D分別為AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EC、BD交于點(diǎn)P．

(1)如圖1，當(dāng)E、D運(yùn)動(dòng)到CE⊥AB、BD⊥AC,∠BPC=130°，求∠A的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)E、D運(yùn)動(dòng)到BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，寫出∠A與∠BPC的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，P為線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD于點(diǎn)P，交BD的延長線于點(diǎn)E．

(1)若∠B=36°，∠ACB=84°，則∠BAD=______，∠ADC=______；(2)若∠ACB=90°，∠ABC=∠E，求∠B的度數(shù)；(3)若∠B=α，∠ACB=β，a<β，求∠DEP，(用含α,β的式了表示)6．在△ABC中，∠C=80°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

(1)若點(diǎn)P在線段AB上，如圖①且∠α=60°，則∠1+∠2=(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖①，則∠α，∠1，∠2之間有何關(guān)系?并說明理由．(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊BA的延長線上，如圖②，則∠α，∠1，∠2之間有何關(guān)系?猜想并說明理由．(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC外，如圖③，則∠α，∠1，∠2之間的關(guān)系為．7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作FE⊥BC于點(diǎn)E，∠B=40°，(1)求∠DFE的度數(shù)；(2)當(dāng)∠B=α，∠C=β，點(diǎn)F在直線AD上移動(dòng)時(shí)，直接寫出∠DFE的度數(shù)．（用含α，8．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α

(1)若點(diǎn)P在線段AB上，如圖①所示，且∠α=50°，則∠1+∠2=______°；(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖②所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為______；(3)如圖③，若點(diǎn)P在斜邊BA的延長線上運(yùn)動(dòng)(CE<CD)，請(qǐng)寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系式，并說明理由．9．如圖，A，B分別是∠MON兩邊OM，ON上的動(dòng)點(diǎn)（均不與點(diǎn)O重合）．

(1)如圖1，當(dāng)∠MON=58°時(shí)，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分線交于點(diǎn)C，則∠ACB=______°．(2)如圖2，當(dāng)∠MON=n°時(shí)，∠OAB，∠OBA的平分線交于點(diǎn)D，則∠ADB=______°（用含n的式子表示）．(3)如圖3，當(dāng)∠MON=α（α為定值，0°<α<180°）時(shí)，BE是∠NBA的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)F．隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)，∠F的大小會(huì)改變嗎？如果不會(huì)，求出∠F的度數(shù)（用含α的式子表示）；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由．10．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是AC、BC邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α(1)若點(diǎn)P在線段AB上，如圖1所示，且∠α=50°，求∠1+∠2的度數(shù)；(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，求∠α、∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系．11．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作EF∥BC交射線BD于點(diǎn)F，∠CEF的平分線所在直線與射線BD交于點(diǎn)G．(1)如圖，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若∠ABC=40°，∠C=60°，則∠A的度數(shù)是；∠EFB的度數(shù)是②探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．12．如圖1，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在△ABC邊AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分線交AC于

(1)求證：∠DBF+∠DFB=90°；(2)如圖2，如果∠ACD的平分線與AB交于點(diǎn)G，∠BGC=50°，求∠DEC的度數(shù)．(3)如圖3，如果H點(diǎn)是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），AH交DC于M點(diǎn)，∠CAH的平分線AI交DF于N點(diǎn)，當(dāng)H點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DEC+∠DMH∠ANF13．△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AB交BC于點(diǎn)E，EG平分∠CEF，

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，EG交AB于點(diǎn)G，判斷EG與AD的位置關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，EG交AC于點(diǎn)G，(1)中結(jié)論是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC延長線上時(shí)，EG交AC于點(diǎn)G，判斷EG與AD的位置關(guān)系，并說明理由．14．已知點(diǎn)D在∠ABC內(nèi)，E為射線BC上一點(diǎn)，連接DE，CD．

(1)如圖1所示，連接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．①線段AB與CD有何位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；②過點(diǎn)D作DM∥AE交直線BC于點(diǎn)M，求證：∠CDM=∠BAE；(2)如圖2所示，∠AED=∠A?∠D，若M為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，MA∥ED，請(qǐng)直接寫出∠MAB與15．在△ABC中，∠B=40°，∠C=36°，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)∠DPE=∠α，∠PDB=∠1，∠PEC=∠2．(1)若點(diǎn)P在邊BC上，如圖1，∠α=40°，計(jì)算(2)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC外，請(qǐng)?jiān)趫D2中標(biāo)出∠α，∠1，∠2，探究∠α，∠1，∠2之間的等量關(guān)系，并說明理由；

(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC外，請(qǐng)分別在圖3，圖4中標(biāo)出∠α，∠1，∠2，并直接寫出相應(yīng)的∠α，∠1，∠2之間的等量關(guān)系．

16．在△ABC中，∠A=70°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)（不與A，B，C重合），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（P與D，E不在同一直線上），設(shè)

(1)若點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），如圖（1）所示，則∠1+∠2=___________（用含∠α的代數(shù)式表示）；(2)若點(diǎn)P在ABC的外部，如圖（2）所示，則∠α，(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試畫出相應(yīng)圖形，標(biāo)注有關(guān)字母與數(shù)字，并寫出對(duì)應(yīng)的∠α，17．在△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、AB上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段BC上，且∠α=50°，求∠1+∠2的度數(shù)；(2)若點(diǎn)P在線段BC延長線上，請(qǐng)借助圖2和圖3，分別探究∠1、∠2與∠α之間的關(guān)系，并說明理由．18．在ΔABC中，BO平分∠ABC，點(diǎn)P為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，PO⊥BO于點(diǎn)O(1)如圖①，當(dāng)∠ABC=40°，∠BAC=60°，點(diǎn)P與點(diǎn)C(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，求證：∠APO=119．如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的平分線交于A1(1)如圖1，若∠A=70°，則∠A1(2)如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線及外角∠DCE的角平分線相交于點(diǎn)F，若∠A+∠D=230°，求∠F的度數(shù)．(3)如圖3，△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的角平分線交于A1，若E為BA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于點(diǎn)Q①∠Q+∠A②∠Q?∠A其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并求出其值．20．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α(1)若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=48°，則∠1+∠2=__________°；(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：__________；(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：__________．【題型2全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】21．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F均是射線BD上的點(diǎn)并且滿足AE=AF，∠EAF=90°．求證：△ABE≌(2)在（1）的條件下，求證：CF⊥BD；(3)由（1）我們知道∠AFB=45°，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D的位置發(fā)生變化時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，連接AF．那么∠AFB的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．22．如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC．E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作AF⊥AE且AF=AE．(1)如圖1，過F點(diǎn)作FG⊥AC交AC于G點(diǎn)，求證：△AGF≌△ECA，AG=EC；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接BF交AC于D點(diǎn)，若AD=3CD，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；(3)如圖3，當(dāng)E點(diǎn)在CB的延長線上時(shí)，連接BF與AC的延長線交于D點(diǎn)，若BCBE=423．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，D為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD

(1)當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，求△ABD的面積；(2)過A作AE⊥AD且AE=AD（E在直線AB上方）．①如圖2，當(dāng)D在線段CB上，連接EC，請(qǐng)問△AEC的面積的值是否為定值？若為定值請(qǐng)求出該值；若不為定值請(qǐng)說明理由；②如圖3，當(dāng)D在CB的延長線上，連接EB，與AC的延長線交于點(diǎn)F，求證：BD=2CF．24．如圖①，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)

(1)如圖①，當(dāng)△ABP的面積等于△ABC面積的一半時(shí)，求t的值：(2)如圖②，點(diǎn)D在BC邊上CD=4cm，點(diǎn)E在AC邊上CE=5cm,ED⊥BC,ED=3cm，在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形恰好與25．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20cm，AC=16cm，BC=12cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為

(1)如圖1，當(dāng)t=s時(shí)，S△BPC(2)如圖2，在△DEF中，∠E=90°，DE=8cm，DF=10cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ與△DEF全等，求點(diǎn)26．Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是直線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)B作AC的平行線交直線CE于點(diǎn)F

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BF與AC的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上(不與C，B重合)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系(要求：寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說明理由)．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系(要求：畫出圖形，寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說明理由)．(4)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上，請(qǐng)直接寫出線段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系．27．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AB=AC=10cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以每秒3cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒3cm的速度向點(diǎn)(1)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)C位于線段PQ的垂直平分線上時(shí)，求出t的值；(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．28．如圖1，在△ABC中，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，點(diǎn)P、Q分別是△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從點(diǎn)A、點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．(1)求證：△ABQ≌(2)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．(3)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，直接寫出∠QMC的度數(shù)．29．在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F(1)如圖1，點(diǎn)M為邊AC上一點(diǎn)，則BD、(2)如圖2，點(diǎn)M為邊CA延長線上一點(diǎn)，則BD、30．△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F．(1)如圖1，分別延長AC，BF相交于點(diǎn)E，求證：BE=AD；(2)如圖2，若AD平分∠BAC，AD=5，求BF的長；(3)如圖3，M是FB延長線上一點(diǎn)，AD平分∠MAC，試探究AC，CD，AM之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．31．如圖，在長方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向以2cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0<t<3）．解答下列問題：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段PQ的垂直平分線上時(shí)，求t的值；（2）是否存在某一時(shí)刻t，使ΔABP≌ΔPCQ若存在，求出t的值，并判斷此時(shí)AP32．如圖①，線段BC=6，過點(diǎn)B、C分別作垂線，在其同側(cè)取AB=4，另一條垂線上任取一點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿射線CD運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts（1）當(dāng)t=1，CP=________，用含a的代數(shù)式表示CQ的長為_______．（2）當(dāng)a=2,t=1時(shí)，①求證：△ABP≌△PCQ．②求證：AP⊥PQ．（3）如圖②，將“過點(diǎn)B、C分別作垂線”改為“在線段BC的同側(cè)作∠ABC=∠DCB”，其它條件不變．若△ABP與△PCQ全等，直接寫出對(duì)應(yīng)的a、t的值．33．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）

34．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B?C重合），在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD,∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）求證：∠ABD=∠ACE；（2）當(dāng)點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并說明理由；（3）探究∠DAE與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，直接寫出其結(jié)果_______．35．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A<∠ABC，D是AC邊上一點(diǎn)，且DA=DB，O是AB的中點(diǎn)，CE是△BCD的中線．（1）如圖a，連接OC，請(qǐng)寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）點(diǎn)M是射線EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線ON，使∠MON=∠ADB，ON與射線CA交于點(diǎn)N．如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系．36．已知：點(diǎn)D是△ABC的AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BD作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．

圖1

圖2（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，求證OE=OF．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O不重合時(shí)，OE與OF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．37．如圖，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以一定的速度沿射線CA方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定當(dāng)點(diǎn)E到終點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，連接

（1）填空：SΔABC=______（2）當(dāng)x=1且點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的速度也是1cm/s（3）若動(dòng)點(diǎn)F以3cm/s的速度沿射線CA方向運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，如果存在某個(gè)時(shí)間x，使得ΔADF的面積是ΔBDE38．如圖，在ΔABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD.以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.（1）若AB=AC，∠BAC=90°①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)?jiān)趫D2中面出相應(yīng)的圖形并說明理由；（2）如圖3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，試探究CF與BD的位置關(guān)系.39．【閱讀】如圖1，等邊△ABC中，P是AC邊上一點(diǎn)，Q是CB延長線上一點(diǎn)，若AP＝BQ．則過P作PF∥BC交AB于F，可證△APF是等邊三角形，再證△PDF≌QDB可得D是FB的中點(diǎn)．請(qǐng)寫出證明過程．【運(yùn)用】如圖2，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A，C不重合），Q是CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長；（2）在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由．40．射線AE為ΔABC的外角平分線，點(diǎn)P為射線AE上不與A重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖①，求證：不論P(yáng)在何處，總有AB+AC＜PB+PC.（2）如圖②，過點(diǎn)P作PM⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)M，且∠BPC=∠BAC.求AC?ABAM【題型3軸對(duì)稱中的動(dòng)點(diǎn)問題】41．已知：如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間ts42．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AD上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在直線AB上，且∠F=∠ECA．(1)求證：∠CEF=2∠B；(2)如圖1，求證：EC=EF；(3)如圖2，如果AF=10，AC=m，當(dāng)CE正好平分∠ACB時(shí)，直接寫出BC的長為_____．（用含m的代數(shù)式表示）43．如圖，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是線段AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，連接EF,EB，若EF=5，求EB的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，連接EF，以EF為邊在AD的右側(cè)作等邊△EFG，連接AG、BG，BG交AC于點(diǎn)H，作射線DH交EG于點(diǎn)M，求證：EM=GM；(3)如圖3，若AE=CF，請(qǐng)直接寫出當(dāng)BE+BF取得最小值時(shí)∠EBF的度數(shù)．44．如圖等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD延長線上，且AB=AE，CF=EF．(1)在圖1中，證明：△AFE≌△AFC；(2)在圖1中，證明：∠BFC=∠BAC；(3)若∠BAC=60°，如圖2，探究線段AF、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．45．已知:在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A?B重合）．(1)如圖1,若∠BAC=90°,BE⊥CD交CA延長線于點(diǎn)F,當(dāng)AD=4,BD=3時(shí),△ABF的面積為______;(2)如圖2,若∠BAC=45°,E是AC上的一點(diǎn),且滿足∠ABE=22.5°,當(dāng)CD⊥AB時(shí),CD交BE于點(diǎn)P時(shí),判斷PC與BD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)如圖3,若∠BAC=aa<90°,點(diǎn)M?N分別為AC?BC邊上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△DMN周長取最小值時(shí),求∠MDN46．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP=2cm/s，VQ=1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？47．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn)，CF=5(1)在邊AB上作點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到邊CA、CB的距離相等；(2)在射線CD上作點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離相等；(3)若點(diǎn)P是射線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)FP+AP取最小值時(shí)，在圖中作出符合要求的點(diǎn)P，F(xiàn)P+AP的最小值是．48．在△ABC中，AB=17，BC=15，點(diǎn)D為邊CB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā)在射線BA上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在邊AC上，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．t>0(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP的長．(2)當(dāng)AC=BC，點(diǎn)P在線段BA上．若△BPD和△AQP全等，求t的值；(3)當(dāng)∠CAB=56°，△AQP為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠APQ的度數(shù)．49．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，M是直線EF上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)MD⊥BC時(shí)，①若ME=1，則點(diǎn)M到AB的距離為________；②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周長；(2)若BC=8，且△ABC的面積為40，求△CDM周長的最小值．50．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A

(1)BP＝（用t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？51．如圖，△ABC是邊長為9的等邊三角形，P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（與A，C不重合），Q是CB延長線上的動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P以相同的速度同時(shí)由點(diǎn)B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PQ交AB于D．

(1)當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長；(2)在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段DE的長；如果發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．52．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，CD平分∠ACB，交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P為邊CB

(1)AE=，∠ACD=度；(2)當(dāng)四邊形ACPD為軸對(duì)稱圖形時(shí)，求CP的長；(3)若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；53．如圖，△ABC和△ACD都是邊長為4厘米的等邊三角形，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)點(diǎn)P，Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是______秒；(2)當(dāng)t取何值時(shí)，△APQ也是等邊三角形？請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)0<t<2時(shí)，判斷PQ與AC的位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由．54．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、O、B重合），過點(diǎn)C作CE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AP于點(diǎn)F，連接EO，OF【問題探究】如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長EO交BF于點(diǎn)G．（1）求證：△AEC≌△BFA；（2）求AF與BG的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【拓展延伸】（3）①如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動(dòng)，EO的延長線與BF的延長線交于點(diǎn)G．求證：GF=EF；②當(dāng)P點(diǎn)在射線OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若AE=3，CE=7，直接寫出△OEF的面積，不需證明．55．如圖①，等腰△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、P分別在BD延長線上，且AB=AE，CP=EP．問題思考

在圖①中，求證：∠BPC=∠BAC；問題再探

若∠BAC=60°，如圖②，探究線段AP、BP、EP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；問題拓展

若∠BAC=90°且BD平分∠ABC，如圖③，請(qǐng)直接寫出EPBD的