2024-2025學年高一數(shù)學必修第一冊（配湘教版）教學課件 5.3.1 第3課時 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調性

第5章三角函數(shù)5.3.1第3課時正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調性課標要求1.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性,會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.2.掌握y=sinx,y=cosx的單調性,并能利用單調性比較大小.3.會求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的單調區(qū)間.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調性函數(shù)y=sinxy=cosx圖象

奇偶性由sin(-x)=-sinx知,正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)由cos(-x)=cosx知,余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosx單調性在閉區(qū)間[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù),函數(shù)值從-1增大到1,在閉區(qū)間[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是減函數(shù),函數(shù)值從1減小到-1在閉區(qū)間[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上是減函數(shù),函數(shù)值從1減小到-1;在閉區(qū)間[(2k+1)π,(2k+2)π](k∈Z)上是增函數(shù),函數(shù)值從-1增大到1函數(shù)y=sinxy=cosx對稱性對稱中心為(kπ,0)(k∈Z),對稱軸為直線x=+kπ(k∈Z)在對稱軸處取得最大值或最小值對稱中心為(+kπ,0)(k∈Z),對稱軸為直線x=kπ(k∈Z)在對稱軸處取得最大值或最小值名師點睛對單調區(qū)間的理解(1)k取Z內的每一個值,都對應著一個單調遞增區(qū)間及單調遞減區(qū)間,這些區(qū)間是斷開的.(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)不是定義域內的單調函數(shù).過關自診

A.單調遞增

B.單調遞減C.先減后增

D.先增后減C2.下列關系式正確的是(

)A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°C解析

∵sin

168°=sin(180°-12°)=sin

12°,cos

10°=sin(90°-10°)=sin

80°,由正弦函數(shù)的單調性,得sin

11°<sin

12°<sin

80°,即sin

11°<sin

168°<cos

10°.故選C.3.y=sinx和y=cosx在區(qū)間(m,n)(其中0<m<n<2π)上都單調遞減,你能確定m的最小值,n的最大值嗎?提示

由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調性可知m的最小值是

,n的最小值是π.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一三角函數(shù)的奇偶性及其應用【例1】

判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;解

函數(shù)f(x)=|sin

x|+cos

x的定義域為R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).規(guī)律方法

1.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法:(1)定義法,即從f(-x)的解析式中拼湊出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)圖象法,即作出函數(shù)的圖象,由圖象的對稱性確定其奇偶性.(3)驗證法,即驗證f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0(或

=±1,且f(x)不為0)是否成立.此法通常用于函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的情形.2.判斷函數(shù)奇偶性時,必須先判斷其定義域是否關于原點對稱.如果是,再驗證f(-x)是否等于-f(x)或f(x),進而再判斷函數(shù)的奇偶性;如果不是,那么該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).變式訓練1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xcos(π+x);(2)f(x)=sin(cosx).解

(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,∵f(x)=xcos(π+x)=-xcos

x,∴f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos

x=-f(x).∴f(x)為奇函數(shù).(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos

x)=f(x).∴f(x)為偶函數(shù).探究點二求三角函數(shù)的單調區(qū)間【例2】

求下列函數(shù)的單調遞減區(qū)間:規(guī)律方法

與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關的單調區(qū)間的求解技巧:(1)結合正弦、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調區(qū)間;(2)確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調區(qū)間的方法:采用“換元”法整體代換,將ωx+φ看作一個整體,可令“z=ωx+φ”,即通過求y=Asin

z的單調區(qū)間求出原函數(shù)的單調區(qū)間.若ω<0,則可利用誘導公式將x的系數(shù)轉變?yōu)檎龜?shù).變式訓練2探究點三單調性在三角函數(shù)中的應用1.利用單調性比較三角函數(shù)值的大小【例3】

比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin220°與sin230°;解

因為函數(shù)y=sin

x在90°~270°上單調遞減,且90°<220°<230°<270°,所以sin

220°>sin

230°.規(guī)律方法

用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調性比較大小時,應先將異名化同名,把不在同一單調區(qū)間內的角用誘導公式轉化到同一單調區(qū)間,再利用單調性來比較大小.2.已知三角函數(shù)的單調性求參數(shù)問題

D規(guī)律方法

根據(jù)三角函數(shù)的單調區(qū)間M求解析式中的參數(shù)范圍問題,主要是根據(jù)已知函數(shù)的解析式求出函數(shù)相應的單調區(qū)間I,將問題轉化為M?I,列不等式組求解.變式訓練3A學以致用·隨堂檢測促達標1234561.函數(shù)f(x)=sin(-x)是(

)A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)A解析

因為x∈R,且f(-x)=sin

x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).1234562.函數(shù)y=2sin(x+)是(

)A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)B123456C1234561234564.函數(shù)y=1-sin的單調遞增區(qū)間是