信號與系統(tǒng)第2版 課件2連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析

信號與系統(tǒng)主講：嚴(yán)國志信號與系統(tǒng)

課程目錄第1章緒論第2章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析第4章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析第6章離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析第7章離散時間信號與系統(tǒng)的Z域分析2024/10/162第二章

連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析

第2章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.1引言2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性2.3連續(xù)時間信號的基本運算2.4連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解經(jīng)典解法零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.5單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)2.6卷積積分及其性質(zhì)2.7單位沖激響應(yīng)表示的線性時不變系統(tǒng)的特性2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性典型普通信號

正弦信號

實指數(shù)信號

虛指數(shù)信號

復(fù)指數(shù)信號抽樣信號奇異信號

單位階躍信號

單位沖激信號

符號函數(shù)沖激偶信號2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性對時間的微、積分仍是同頻率正弦正弦信號是周期信號，其周期T與角頻率和頻率f滿足下列關(guān)系式：（1）正弦信號：一、典型普通信號2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性（2）指數(shù)信號---實指數(shù)信號指數(shù)信號一般形式實指數(shù)信號，即2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性（2）指數(shù)信號---虛指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號的周期：復(fù)指數(shù)信號的基波周期：2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性（2）指數(shù)信號---復(fù)指數(shù)信號2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性例：試畫出f=50Hz,,的電力系統(tǒng)常見暫態(tài)波形t=0:0.0001:0.2;U=1;tao=0.1;f=50;w0=2*pi*f;ut=U*sqrt(2)*exp(-1/tao*t).*cos(w0*t);plot(t*1000,ut)xlabel('t/ms')ylabel('u(t)')

2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性抽樣信號Sa(t)

（3）抽樣信號

抽樣函數(shù)的性質(zhì)注意MATLAB中的sinc函數(shù)定義為2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性例：t=-10:0.01:10;xt=sinc(t);plot(t,xt)xlabel('t')ylabel('x(t)')title('抽樣信號')2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性（4）單位階躍信號1）定義2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性2）單位階躍信號的性質(zhì)：可以方便地表示某些信號

2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性微積分

2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性（5）單位沖激信號

1)定義

單位沖激信號又可稱為沖激函數(shù)、狄拉克函數(shù)等，記為δ(t)。單位沖激信號反映一種持續(xù)時間極短、函數(shù)值極大的信號類型。如：單位階躍信號加在電容兩端，流過電容的電流可用沖激信號表示。2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性時移性單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)2)沖激信號的性質(zhì)2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性抽樣特性

把沖激函數(shù)與連續(xù)時間函數(shù)的乘積在整個時間范圍內(nèi)積分，可以得到?jīng)_激時刻的連續(xù)時間信號的取值，即“抽樣”。所以，沖激函數(shù)具有抽樣（檢測）特性。為一個在t=0處連續(xù)且處處有界的信號，則2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性乘積特性

連續(xù)時間信號x(t)與單位沖激信號相乘，等于將沖激時刻t0的信號值x(t0)“篩分”出來賦給沖激函數(shù)做沖激強度2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性尺度特性證明：分析：用兩邊與f(t)的乘積的積分值相等證明，分a>0、a<0兩種情況

兩邊相等2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性

兩邊相等2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性微積分特性沖激函數(shù)與階躍函數(shù)互為微積分關(guān)系2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性例：2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性注意（1）在沖激信號的取樣特性中，其積分區(qū)間不一定都是（-∞，+∞），但只要積分區(qū)間不包括沖激信號δ(t-t0)的t0時刻，則積分結(jié)果必為0.

2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性（6）符號信號符號函數(shù)也可以用階躍函數(shù)來表示，即2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性（7）單位斜變信號單位斜變函數(shù)與階躍函數(shù)ε(t)互為微積分關(guān)系，即：2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性（8）沖激偶信號2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性沖激偶的重要性質(zhì)若x(t)在t=0點(或)連續(xù)，則

例2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性沖激偶的重要性質(zhì)

沖激偶信號的另一個性質(zhì)是，它所包含的面積等于零，這是因為正、負(fù)兩個沖激的面積相互抵消。

沖激偶信號為奇函數(shù)，即2.2典型連續(xù)時間信號及其基本特性四種奇異信號的關(guān)系2.3連續(xù)時間信號的基本運算信號相加、乘信號的時移信號的翻轉(zhuǎn)信號的尺度變換信號的微分、積分信號的分解和合成2.3連續(xù)時間信號的基本運算1、信號的相加2.3連續(xù)時間信號的基本運算2、信號的相乘2.3連續(xù)時間信號的基本運算3、信號的時移時移：將信號x(t)的自變量t用t-t0替代表示信號右移t0單位表示信號左移t0單位2.3連續(xù)時間信號的基本運算4、信號的翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)：將信號x(t)的自變量t用-t替代2.3連續(xù)時間信號的基本運算5、信號的尺度變換尺度變換：將信號x(t)的自變量t用at替代若0<a<1,則x(at)是x(t)的擴展若a>1,則x(at)是x(t)的壓縮2.3連續(xù)時間信號的基本運算例：已知x(t)的波形如圖所示，試畫出x(-2t+4)的波形2.3連續(xù)時間信號的基本運算6、信號的微、積分140130tttt101340-12.3連續(xù)時間信號的基本運算6、信號的微、積分2.3連續(xù)時間信號的基本運算結(jié)論：（1）信號經(jīng)過微分運算后突出顯示了它的變化部分，起到了銳化的作用；（2）信號經(jīng)過積分運算后，使得信號突出變化部分變得平滑了，起到了模糊的作用；利用積分可以削弱信號中噪聲的影響。2.3連續(xù)時間信號的基本運算連續(xù)信號的微分與積分例：已知三角波x(t)，畫出其微分與積分的波形2.3連續(xù)時間信號的基本運算dt=0.001;t=-2:dt:2;y1=diff(triwave(t))/dt;subplot(311)plot(t,triwave(t))xlabel('t/s');title('x(t)');subplot(312)plot(t(1:length(t)-1),y1)xlabel('t/s');title('dx(t)/dt');forx=1:length(t)y2(x)=integral(@triwave,0,t(x));endsubplot(313)plot(t,y2)xlabel('t/s');title('integralofx(t)');2.3連續(xù)時間信號的基本運算8、連續(xù)時間信號的合成和分解一個信號的平均功率等于直流功率與交流功率之和。信號的平均值即為信號的直流分量，去掉直流分量即得交流分量（1）任意信號分解為直流分量與交流分量之和2.3連續(xù)時間信號的基本運算2.3連續(xù)時間信號的基本運算(2)奇偶分解

對任何實信號而言：信號的平均功率=偶分量功率+奇分量功率2.3連續(xù)時間信號的基本運算例：將信號分解為奇、偶分量的實例。2.3連續(xù)時間信號的基本運算矩形窄脈沖序列此窄脈沖可表示為(3)沖激信號2.3連續(xù)時間信號的基本運算出現(xiàn)在不同時刻的不同強度的沖激函數(shù)的和。2.4連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)時間系統(tǒng)用N階常系數(shù)微分方程描述2.4連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)經(jīng)典時域分析方法零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)卷積法微分方程的完全解應(yīng)為微分方程的齊次解與特解之和

2.4.2經(jīng)典時域分析方法齊次方程為（1）當(dāng)特征方程存在n個不同的單根時（單根中包括實根也包含共軛復(fù)根），其解為

為待定常數(shù)，由系統(tǒng)初始條件確定（2）當(dāng)特征方程存在r個重根λ，n-r個單根

2.4.2經(jīng)典時域分析方法

2.4.2經(jīng)典時域分析方法常用激勵對應(yīng)的特解形式2.4.2經(jīng)典時域分析方法例2-6：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程初始條件y(0)=4,y’(0)=-6,輸入信號，求系統(tǒng)的齊次解、特解、完全解解：1）求齊次方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解為2.4.2經(jīng)典時域分析方法2）求非齊次方程的的特解由輸入的形式，設(shè)方程的特解為將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)3）求方程的全解解得2.4.2經(jīng)典時域分析方法齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵x(t)的形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為強迫響應(yīng)。自由響應(yīng)強迫響應(yīng)2.4.2經(jīng)典時域分析方法討論1）若初始條件不變，輸入信號改變，系統(tǒng)的完全響應(yīng)2）若輸入信號不變，初始條件改變，系統(tǒng)的完全響應(yīng)2.4.2經(jīng)典時域分析方法經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念系統(tǒng)的響應(yīng)可以分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。零輸入響應(yīng)是當(dāng)外加激勵為零時，僅由系統(tǒng)初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)。它與激勵無關(guān)，其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。零狀態(tài)響應(yīng)是不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用，由系統(tǒng)外加激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)1.零輸入響應(yīng)是當(dāng)外加激勵為零時，僅由系統(tǒng)初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)。它與激勵無關(guān)，其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。數(shù)學(xué)模型求解方法根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式再由初始條件（0-時刻）確定待定系數(shù)2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

求的基本步驟

①求系統(tǒng)的特征根，寫出的通解表達(dá)式。

③將確定出的積分常數(shù)C1，C2，…，Cn代入通解表達(dá)式，即得。

②由于激勵為零，所以零輸入的初始值：

確定積分常數(shù)C1，C2，…，Cn2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)例2-7：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：特征方程為特征根為解得2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.零狀態(tài)響應(yīng)是不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用，由系統(tǒng)外加激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。求解方法1）直接求解初始狀態(tài)為0的微分方程2）卷積法：

利用信號分解和線性時不變系統(tǒng)的特性求解2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)（1）即求解對應(yīng)非齊次微分方程的解（2）求解基本步驟①求系統(tǒng)的特征根，寫出的通解表達(dá)式。②根據(jù)

的形式，確定特解形式，代入方程解得特解③求全解，若方程右邊有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時，根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求得，確定積分常數(shù)C1，C2，…，Cn④將確定出的積分常數(shù)C1，C2，…，Cn代入全解表達(dá)式，即得。

2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)沖激平衡法原因：如果微分方程右邊包含δ（t）及其各階導(dǎo)數(shù)，那么（0＋）時刻的值不一定等于（0－）時刻的值。方法：2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)沖激平衡法由于t>0+后，方程右端為零，故當(dāng)n>m時當(dāng)n≤m時，為使方程兩邊平衡，h(t)應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù)，即

2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)例2-8：描述某系統(tǒng)的微分方程為已知y(0-)=2，y’(0-)=0，。求該系統(tǒng)的全響應(yīng)，零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

解：

（2）零狀態(tài)響應(yīng)滿足

2.4.3零狀態(tài)響應(yīng)對于方程1，根據(jù)沖激平衡法，n>m，所以將零狀態(tài)響應(yīng)方程分為2.4.3零狀態(tài)響應(yīng)

則2.4.3零狀態(tài)響應(yīng)對于方程2：其特解為B，帶入方程2，則2B=6，即B=3方程2的解為

則總的零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量2.4.3零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)方法還可以用以下方法：

2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)＋強迫響應(yīng)

(Natural+forced)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)

(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

(Transient+Steady-state)3．系統(tǒng)響應(yīng)劃分2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)是自由響應(yīng)的一部分，零狀態(tài)響應(yīng)由自由響應(yīng)的一部分和強迫響應(yīng)構(gòu)成。自由響應(yīng)強迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

可求得

2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

連續(xù)時間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解

y=lsim(sys,s,t)

t:表示計算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點向量x:是系統(tǒng)輸入信號向量sys:是LTI系統(tǒng)模型，借助tf函數(shù)獲得

sys=tf(b,a)

b和a分別為微分方程右端和左端各項的系數(shù)向量a=[a3,a2,a1,a0];b=[b3,b2,b1,b0];sys=tf(b,a)2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

連續(xù)時間系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)例2-10：描述某系統(tǒng)的微分方程為已知y(0-)=2，y’(0-)=0，。求該系統(tǒng)的全響應(yīng)，零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

%零輸入響應(yīng)ts=0;te=5;dt=0.01;t=ts:dt:te;a=[1,3,2];b=[2,6];p=roots(a);%求出特征根V=rot90(vander(p));y0=[2,0];C=V\y0';fork=1:length(p)

y_ji(k,:)=exp(p(k)*t);endyzit=C.'*y_ji;figuresubplot(311);plot(t,yzit)xlabel('t/s');ylabel('yzi(t)');title('零輸入響應(yīng)')%%%%%ezplot(dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=2,Dy(0)=0'),t)%零狀態(tài)響應(yīng)sys=tf(b,a);x=ones(1,length(t));yzst=lsim(sys,x,t);subplot(312);plot(t,yzst)xlabel('t/s');ylabel('yzs(t)')title('零狀態(tài)響應(yīng)')yt=yzit+yzst';subplot(313)plot(t,yt)xlabel('t/s');ylabel('y(t)')title(全響應(yīng)')2.4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.5單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2.5.1連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下，以單位沖激信號激勵系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，以符號h(t)表示N階連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足2.5.1連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)

---沖激平衡法由于t>0+后，方程右端為零，故當(dāng)n>m時當(dāng)n≤m時，為使方程兩邊平衡，h(t)應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù)，即將h(t)帶入微分方程，使方程兩邊平衡，確定系數(shù)Ci，Aj2.5.1連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)例2-11：已知某線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)解：當(dāng)x(t)=δ(t)時，y(t)=h(t)，即動態(tài)方程式的特征根λ=-5，且n>m，故h(t)的形式為

解得C=22.5.1連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)例2-12：已知某線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)解：當(dāng)x(t)=δ(t)時，y(t)=h(t)，即動態(tài)方程式的特征根λ1=-2，λ2=-1且n=m，故h(t)的形式為

解得A=-2，B=42.5.1連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)沖激平衡法小結(jié)1)由系統(tǒng)的特征根來確定ε(t)前的指數(shù)形式2)由動態(tài)方程右邊δ(t)的最高階導(dǎo)數(shù)與方程左邊h(t)的最高階導(dǎo)數(shù)確定δ(j)(t)項求解方法1．求解微分方程2．利用沖激信號與階躍信號的關(guān)系求解

系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，一般用g(t)表示。2.5.2連續(xù)時間系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)2.5.2連續(xù)時間系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)例2-13：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(t)解：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系，可得2.5單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的求解

y=impulse(sys,t)連續(xù)時間系統(tǒng)沖激響應(yīng)可用impulse函數(shù)直接求出，其調(diào)用形式為連續(xù)時間系統(tǒng)階躍響應(yīng)可用step函數(shù)直接求出，其調(diào)用形式為

y=step(sys,t)

t:表示計算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點向量sys:是LTI系統(tǒng)模型2.5單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)例2-14：求以下系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)a=[1,3,2];b=[2,6];subplot(211)impulse(b,a);subplot(212)step(b,a)2.6卷積積分及其性質(zhì)卷積積分的定義及計算卷積積分的性質(zhì)

交換律、分配律、結(jié)合律、位移特性展縮特性零狀態(tài)響應(yīng)的卷積法求解

2.6.1卷積積分的定義和計算卷積積分的定義卷積積分的計算步驟1）將x1(t)和x2(t)中的自變量由t改為τ，τ稱為函數(shù)的自變量2）把其中一個信號翻轉(zhuǎn)、平移3）將x1(τ)與x2(t-τ)相乘，對乘積后的圖形積分2.6.1卷積積分的定義和計算例2-15：計算2.6.1卷積積分的定義和計算a)-∞<t≤0b)0<t≤12.6.1卷積積分的定義和計算c)1<t≤2d)2<t≤32.6.1卷積積分的定義和計算d)3<t2.6.2卷積積分的性質(zhì)卷積代數(shù)性質(zhì)交換律分配律結(jié)合律2.6.2卷積積分的性質(zhì)1)微分：2)積分卷積微分和積分性質(zhì)2.6.2卷積積分的性質(zhì)3)微積分性則若：特別地：注：應(yīng)用微積分性質(zhì)的條件是必須成立即必須有否則不能應(yīng)用?？赏茖?dǎo)：2.6.2卷積積分的性質(zhì)由卷積的第二種形式，同理可證證：交換運算次序微分性質(zhì)的證明2.6.2卷積積分的性質(zhì)與奇異信號的卷積1）2）微分性質(zhì)可推導(dǎo)2.6.2卷積積分的性質(zhì)3）積分性質(zhì)

任意函數(shù)與卷積，相當(dāng)信號通過一個積分器，如圖所示4）微積分性質(zhì)2.6.2卷積積分的性質(zhì)解例2-16:、如圖所示，用微、積分性質(zhì)求10210E如圖所示。和階躍響應(yīng)激勵導(dǎo)數(shù)2.6.2卷積積分的性質(zhì)21/2100(E)(-E)2.6.2卷積積分的性質(zhì)2.6.2卷積積分的性質(zhì)卷積的時移

已知

則展縮2.6.2卷積積分