數(shù)學(xué)同步測控：排序不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基，我達(dá)標(biāo)1.已知a、b、c∈R+,則a3+b3+c3與a2b+b2c+c2A。a3+b3+c3〉a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2aD。a3+b3+c3≤a2b+b2解析：不妨設(shè)a≥b≥c〉0，則a2≥b2≥c2,∴a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c答案:B2。已知a、b、c∈R+，則a2（a2—bc）+b2（b2-ac）+c2(c2-ab)的正負(fù)情況為（）A。大于零B。大于等于零C。小于零D。小于等于零解析:不妨設(shè)a≥b≥c>0,則a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc.∴a4+b4+c4=a2·a2+b2·b2+c2·c2≥a2b2+b2c2+c2=（ab）·（ab)+（bc）·(bc）+（ac）·（ac)≥(ab)·(ac)+(ac)·(bc)+（bc）·（ab）=a2bc+abc2+ab2c∴a4—a2bc+b4-ab2c+c4-abc2即a2（a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab）≥0.答案：B3.設(shè)x1,x2,…,xn是不同的正整數(shù)，則m=+…+的最小值是（)A。1B.2C.1+++…+D。1+++…+解析：∵x1，x2,…，xn是不同的正整數(shù),設(shè)b1，b2,…，bn是x1,x2，…，xn的一個排列且b1≤b2≤b3≤…≤bn，則b1≥1,b2≥2,…,bn≥n。又∵〉>…〉,∴m=≥≥1+++…+。答案：C4。已知,則（）A.2b〉2a〉2cB.2a>2b>2cC.2c〉2b〉2a解析:∵<<,∴b>a〉c。∴2b〉2a〉2答案：A5.設(shè)b、c為互不相等的正整數(shù)，則的最小值為()A。B.C。1D。解析：∵b、c為互不相等的正整數(shù),若b<c,則b≥1，c≥2.又∵,∴≥若b〉c,則b≥2,c≥1,又∵〉,∴≥≥=?！嘧钚≈禐椤４鸢?B6.若a、b、c為實數(shù)，則a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小關(guān)系為_______________.解析：不妨設(shè)a≥b≥c，則ab+bc+ca≤a·a+b·b+c·c=a2+b2+c2。答案:a2+b2+c2≥ab+bc+ca7.比較a4+b4與a3b+ab3的大小關(guān)系為_______________.解析:不妨設(shè)a≥b，則a3≥b3，∴a4+b4≥a3b+b3a答案:a4+b4≥a3b+ab3我綜合，我發(fā)展8.若a、b為正數(shù),則+與的大小關(guān)系為_______________。解析：不妨設(shè)a≥b>0，則a3≥b3>0,∴≤?！唷+·b≤,即+≤.答案:+≤9。若a、b為正數(shù),則-a2與b2—的大小關(guān)系為_______________.解析：不妨設(shè)a≥b>0,則a2≥b2〉0,≥〉0,a4≥b4〉0.∴≥=a2+b2?！唷猘2≥b2—.答案:—a2≥b2—10。設(shè)a、b、c都是正數(shù),求證:++≥。證明:不妨設(shè)a≥b≥c〉0，則a+b≥a+c≥b+c>0,∴≤≤.∴≥,≥。兩式相加，得2（）≥3,即≥成立。11。設(shè)a、b、c∈R+，求證:++≤.分析：本題可多次利用排序不等式證明，不等式的右邊=。證明：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則≥≥.∴≥≥，且a5≥b5≥c5?！唷?∵a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，.∴≥∴≥++成立。我創(chuàng)新，我超越12。設(shè)a+b〉0,n為偶數(shù)，求證:+≥+.分析:本題將an-1與bn-1交換一下就得到右邊,可用排序不等式解答，情況不定可分類討論.證明：∵a+b>0,∴a〉-b,共有四種情況.(1）當(dāng)a≥b〉0時，an≥bn>0,an-1≥bn-1,∴≤.∴≤,即≥+成立。（2)當(dāng)b≥a>0時,bn≥an〉0,bn—1≥an-1，∴≤?！唷?即≥+.（3)當(dāng)a>-b>0時,∵n為偶數(shù)，∴an〉（—b）n=bn>0，且a>b.∴an-1>bn-1,且<.∴≥(4)當(dāng)0〉a〉—b時,則b〉—a>0,∵n為偶數(shù)，∴bn〉（-a)n=an〉0且bn-1〉an—1.∴>。∴≤，即≥+.綜上，≥+。13。設(shè)x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn,z1,z2,…,zn是y1,y2，…，yn的任意一個排列,求證:≤.分析：本題可利用排序不等式解答,要證≤成立,只需證-≤-，由排序不等式證明出.證明:∵x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn,z1,z2，…,zn是y1，y2,