2025屆湖南省雅禮洋湖中學高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆湖南省雅禮洋湖中學高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點．直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面中，且都垂直于AB，已知，，，則（）A. B.C. D.2．已知、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.43．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.4．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.5．已知直線：和：，若，則實數(shù)的值為（）A. B.3C.-1或3 D.-16．三個實數(shù)構成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.C.或 D.或7．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.8．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上的一點，點是線段的中點，為坐標原點，若，則（）A.3 B.4C.6 D.119．已知長方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．某地區(qū)高中分三類，A類學校共有學生2000人，B類學校共有學生3000人，C類學校共有學生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的學生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.12．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出直線一個方向向量______14．萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個頂點坐標分別是，，，則的垂心坐標為______，的歐拉線方程為______15．2021年7月24日，在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，中國選手楊倩以251.8環(huán)的總成績奪得金牌，為中國代表團摘得本屆奧運會首金．已知楊倩其中5次射擊命中的環(huán)數(shù)如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，則這組數(shù)據(jù)的方差為______16．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅總結表彰大會上發(fā)表重要講話，莊嚴宣告，在迎來中國共產(chǎn)黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅取得了全面勝利.在脫貧攻堅過程中，為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，工作人員對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調查，將農(nóng)戶家庭年收入的調查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結論中所存確結論的序號是____________①該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%；②該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%；③估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計該地有一半以上農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，和分別是和的中點，點在直線上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）是否存在點，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.18．（12分）保護生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000汽車調查，得到新能源汽車y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車y輛305070100110（1）建立y關于x的線性回歸方程；（2）假設該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計總體來預測該地區(qū)2022年有多少新能源汽車參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，19．（12分）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F(xiàn)為PA中點，，．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點N（1）求證：AC∥平面DEF；（2）求二面角A－BC－P的余弦值20．（12分）設銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，.（1）求B的大?。?）若，，求b.21．（12分）從某居民區(qū)隨機抽取2021年的10個家庭，獲得第個家庭的月收入(單位：千元)與月儲蓄(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計算得，，，（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關還是負相關；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲蓄之間的變化情況，并預測當該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲蓄額．附：線性回歸方程系數(shù)公式中，，，其中，為樣本平均值22．（10分）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若，求的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，進一步判斷出該四邊形為矩形，然后確定出為二面角的平面角，進而通過余弦定理和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，所以.因為，所以，又，所以是該二面角的一個平面角，即，由余弦定理.因為，，所以，易得四邊形ABDE為矩形，則，而，所以平面ACE，則，于是.故選：B.2、C【解析】根據(jù)橢圓定義，和條件列式，再通過變形計算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點睛】本題考查橢圓的定義，焦點三角形的性質，重點考查轉化與變形，計算能力，屬于基礎題型.3、B【解析】設，根據(jù)線面垂直的性質得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.4、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A5、D【解析】利用兩直線平行列式求出a值，再驗證即可判斷作答.【詳解】因，則，解得或，當時，與重合，不符合題意，當時，，符合題意，所以實數(shù)的值為-1.故選：D6、D【解析】根據(jù)三個實數(shù)構成一個等比數(shù)列，解得，然后分，討論求解.【詳解】因為三個實數(shù)構成一個等比數(shù)列，所以，解得，當時，方程表示焦點在x軸上的橢圓，所以，所以，當時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線，所以，所以，故選：D7、D【解析】將題設條件轉化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設,則在上單調遞減,所以,所以,即,故選:D.【點睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數(shù)轉化為最值問題,也可以進行分情況討論.8、A【解析】利用橢圓的定義可得，再結合條件即求.【詳解】由橢圓的定義可知，因為，所以，因為點分別是線段，的中點，所以是的中位線，所以.故選：A.9、C【解析】建立空間直角坐標系，設直線與所成角為，由求解.【詳解】∵長方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，，則，，，，所以，，設直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.10、D【解析】利用抽樣的性質求解【詳解】所有學生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D11、B【解析】由可得，利用導數(shù)判斷函數(shù)在上的單調性，由此比較函數(shù)值的大小確定正確選項.【詳解】∵∴，當時，，∴，故∴在內(nèi)單調遞增，又，∴，所以故選：B12、A【解析】利用空間向量線性運算及基本定理結合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】本題可先將直線的一般式化為斜截式，然后根據(jù)斜率即可得到直線的一個方向向量.【詳解】由題意可知，直線可以化為，所以直線的斜率為，直線的一個方向向量可以寫為.故答案為：.14、①.##(0,1.5)②.【解析】由高線聯(lián)立可得垂心，由垂心與重心可得歐拉線方程.【詳解】由，可知邊上的高所在的直線為，又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線為：，即，所以，所以的垂心坐標為，由重心坐標公式可得的重心坐標為，所以的歐拉線方程為：，化簡得.故答案為：；15、128【解析】先求均值，再由方差公式計算【詳解】由已知，所以，故答案為：16、①②④【解析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項①，②，④，利用平均值的計算方法，即可判斷選項③【詳解】解：對于①，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項①正確；對于②，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項②正確；對于③，估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項③錯誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項④正確故答案為：①②④三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算得出，即可得出結論；（2）計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可得出關于的方程，即可得出結論.【詳解】（1）因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，所以，，則，因此，無論取何值，總有；（2），設平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無解，因此，不存在點，使得平面與平面所成的角為.18、（1）（2）46800【解析】（1）第一步分別算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一問的結果，帶入方程即可算出預估的結果.【小問1詳解】，，，因為，所以，所以【小問2詳解】預測該地區(qū)2022年抽樣1000汽車調查中新能源汽車數(shù)，當時，，該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，所以新能源汽車.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）記PC交DE于點N，然后證明FN∥AC，進而通過線面平行的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標系，進而通過空間向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】因為四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點N，所以N為PC的中點連接FN，在△PAC中，F(xiàn)，N分別為PA，PC的中點，所以FN∥AC，因為平面DEF，平面DEF，所以AC∥平面DEF.【小問2詳解】因為PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，所以DA，DC，DP兩兩垂直，如圖以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系則，，，，所以，設平面PBC的法向量為，則，令x=1，則.因為PD垂直于梯形ABCD所在的平面，所以是平面ABC的一個法向量，所以.由圖可知所求二面角為銳角，即所求二面角的余弦值為.20、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，可得，進而可求出和角；（2）利用余弦定理，可得，即可求出.【詳解】（1）由，得，因為，所以，又因為B為銳角，所以（2）由余弦定理，可得，解得【點睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的運用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.21、（1）＝0.3x－0.4（2）正相關（3）1.7千元【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝