2025屆浙江省衢州、麗水、湖州、舟山四地市高二上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆浙江省衢州、麗水、湖州、舟山四地市高二上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A. B.C. D.2．“”是“方程是圓的方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．棱長為1的正四面體的表面積是（）A. B.C. D.4．已知點在拋物線上，則點到拋物線焦點的距離為（）A.1 B.2C.3 D.45．若直線過點（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°6．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，，則下列和與公差無關的是（）A. B.C. D.7．已知拋物線的焦點坐標是，則拋物線的標準方程為A. B.C. D.8．已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.10．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.1511．已知，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.12．下列四個命題中，為真命題的是（）A.若a＞b，則ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，則a2＞b2D.若a＞b，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P是橢圓的上頂點，過原點的直線l交C于A，B兩點，若的面積為，則l的斜率為____________14．如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個端點）有個點，相應的圖案中點的個數(shù)記為，按此規(guī)律，則___________，___________.15．已知命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：方程表示雙曲線.若為真，則實數(shù)的取值范圍為______.16．的展開式中所有項的系數(shù)和為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和滿足（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項和18．（12分）某初中學校響應“雙減政策”，積極探索減負增質(zhì)舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時間．現(xiàn)為調(diào)查學生的家庭作業(yè)時間，隨機抽取了名學生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)（中位數(shù)結果保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機抽取名學生進行“雙減政策”情況訪談，再從訪談的學生中選取名學生進行成績跟蹤，求被選作成績跟蹤的名學生中，第三組和第五組各有名的概率19．（12分）已知函數(shù)（1）求關于x的不等式的解集；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍20．（12分）在平面直角坐標系中，已知，動點M滿足（1）求M的軌跡方程；（2）設，點N是的中點，求點N的軌跡方程；（3）設M的軌跡與N的軌跡的交點為P、Q，求21．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數(shù)學測試，學校利用簡單隨機抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數(shù)學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】采用疊加法求出，由可得，結合對勾函數(shù)性質(zhì)分析在或6取到最小值，代值運算即可求解.【詳解】因為，所以，，，，式相加可得，所以，，當且僅當取到，但，，所以時，當時，，，所以的最小值為.故選：C2、A【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】若方程表示圓，則，即，解得或，故“”是“方程是圓的方程”的充分不必要條件，故選：A3、D【解析】采用數(shù)形結合，根據(jù)邊長，結合正四面體的概念，計算出正三角形的面積，可得結果【詳解】如圖由正四面體的概念可知，其四個面均是全等的等邊三角形，由其棱長為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：D4、B【解析】先求出拋物線方程，焦點坐標，再用兩點間距離公式進行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點坐標為，所以點到拋物線焦點的距離為故選：B5、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A6、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，，，，故選：C7、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標得到2p=4,進而得到方程.【詳解】拋物線的焦點坐標是,即p=2,2p=4,故得到方程為.故答案為D.【點睛】這個題目考查了拋物線的標準方程的求法，題目較為簡單.8、C【解析】由題設分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點的距離范圍即可.【詳解】由題設，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C9、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導數(shù)結合函數(shù)在的單調(diào)性列式計算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當且僅當時取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當時，，則，所以k的取值范圍是.故選：B10、D【解析】設該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而求出結果.【詳解】設該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D11、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】依題意，，設平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.故選：A12、C【解析】利用不等式的性質(zhì)結合特殊值法依次判斷即可【詳解】當c＝0時，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1時，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正確故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程得到A點橫坐標滿足，再利用，解方程即可得到答案.【詳解】設直線AB的方程為：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案為：14、①.②.【解析】利用題中所給規(guī)律求出即可.【詳解】解：由圖可知，，，，，因為符合等差數(shù)列的定義且公差為所以，所以，故答案為：，.15、【解析】既然為真，那么就是為真，即p是假，并且q是真，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義即可解出?！驹斀狻俊邽檎?，∴p為假，q為真；考慮p為真的情況：解得……①；由于p為假，∴或；由于q為真，∴，即……②；由①和②得：；故答案為：.16、##0.015625【解析】賦值法求解二項式展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】令得：，即為展開式中所有項的系數(shù)和.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由與的關系，利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由（1）求出，再利用裂項相消法求解即可【小問1詳解】當時，，，當時，，，，數(shù)列是以為首項、以為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）得，，即，，設等差數(shù)列的公差為，則，，，，，18、（1）；這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設中位數(shù)為，利用頻率分布直方圖中位數(shù)定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數(shù)，從而列出所有樣本點，再根據(jù)題意利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得：，解得．設中位數(shù)為，由題意得，解得所以這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數(shù)之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數(shù)分別為人和人，第三組的名學生記為，，，，第五組的名學生記為，，所以從名學生中抽取名的樣本空間，共15個樣本點，記事件“名中學生，第三組和第五組各名”則，共有個樣本點，所以這名學生中，兩組各有名的概率19、（1）答案見解析（2）【解析】（1）求出對應方程的根，再根據(jù)根的大小進行討論，即可得解；（2）對任意的，恒成立，即恒成立，結合基本不等式求出的最小值即可得解.【小問1詳解】解：由已知易得即為：，令可得與，所以，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；【小問2詳解】解：由可得，由，得，所以可得，，當且僅當，即時等號成立，所以，所以的取值范圍是.20、（1）（2）（3）【解析】（1）設，根據(jù)向量數(shù)量積求解即可得答案；（2）設，，進而根據(jù)相關點法求解即可；（3）根據(jù)題意得弦由兩圓相交得，進而根據(jù)幾何法弦長即可得答案.【小問1詳解】解：設，則，所以，即所以M的軌跡方程為.【小問2詳解】解：設，，因為點N是的中點，所以，即，又因為在上，所以，即.所以點N的軌跡方程為.【小問3詳解】解：因為M的軌跡與N的軌跡分別為，，是兩個圓.所以兩個方程作差得直線所在的方程，所以圓到：的距離為，所以21、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的