安徽省江南十校2025屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省江南十校2025屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B.C. D.2．已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則n的值為（）A. B.1C. D.1和3．設(shè)，則（）A. B.C. D.4．若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是A. B.x=πC. D.x=2π6．下列各角中，與126°角終邊相同的角是（）A. B.C. D.7．已知向量，若，則（）A.1或4 B.1或C.或4 D.或8．“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件9．定義在上的連續(xù)函數(shù)有下列的對(duì)應(yīng)值表：01234560-1.2-0.22.1-23.22.4則下列說法正確是A.函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn) B.函數(shù)在上只有3個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)在上最多有4個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)在上至少有4個(gè)零點(diǎn)10．若直線與直線垂直，則()A.1 B.2C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．由直線上的任意一個(gè)點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為________.12．已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則的值為__________.13．已知，是相互獨(dú)立事件，且，，則______14．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為________15．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為________.16．已知，若，使得，若的最大值為M，最小值為N，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求在區(qū)間上的值域18．如圖，四棱錐的底面為矩形，，.（1）證明：平面平面.（2）若，，，求點(diǎn)到平面的距離.19．函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，也在該圖象上，且（1）求的解析式；（2）的圖象向左平移1個(gè)單位后得到的圖象，試求函數(shù)在上的最大值和最小值20．對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱函數(shù)為“局部中心函數(shù)”.（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部中心函數(shù)”.并說明理由；（2）若是定義域?yàn)镽上的“局部中心函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬(wàn)美元）項(xiàng)目類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價(jià)每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定，預(yù)計(jì)m∈[6,9]，另外，年銷售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x2萬(wàn)美元的特別關(guān)稅．假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y1，y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；（2）如何投資最合理（可獲得最大年利潤(rùn)）？請(qǐng)你做出規(guī)劃

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】解：，，又，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題2、C【解析】利用冪函數(shù)的定義與單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以解得：或當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，符合題意.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，不符合題意.故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查了冪函數(shù)的定義及性質(zhì)，利用冪函數(shù)的定義知其系數(shù)為1，解方程即可，一定要驗(yàn)證是否符合在上是增函數(shù)的條件，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解【詳解】由可得，所以，所以有，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對(duì)式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題目.4、A【解析】的對(duì)稱軸為，且，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，且所以若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則故選：A5、C【解析】利用函數(shù)值是否是最值，判斷函數(shù)的對(duì)稱軸即可【詳解】當(dāng)x時(shí)，函數(shù)cos2π＝1，函數(shù)取得最大值，所以x是函數(shù)的一條對(duì)稱軸故選C【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)由可得對(duì)稱軸方程，由可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo).6、B【解析】寫出與126°的角終邊相同的角的集合，取k=1得答案【詳解】解：與126°的角終邊相同的角的集合為{α|α=126°+k?360°，k∈Z}取k=1，可得α=486°∴與126°的角終邊相同的角是486°故選B【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同角的計(jì)算，是基礎(chǔ)題7、B【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，以及向量垂直的條件列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，可得，因?yàn)?，則，解得或.故選：B.8、B【解析】由等價(jià)于，或，再根據(jù)充分、必要條件的概念，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，或，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選:B.9、D【解析】由表格數(shù)據(jù)可知，連續(xù)函數(shù)滿足，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，在區(qū)間上，至少各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上至少有個(gè)零點(diǎn)，故選D.10、B【解析】分析直線方程可知，這兩條直線垂直，斜率之積為－1.【詳解】由題意可知，即故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用切線和點(diǎn)到圓心的距離關(guān)系即可得到結(jié)果.【詳解】圓心坐標(biāo)，半徑要使切線長(zhǎng)最小，則只需要點(diǎn)到圓心的距離最小，此時(shí)最小值為圓心到直線的距離，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】由三角函數(shù)定義可得,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn),考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用13、【解析】由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)和定義求解即可【詳解】因?yàn)?，是相互?dú)立事件，所以，也是相互獨(dú)立事件，因?yàn)椋?，所以，故答案為?4、.【解析】結(jié)合定義域由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)?，令，則在單調(diào)遞減，又在單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.15、【解析】構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，5，,則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐P-ABC外接球的直徑，即可求出三棱錐P-ABC外接球的表面積【詳解】∵三棱錐P?ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，∴構(gòu)造長(zhǎng)方體,使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐P?ABC外接球的直徑.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為x,y,z,則，∴三棱錐P?ABC外接球的直徑為，∴三棱錐P?ABC外接球的表面積為.故答案為：26π.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.16、【解析】作出在上的圖象，為的圖象與直線y=m交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求得M和N﹒【詳解】作出在上的圖象（如圖所示）因?yàn)椋?，所以?dāng)?shù)膱D象與直線相交時(shí)，由函數(shù)圖象可得，設(shè)前三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為、、，此時(shí)和最小為N，由，得，則，，，；當(dāng)?shù)膱D象與直線相交時(shí)，設(shè)三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為、、，此時(shí)和最大為，由，得，則，，；所以.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析（2）【解析】（1）利用定義法，設(shè)出，通過做差比較的大小，即可證明；（2）根據(jù)第（1）問得到在區(qū)間上的單調(diào)性，在區(qū)間直接賦值即可求解值域.【小問1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：，且，有因?yàn)?，且，所以，于是，即故在區(qū)間上單調(diào)遞增【小問2詳解】由第（1）問結(jié)論可知，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增,，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?8、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，證明平面，即可證明出平面平面.（2）用等體積法，即，即可求出答案.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，底面為矩形，為，的中點(diǎn)，又，，，，又，平面，平面，平面平面【小問2詳解】，，，，在中，，，在中，，在中，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可知，又平面，為點(diǎn)到平面的距離，，，即點(diǎn)到平面的距離為19、（1）（2）最大值和最小值分別為和【解析】（1）連接交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，通過勾股定理計(jì)算出和，再結(jié)合也在該圖象上可求解；（2）根據(jù)平移得到，再化簡(jiǎn)得，從而可求最值.【小問1詳解】連接交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn).設(shè)，則有，即，所以，，因此，所以有，解得，所以，又因?yàn)槠溥^，則，又，從而得，所以.【小問2詳解】由向左平移1個(gè)單位后，得，所以.因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)有最小值，；當(dāng)時(shí)有最大值，.20、（1）函數(shù)為“局部中心函數(shù)”，理由見解析；（2）.【解析】（1）判斷是否為“局部中心函數(shù)”，即判斷方程是否有解，若有解，則說明是“局部中心函數(shù)”，否則說明不是“局部中心函數(shù)”；（2）條件是定義域?yàn)樯系摹熬植恐行暮瘮?shù)”可轉(zhuǎn)化為方程有解，再利用整體思路得出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意，（），所以，，當(dāng)時(shí)，解得：，由于，所以，所以為“局部中心函數(shù)”.（2）因?yàn)槭嵌x域?yàn)樯系摹熬植恐行暮瘮?shù)”，所以方程有解，即在上有解，整理得：，令，，故題意轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上有解，即，解得：；當(dāng)時(shí)，則需要滿足才能使在上有解，解得：，綜上：，即實(shí)數(shù)m的取值范圍.21、（1），且；，且；（2）答案見解析.【解析】（1）設(shè)年銷售量為件，由題意可得，，注意根據(jù)實(shí)際情況確定定義域.（2）分別計(jì)算兩種方案的最值