2025屆重慶市南川中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題含解析

2025屆重慶市南川中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．3．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．6．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結(jié)余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元7．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列命題中錯誤的是（）A．若，，則或B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則8．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．11．陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．12．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則的值等于__________.14．過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．15．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則_______.16．設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個團購網(wǎng)站在市開展了團購業(yè)務(wù)，市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團購網(wǎng)站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網(wǎng)站的商家中隨機地抽取了50家進行調(diào)查，他們加入這三家團購網(wǎng)站的情況如下圖所示.（1）從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率；（2）從所調(diào)查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將頻率視為概率，現(xiàn)從市隨機抽取3家已加入團購網(wǎng)站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網(wǎng)站的商家數(shù)為，試求事件“”的概率.18．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時，；（2）若在只有一個零點，求的值.19．（12分）如圖，四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中點．（1）求證：VA∥平面BDE；（2）求證：平面VAC⊥平面BDE．20．（12分）如圖，是正方形，點在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.（1）證明：平面.（2）三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.21．（12分）在四棱柱中，底面為正方形，，平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個零點．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線，方向相反時，，故不必要.故選：.【點睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.2、A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.3、B【解析】

先解不等式化簡兩個條件，利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得，解絕對值不等式可得，由于為的子集，據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件．故選：B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運算，邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學(xué)生的運算求解能力.5、B【解析】

設(shè)過點作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，，即，由，列出相應(yīng)方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設(shè)過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．6、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結(jié)余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．7、D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷，所成的二面角為；D中有可能，即得解.【詳解】選項A：若，，根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有或，故A正確；選項B：若，，，由線面平行的判定定理，有，故B正確；選項C：若，，，故，所成的二面角為，則，故C正確；選項D，若，，有可能，故D不正確.故選：D【點睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.8、B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應(yīng),縱坐標與縱坐標對應(yīng),切不可錯位.9、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中．某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效．10、D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再由，即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞，屬于中檔題.11、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.12、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【點睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知，，，故.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點的切線與過某點的切線的區(qū)別，本題屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學(xué)生分析問題的能力,難度一般.15、【解析】試題分析：由坐標系可知考點：復(fù)數(shù)運算16、【解析】

根據(jù)漸近線得到，，計算得到離心率.【詳解】，一條漸近線方程為：，故，，.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【解析】

（1）運用概率的計算公式求概率分布，再運用數(shù)學(xué)期望公式進行求解；（2）借助題設(shè)條件運用貝努力公式進行分析求解：（1）記所選取額兩家商家加入團購網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件，則，所以他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.（2）由題，知的可能取值分別為0，1，2，，，從而的分布列為012.（3）所調(diào)查的50家商家中加入了兩個團購網(wǎng)站的商家有25家，將頻率視為概率，則從市中任取一家加入團購網(wǎng)站的商家，他同時加入了兩個團購網(wǎng)站的概率為，所以，所以事件“”的概率為.18、（1）見解析；（2）【解析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點，等價研究的零點，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當(dāng)時，，沒有零點；當(dāng)時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當(dāng)時，等價于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點．（i）當(dāng)時，，沒有零點；（ii）當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當(dāng)時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.19、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）連結(jié)OE，證明VA∥OE得到答案.（2）證明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到證明.【詳解】（1）連結(jié)OE．因為底面ABCD是菱形，所以O(shè)為AC的中點，又因為E是棱VC的中點，所以VA∥OE，又因為OE?平面BDE，VA?平面BDE，所以VA∥平面BDE；（2）因為VO⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以VO⊥BD，因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC?平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因為BD?平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．【點睛】本題考查了線面平行，面面垂直，意在考查學(xué)生的推斷能力和空間想象能力.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得，由此證得平面.（2）判斷出三棱錐的體積最大時點的位置.建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為平面平面是正方形，所以平面.因為平面，所以.因為點在以為直徑的半圓弧上，所以.又，所以平面.（2）解：顯然，當(dāng)點位于的中點時，的面積最大，三棱錐的體積也最大.不妨設(shè)，記中點為，以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考