2023-2024學年河北省名校聯(lián)盟高二下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省名校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語?不等式?函數(shù)與導數(shù).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，解得，所以，又，所以.故選：B2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題〖答案〗B〖解析〗對于而言，取，則，故是假命題，是真命題.對于而言，令，，，由零點存在性定理可知，存在，使得，故是真命題，是假命題.綜上，和都是真命題.故選：B3.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，令，則，得.故選：A4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以的定義域為.又在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，所以解得，即的取值范圍是.故選：A5.已知，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，即.故選：D6.已知為正實數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，則，但是，故充分性不成立，因為為正實數(shù)，所以.當且僅當時取等，若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確.故選：C7.蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)之間的計算而發(fā)明了對數(shù)，利用對數(shù)運算可以求出大數(shù)的位數(shù).已知，則是（）A.11位數(shù) B.10位數(shù) C.9位數(shù) D.8位數(shù)〖答案〗C〖解析〗記，則，則，則，故是9位數(shù).故選：C8.若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，由，得.設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，故.又，解得，所以直線過點，斜率為1，即直線的方程為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖所示，連接棱長為2的正方體各面的中心得到一個多面體容器，從頂點處向該容器內(nèi)注水，直至注滿水為止.圖中水面的高度為，水面對應四邊形的面積為，容器內(nèi)水的體積為，則下列說法正確的是（）A.是的函數(shù) B.是的函數(shù)C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗對于A，當水面的高度確定時，水面對應四邊形的面積也唯一確定，則是的函數(shù)，A正確；對于B，當水面對應四邊形的面積確定時，水面高度可能出現(xiàn)兩種可能，則不是的函數(shù)，B錯誤；對于C，隨的增大而增大，是的函數(shù)，也是的函數(shù)，因此是的函數(shù)，C正確；對于D，當水面對應四邊形的面積確定時，可能出現(xiàn)兩個值，不是的函數(shù)，D錯誤.故選：AC10.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.可能在上單調(diào)遞增〖答案〗ABD〖解析〗令，則，故A正確；令，則，即，令，則，即，故B正確；令，則，即，所以為奇函數(shù)，故C錯誤；當時，由，可得，令，則，此時在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.的取值范圍為〖答案〗CD〖解析〗結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，由，得不出，故A錯誤，令，此時，但是，故B錯誤.因為，所以，所以，則，又，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，所以C正確.因為，所以，故，令，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍為，故D正確.故選：CD12.已知是函數(shù)的極大值點，則__________.〖答案〗〖解析〗由題可知，令，則，解得，.當或時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故為極大值點.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，則不等式的解集為__________.〖答案〗〖解析〗由題可知的定義域為，因為，所以是偶函數(shù)，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.由不等式，可得，，所以，解得，故不等式的解集為.故〖答案〗為：.14.若不等式對恒成立，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由，可得.令，則在上單調(diào)遞增，所以，由對恒成立，所以，則，故，當且僅當，即時，等號成立，故的最大值為3.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知或.（1）若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為命題是真命題，所以命題是假命題，即關于的方程無實數(shù)根.當時，方程無解，符合題意；當時，，解得.故實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知若命題是真命題，則或.因為命題是命題的必要不充分條件，所以或或，則解得，所以實數(shù)的取值范圍是.16.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)和的〖解析〗式；（2）對任意實數(shù)恒成立，求的取值范圍.解：（1）由為冪函數(shù)，得，解得或.因為為偶函數(shù)，所以，則.由，可得，令，則，所以.（2）由，可得，故，，令，則，當且僅當1，即時，等號成立，所以，即，所以的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）若，求的最小值；（2）證明：曲線是中心對稱圖形.解：（1）由，得，因為，所以在上恒成立，即等價于即可，因為，當且僅當時，等號成立，所以，故的最小值為.（2）由題可知所以曲線關于點對稱，即曲線是中心對稱圖形.18.已知函數(shù).（1）討論的導函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題可知.設，則.①當時，上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.②當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當時，是上的增函數(shù)，當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).（2）①當時，在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，故成立；②當時，，所以在上單調(diào)遞增，，則單調(diào)遞增，故成立；③當時，當時，在上單調(diào)遞減，又，所以在上單調(diào)遞減，則不成立.綜上，的取值范圍為.19.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則稱與為“互補函數(shù)”，為“互補數(shù)”.（1）判斷函數(shù)與是否為“互補函數(shù)”，并說明理由.（2）已知函數(shù)為“互補函數(shù)”，且為“互補數(shù)”.（i）是否存在，使得？說明理由.（ii）若，用的代數(shù)式表示的最大值.解：（1）因為，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，所以，因為，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.故不存在實數(shù)，使得，則與不是“互補函數(shù)”.（2）（i）存在，使得.由，得，則，故存在.（ii）令，則，兩式相加可得，兩式相減可得所以，故.令，則..因為，所以，故當時，，即在上是減函數(shù).因為，所以的最大值為.河北省名校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語?不等式?函數(shù)與導數(shù).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，解得，所以，又，所以.故選：B2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題〖答案〗B〖解析〗對于而言，取，則，故是假命題，是真命題.對于而言，令，，，由零點存在性定理可知，存在，使得，故是真命題，是假命題.綜上，和都是真命題.故選：B3.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，令，則，得.故選：A4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以的定義域為.又在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，所以解得，即的取值范圍是.故選：A5.已知，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，即.故選：D6.已知為正實數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，則，但是，故充分性不成立，因為為正實數(shù)，所以.當且僅當時取等，若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確.故選：C7.蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)之間的計算而發(fā)明了對數(shù)，利用對數(shù)運算可以求出大數(shù)的位數(shù).已知，則是（）A.11位數(shù) B.10位數(shù) C.9位數(shù) D.8位數(shù)〖答案〗C〖解析〗記，則，則，則，故是9位數(shù).故選：C8.若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，由，得.設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，故.又，解得，所以直線過點，斜率為1，即直線的方程為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖所示，連接棱長為2的正方體各面的中心得到一個多面體容器，從頂點處向該容器內(nèi)注水，直至注滿水為止.圖中水面的高度為，水面對應四邊形的面積為，容器內(nèi)水的體積為，則下列說法正確的是（）A.是的函數(shù) B.是的函數(shù)C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗對于A，當水面的高度確定時，水面對應四邊形的面積也唯一確定，則是的函數(shù)，A正確；對于B，當水面對應四邊形的面積確定時，水面高度可能出現(xiàn)兩種可能，則不是的函數(shù)，B錯誤；對于C，隨的增大而增大，是的函數(shù)，也是的函數(shù)，因此是的函數(shù)，C正確；對于D，當水面對應四邊形的面積確定時，可能出現(xiàn)兩個值，不是的函數(shù)，D錯誤.故選：AC10.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.可能在上單調(diào)遞增〖答案〗ABD〖解析〗令，則，故A正確；令，則，即，令，則，即，故B正確；令，則，即，所以為奇函數(shù)，故C錯誤；當時，由，可得，令，則，此時在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.的取值范圍為〖答案〗CD〖解析〗結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，由，得不出，故A錯誤，令，此時，但是，故B錯誤.因為，所以，所以，則，又，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，所以C正確.因為，所以，故，令，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍為，故D正確.故選：CD12.已知是函數(shù)的極大值點，則__________.〖答案〗〖解析〗由題可知，令，則，解得，.當或時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故為極大值點.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，則不等式的解集為__________.〖答案〗〖解析〗由題可知的定義域為，因為，所以是偶函數(shù)，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.由不等式，可得，，所以，解得，故不等式的解集為.故〖答案〗為：.14.若不等式對恒成立，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由，可得.令，則在上單調(diào)遞增，所以，由對恒成立，所以，則，故，當且僅當，即時，等號成立，故的最大值為3.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知或.（1）若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為命題是真命題，所以命題是假命題，即關于的方程無實數(shù)根.當時，方程無解，符合題意；當時，，解得.故實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知若命題是真命題，則或.因為命題是命題的必要不充分條件，所以或或，則解得，所以實數(shù)的取值范圍是.16.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)和的〖解析〗式；（2）對任意實數(shù)恒成立，求的取值范圍.解：（1）由為冪函數(shù)，得，解得或.因為為偶函數(shù)，所以，則.由，可得，令，則，所以.（2）由，可得，故，，令，則，當且僅當1，即時，等號成立，所以，即，所以的取值范圍為.17.已知函數(shù).（