2023-2024學(xué)年河北省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，解得，所以，又，所以.故選：B2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題〖答案〗B〖解析〗對(duì)于而言，取，則，故是假命題，是真命題.對(duì)于而言，令，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，故是真命題，是假命題.綜上，和都是真命題.故選：B3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，令，則，得.故選：A4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以的定義域?yàn)?又在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，所以解得，即的取值范圍是.故選：A5.已知，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，即.故選：D6.已知為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，則，但是，故充分性不成立，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確.故選：C7.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)之間的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可以求出大數(shù)的位數(shù).已知，則是（）A.11位數(shù) B.10位數(shù) C.9位數(shù) D.8位數(shù)〖答案〗C〖解析〗記，則，則，則，故是9位數(shù).故選：C8.若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，由，得.設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則，故.又，解得，所以直線過(guò)點(diǎn)，斜率為1，即直線的方程為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示，連接棱長(zhǎng)為2的正方體各面的中心得到一個(gè)多面體容器，從頂點(diǎn)處向該容器內(nèi)注水，直至注滿水為止.圖中水面的高度為，水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積為，容器內(nèi)水的體積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是的函數(shù) B.是的函數(shù)C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)水面的高度確定時(shí)，水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積也唯一確定，則是的函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積確定時(shí)，水面高度可能出現(xiàn)兩種可能，則不是的函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，隨的增大而增大，是的函數(shù)，也是的函數(shù)，因此是的函數(shù)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積確定時(shí)，可能出現(xiàn)兩個(gè)值，不是的函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC10.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.可能在上單調(diào)遞增〖答案〗ABD〖解析〗令，則，故A正確；令，則，即，令，則，即，故B正確；令，則，即，所以為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由，可得，令，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.的取值范圍為〖答案〗CD〖解析〗結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，由，得不出，故A錯(cuò)誤，令，此時(shí)，但是，故B錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，所以，則，又，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，所以C正確.因?yàn)椋?，故，令，由指?shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍為，故D正確.故選：CD12.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗由題可知，令，則，解得，.當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故為極大值點(diǎn).故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題可知的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.由不等式，可得，，所以，解得，故不等式的解集為.故〖答案〗為：.14.若不等式對(duì)恒成立，則的最大值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由，可得.令，則在上單調(diào)遞增，所以，由對(duì)恒成立，所以，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為3.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知或.（1）若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)槊}是真命題，所以命題是假命題，即關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知若命題是真命題，則或.因?yàn)槊}是命題的必要不充分條件，所以或或，則解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)和的〖解析〗式；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.解：（1）由為冪函數(shù)，得，解得或.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則.由，可得，令，則，所以.（2）由，可得，故，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)1，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，所以的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）若，求的最小值；（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形.解：（1）由，得，因?yàn)?，所以在上恒成立，即等價(jià)于即可，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的最小值為.（2）由題可知所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即曲線是中心對(duì)稱圖形.18.已知函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題可知.設(shè)，則.①當(dāng)時(shí)，上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).（2）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，故成立；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，則單調(diào)遞增，故成立；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，所以在上單調(diào)遞減，則不成立.綜上，的取值范圍為.19.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱與為“互補(bǔ)函數(shù)”，為“互補(bǔ)數(shù)”.（1）判斷函數(shù)與是否為“互補(bǔ)函數(shù)”，并說(shuō)明理由.（2）已知函數(shù)為“互補(bǔ)函數(shù)”，且為“互補(bǔ)數(shù)”.（i）是否存在，使得？說(shuō)明理由.（ii）若，用的代數(shù)式表示的最大值.解：（1）因?yàn)椋瑒t，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，所以，因?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.故不存在實(shí)數(shù)，使得，則與不是“互補(bǔ)函數(shù)”.（2）（i）存在，使得.由，得，則，故存在.（ii）令，則，兩式相加可得，兩式相減可得所以，故.令，則..因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，即在上是減函數(shù).因?yàn)?，所以的最大值?河北省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，解得，所以，又，所以.故選：B2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題〖答案〗B〖解析〗對(duì)于而言，取，則，故是假命題，是真命題.對(duì)于而言，令，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，故是真命題，是假命題.綜上，和都是真命題.故選：B3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，令，則，得.故選：A4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以的定義域?yàn)?又在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，所以解得，即的取值范圍是.故選：A5.已知，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，即.故選：D6.已知為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，則，但是，故充分性不成立，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確.故選：C7.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)之間的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可以求出大數(shù)的位數(shù).已知，則是（）A.11位數(shù) B.10位數(shù) C.9位數(shù) D.8位數(shù)〖答案〗C〖解析〗記，則，則，則，故是9位數(shù).故選：C8.若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，由，得.設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則，故.又，解得，所以直線過(guò)點(diǎn)，斜率為1，即直線的方程為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示，連接棱長(zhǎng)為2的正方體各面的中心得到一個(gè)多面體容器，從頂點(diǎn)處向該容器內(nèi)注水，直至注滿水為止.圖中水面的高度為，水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積為，容器內(nèi)水的體積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是的函數(shù) B.是的函數(shù)C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)水面的高度確定時(shí)，水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積也唯一確定，則是的函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積確定時(shí)，水面高度可能出現(xiàn)兩種可能，則不是的函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，隨的增大而增大，是的函數(shù)，也是的函數(shù)，因此是的函數(shù)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積確定時(shí)，可能出現(xiàn)兩個(gè)值，不是的函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC10.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.可能在上單調(diào)遞增〖答案〗ABD〖解析〗令，則，故A正確；令，則，即，令，則，即，故B正確；令，則，即，所以為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由，可得，令，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.的取值范圍為〖答案〗CD〖解析〗結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，由，得不出，故A錯(cuò)誤，令，此時(shí)，但是，故B錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，所以，則，又，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，所以C正確.因?yàn)?，所以，故，令，由指?shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍為，故D正確.故選：CD12.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗由題可知，令，則，解得，.當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故為極大值點(diǎn).故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題可知的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.由不等式，可得，，所以，解得，故不等式的解集為.故〖答案〗為：.14.若不等式對(duì)恒成立，則的最大值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由，可得.令，則在上單調(diào)遞增，所以，由對(duì)恒成立，所以，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為3.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知或.（1）若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)槊}是真命題，所以命題是假命題，即關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知若命題是真命題，則或.因?yàn)槊}是命題的必要不充分條件，所以或或，則解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)和的〖解析〗式；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.解：（1）由為冪函數(shù)，得，解得或.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則.由，可得，令，則，所以.（2）由，可得，故，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)1，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，所以的取值范圍為.17.已知函數(shù).（