2024屆湖南省衡陽市祁東縣高三第三次聯(lián)考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽市祁東縣2024屆高三第三次聯(lián)考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題得，則．故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知雙曲線的漸近線方程為，即．故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，故，．故選：A.4.在研究變量與之間的關系時，進行實驗后得到了一組樣本數據利用此樣本數據求得的經驗回歸方程為，現發(fā)現數據和誤差較大，剔除這兩對數據后，求得的經驗回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設沒剔除兩對數據前的平均數分別為，，剔除兩對數據后的平均數分別為，，因為，所以，，則，所以，又因為，所以，解得.故選：C.5.函數零點的個數為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數零點的個數為與的交點個數，顯然與均關于對稱，又當時，，當時，，再結合兩個函數的圖象，可得與有5個交點，故函數零點的個數為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數，那么稱這種方式表示的函數是隱函數．隱函數的求導方法如下：在方程中，把y看成x的函數，則方程可看成關于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數的導數，將方程的兩邊同時對x求導，則（是中間變量，需要用復合函數的求導法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側同時求導，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現將57個大小相同、質地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內水的高度為6cm，由梯形中位線的性質可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設，，，則，．又，所以，化簡得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，，均不為0，則下列說法正確的是（）A.若復數滿足，且，則B.若復數滿足，則C.若，則D.若復數，滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，令，a，，則，因為，且，所以，則，故，故A正確；對于B選項，令，則由，得，所以，故B正確；對于C選項，令，，此時，，，故C錯誤；對于D選項，令，，則，所以，，故D正確.故選：ABD.10.已知內角的對邊分別為為的重心，，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點，則是中點，，A錯；由得，所以，又，即所以，所以，當且僅當時等號成立，B正確；，當且僅當時等號成立，，，C正確；由得，所以，，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．11.已知函數和函數的定義域均為，若的圖象關于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關于直線對稱,可知即所以圖象關于軸對稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關于對稱，所以，所以是周期為4的周期函數，則故B錯誤.當時,又因為所以即在區(qū)間上的〖解析〗式為故C錯誤.因為，，所以，所以，所以.故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為________．〖答案〗1〖解析〗若過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為.13.4名男生和2名女生隨機站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數為________．〖答案〗〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，若兩名女生一起，可排最左邊，中間，最右邊，共有3種；若兩名女生分開排，則有種；所以一共有種.14.在長方體中，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗平面截四面體的截面如圖所示，設，則，所以四邊形為平行四邊形，且，在矩形中，，，則，當且僅當時，等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數列的前n項和為，且也是等差數列．（1）求數列的公差；（2）若，求數列的前n項和．解：（1）設數列的公差為d，則．因為是等差數列，所以為常數．，所以，解得．（2）因為，所以．，故．16.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）證明：平面ABC．（2）若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．（1）證明：取O內一點，作OE垂直AB，交AB于點E，作OF垂直BC，交BC于點F，因為平面平面且平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，同理，因為，且平面，所以平面．（2）解：因為BC，BA，兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，令，則，，，，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以，設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數量是A類題的兩倍．（1）求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當k為何值時，最大？解：（1）設小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得，設，即，所以，即，解得，又，所以時，最大.18.設拋物線的焦點為，已知點到圓上一點的距離的最大值為6.（1）求拋物線的方程.（2）設是坐標原點，點是拋物線上異于點的兩點，直線與軸分別相交于兩點（異于點），且是線段的中點，試判斷直線是否經過定點.若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由.解：（1）點到圓上點的最大距離為，即，得,故拋物線方程為.（2）設，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,因此點縱坐標為，代入拋物線方程可得點橫坐標為，則點坐標為,同理可得點坐標為,因此直線的斜率為,代入點坐標可以得到方程為,整理可以得到,因此經過定點.19.已知函數．（1）是否存在實數，使得和在上的單調區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．（2）已知是的零點，是的零點．①證明：，②證明：．（1）解：由題意得，當時，，所以和在上都單調遞增，符合題意；當時，若和在上的單調區(qū)間相同，則和有相同的極值點，即，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，所以無解，綜上，當時，和在上的單調區(qū)間相同；（2）證明：①由題意，有兩個零點，，若，則，所以在上單調遞增，不符合題意，若，則當時，單調遞減，當時，單調遞增，且當時，，當時，，所以，解得，得證；②令，得，即，令，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，在同一坐標平面內作出函數與函數的圖象，它們有公共點，如圖，故，且有，由，得，即，又，所以，由，得，即，又，所以，由，得，即，故.湖南省衡陽市祁東縣2024屆高三第三次聯(lián)考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題得，則．故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知雙曲線的漸近線方程為，即．故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，故，．故選：A.4.在研究變量與之間的關系時，進行實驗后得到了一組樣本數據利用此樣本數據求得的經驗回歸方程為，現發(fā)現數據和誤差較大，剔除這兩對數據后，求得的經驗回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設沒剔除兩對數據前的平均數分別為，，剔除兩對數據后的平均數分別為，，因為，所以，，則，所以，又因為，所以，解得.故選：C.5.函數零點的個數為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數零點的個數為與的交點個數，顯然與均關于對稱，又當時，，當時，，再結合兩個函數的圖象，可得與有5個交點，故函數零點的個數為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數，那么稱這種方式表示的函數是隱函數．隱函數的求導方法如下：在方程中，把y看成x的函數，則方程可看成關于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數的導數，將方程的兩邊同時對x求導，則（是中間變量，需要用復合函數的求導法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側同時求導，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現將57個大小相同、質地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內水的高度為6cm，由梯形中位線的性質可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設，，，則，．又，所以，化簡得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，，均不為0，則下列說法正確的是（）A.若復數滿足，且，則B.若復數滿足，則C.若，則D.若復數，滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，令，a，，則，因為，且，所以，則，故，故A正確；對于B選項，令，則由，得，所以，故B正確；對于C選項，令，，此時，，，故C錯誤；對于D選項，令，，則，所以，，故D正確.故選：ABD.10.已知內角的對邊分別為為的重心，，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點，則是中點，，A錯；由得，所以，又，即所以，所以，當且僅當時等號成立，B正確；，當且僅當時等號成立，，，C正確；由得，所以，，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．11.已知函數和函數的定義域均為，若的圖象關于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關于直線對稱,可知即所以圖象關于軸對稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關于對稱，所以，所以是周期為4的周期函數，則故B錯誤.當時,又因為所以即在區(qū)間上的〖解析〗式為故C錯誤.因為，，所以，所以，所以.故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為________．〖答案〗1〖解析〗若過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為.13.4名男生和2名女生隨機站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數為________．〖答案〗〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，若兩名女生一起，可排最左邊，中間，最右邊，共有3種；若兩名女生分開排，則有種；所以一共有種.14.在長方體中，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗平面截四面體的截面如圖所示，設，則，所以四邊形為平行四邊形，且，在矩形中，，，則，當且僅當時，等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數列的前n項和為，且也是等差數列．（1）求數列的公差；（2）若，求數列的前n項和．解：（1）設數列的公差為d，則．因為是等差數列，所以為常數．，所以，解得．（2）因為，所以．，故．16.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）證明：平面ABC．（2）若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．（1）證明：取O內一點，作OE垂直AB，交AB于點E，作OF垂直BC，交BC于點F，因為平面平面且平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，同理，因為，且平面，所以平面．（2）解：因為BC，BA，兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，令，則，，，，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以，設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數量是A類題的兩倍．（1）求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當k為何值時，最大？解：（1）設小張回答