自動(dòng)控制原理2.2-微分方程1.2-微分方程

§2-2微分方程

一、線性元件的微分方程：

列寫方法：（1） 確定元件的輸入、輸出變量。（2） 從輸入端開始，根據(jù)物理、化學(xué)基本定律寫出原始方程式。（3） 消去中間變量，寫出只含輸入、輸出變量的微分方程。（4） 標(biāo)準(zhǔn)化——將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)的右邊,與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)的左邊，各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列。第二章數(shù)學(xué)模型例1.RC網(wǎng)絡(luò)，為輸入，為輸出，列微分方程。線性元件的微分方程(續(xù))解：令T=RC為時(shí)間常數(shù)，則有---一階微分方程?！?1)第二章數(shù)學(xué)模型例2．R-L-C電路，為輸入，為輸出,列微分方程。解：—

二階微分方程線性元件的微分方程(續(xù))均為時(shí)間常數(shù),第二章數(shù)學(xué)模型線性元件的微分方程(續(xù))例3.

彈簧-質(zhì)量-阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)。當(dāng)外力F(t)作用時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)x(t)----位移。解：在F(t)作用下，若彈簧恢復(fù)力和阻尼器阻力之和不平衡，則質(zhì)量m

將有加速度，并使速度和位移改變。根據(jù)牛頓第二定律有：第二章數(shù)學(xué)模型假設(shè)彈簧是線性的，則線性元件的微分方程(續(xù))假設(shè)阻尼器阻力與速度成正比，則第二章數(shù)學(xué)模型-------二階微分方程

比較(2)、(3)式可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩方程的系統(tǒng)相同時(shí)，從動(dòng)態(tài)性能的角度看，兩系統(tǒng)是相同的。這就有可能利用電氣來(lái)模擬機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，而對(duì)系統(tǒng)理論來(lái)說(shuō)，就有可能撇開系統(tǒng)的物理屬性進(jìn)行普遍意義的分析研究?！?3)線性元件的微分方程(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型例4.樞控他勵(lì)直流電機(jī)，解：

線性元件的微分方程(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型

電機(jī)軸上的動(dòng)力學(xué)方程為：其中J----轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，f----粘性摩擦系數(shù)。實(shí)際分析中常忽略阻尼力矩，線性元件的微分方程(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型將(2)、(3)式代入(1)式中有：

令----電樞回路的電磁時(shí)間常數(shù)線性元件的微分方程(續(xù))

----電樞回路的機(jī)電時(shí)間常數(shù)

第二章數(shù)學(xué)模型----為傳遞系數(shù)線性元件的微分方程(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型先列寫各元件的微方，再合并，消去中間變量。例5、速度控制系統(tǒng)。

二.線性系統(tǒng)微分方程的列寫：_+uf+ug功率放大TG負(fù)載

R1R2R3R3R4__+ua_MR1u1C第二章數(shù)學(xué)模型1、運(yùn)放Ⅰ：2、運(yùn)放Ⅱ：3、功放：4、電機(jī)：5、測(cè)速機(jī)：最后合并上述方程有：線性系統(tǒng)微方的列寫(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型令則有線性系統(tǒng)微方的列寫(續(xù))可見(jiàn)：既與有關(guān)又與有關(guān)。①當(dāng)為變化量，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速跟蹤時(shí)，為速度隨動(dòng)系統(tǒng)，一般不變：第二章數(shù)學(xué)模型三.非線性元件微分方程的線性化:若對(duì)系統(tǒng)的元件特性尤其是靜特性進(jìn)行嚴(yán)格的考察，不難發(fā)現(xiàn)：幾乎程度不同的都存在著非線性關(guān)系。如鐵芯線圈：為常值，②當(dāng)為變化量，系統(tǒng)為恒值調(diào)速系統(tǒng)：線性系統(tǒng)微方的列寫(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型

[空心時(shí)，為常數(shù)，但現(xiàn)在：

非線性元件微分方程的線性化(續(xù))與i是非線性關(guān)系。在此不是一個(gè)常數(shù)，第二章數(shù)學(xué)模型故建立的方程為非線性的，其求解是相當(dāng)困難的，且沒(méi)有通用解法。所以在允許的范圍內(nèi)進(jìn)行線性化處理，常用的方法――小偏差法，此法只適用于非本質(zhì)性非線性元件，對(duì)于本質(zhì)性非線性元件將在非線性系統(tǒng)一章中討論。

非線性元件微分方程的線性化(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型★具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)可表示為：

y=f(x)

若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)。如A點(diǎn)：，如B點(diǎn)。附近連續(xù)可導(dǎo)，則可將函數(shù)在附近展開成設(shè)函數(shù)y=f(x)在

非線性元件微分方程的線性化(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型當(dāng)變化量很小時(shí)，可忽略高次項(xiàng)。則有：這就是y=f(x)非線性方程的線性化表示----用斜線代替曲線。對(duì)具有兩個(gè)自變量的非線性函數(shù)：

非線性元件微分方程的線性化(續(xù))臺(tái)勞級(jí)數(shù)：第二章數(shù)學(xué)模型，同樣的處理方法：

當(dāng)很小時(shí)，有其中例6．鐵芯線圈：或設(shè)原來(lái)處于某平衡點(diǎn),則

非線性元件微分方程的線性化(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型

則只在且工作過(guò)程中附近變化：

非線性元件微分方程的線性化(續(xù))------線性化增量方程。實(shí)際使用時(shí)為：。第二章數(shù)學(xué)模型⑷注意：變量的變化必須是小范圍的，增量方程中的Δ一般可略去，形式與線性方程一樣。⑴線性化增量方程：以平衡點(diǎn)處的切線代替曲線得到變量對(duì)平衡點(diǎn)的增量方程。⑶簡(jiǎn)化方法：將原非線性微分方程中的非線性項(xiàng)代之以線性增量形式，而其他線性項(xiàng)的變量直接寫成增量形式即可。

非線性元件微分方程的線性化(續(xù))結(jié)論⑵小偏差法：將非線性特性在某工作點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)作臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，忽略高次項(xiàng)，僅取一次近似式即可。第二章數(shù)學(xué)模型建立微分方程的目的之一是用數(shù)學(xué)方法定量研究系統(tǒng)的工作特性，給出r(t)，分析c(t)，也就是解微分方程?？捎媒?jīng)典法、拉氏變化法或計(jì)算機(jī)求解。其中拉氏變化法可將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)四、線性系統(tǒng)微分方程的求解：運(yùn)算，且可查表，簡(jiǎn)單實(shí)用。第二章數(shù)學(xué)模型⑴將系統(tǒng)微方進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程，其初始值取系統(tǒng)t=0－時(shí)的對(duì)應(yīng)值。步驟：⑵解代數(shù)方程，求出C(s)表達(dá)式。⑶將C(s)展開成部分分式。⑷進(jìn)行拉氏反變換，即得微方的全解c(t)。線性系統(tǒng)微分方程的求解(續(xù))第