吉林省長(zhǎng)春市養(yǎng)正高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考試題理

PAGE9-吉林省長(zhǎng)春市養(yǎng)正高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考試題理第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）.設(shè)全集，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t為 A. B. C. D.復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，，則A.1 B. C.2 D.如圖是秦九韶算法的一個(gè)程序框圖，則輸出的為 A.的值B.的值 C.的值D.的值5名學(xué)生和2名老師排成一排照相，2名老師不在兩邊且不相鄰的概率為 A. B. C. D.在△中，角的對(duì)邊分別是，若，，則 A. B. C. D.函數(shù)的大致圖象為 A. B. C. D.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為A. B.C. D.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與，測(cè)得，，米，并在測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔的高度為A.米 B.米C.米 D.米若等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，則當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)，的值為 A.11 B.12 C.22 D.23如圖所示，正弦曲線(xiàn)，余弦曲線(xiàn)與兩直線(xiàn)，所圍成的陰影部分面積為 A.1 B.C.2 D.已知是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為，則雙曲線(xiàn)的離心率是A. B. C. D.已知函數(shù)，若，則的最小值為 A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題－21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22題－24題為選考題，考生依據(jù)要求作答.已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，將的圖象向右平移個(gè)單位后與的圖象重合，則的最小值為_(kāi)_________.在平面直角坐標(biāo)系中，若滿(mǎn)意，則當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.給出下列5種說(shuō)法： ①在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等；②標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)也越??；③回來(lái)分析探討的是兩個(gè)相關(guān)事務(wù)的獨(dú)立性；④在回來(lái)分析中，預(yù)報(bào)變量是由說(shuō)明變量和隨機(jī)誤差共同確定的；⑤相關(guān)指數(shù)是用來(lái)刻畫(huà)回來(lái)效果的，的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，回來(lái)模型的擬合效果越好. 其中說(shuō)法正確的是______（請(qǐng)將正確說(shuō)法的序號(hào)寫(xiě)在橫線(xiàn)上）.如圖，在三棱錐中，與是全等的等腰三角形，且平面平面，，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）.（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，滿(mǎn)意.(1)計(jì)算，猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.（本小題滿(mǎn)分12分）某城市隨機(jī)監(jiān)測(cè)一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)API，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：API天數(shù)61222301416(1)若將API值低于150的天氣視為“好天”，并將頻率視為概率，依據(jù)上述表格，預(yù)料今年高考6月7日、8日兩天連續(xù)出現(xiàn)“好天”的概率；(2)API值對(duì)我國(guó)部分生產(chǎn)企業(yè)有著重大的影響，假設(shè)某企業(yè)的日利潤(rùn)與API值的函數(shù)關(guān)系為：（單位；萬(wàn)元），利用分層抽樣的方式從監(jiān)測(cè)的100天中選出10天，再?gòu)倪@10天中任取3天計(jì)算企業(yè)利潤(rùn)之和，求離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望和方差.（本小題滿(mǎn)分12分）在三棱柱中，，側(cè)棱平面，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.(1)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，平面；(2)在(1)條件下，求二面角的余弦值.（本小題滿(mǎn)分12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，且.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(3)求證：為定值.（本小題滿(mǎn)分12分） 已知函數(shù). (1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求正實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (3)求證：.請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題記分.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4－1：幾何證明選講.如圖是圓的一條弦，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，作，與該圓交于點(diǎn)，若，. (1)求圓的半徑； (2)若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證三點(diǎn)共線(xiàn).（本小題滿(mǎn)分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的一般方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線(xiàn)上的隨意一點(diǎn)到曲線(xiàn)的最小距離，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).（本小題滿(mǎn)分10分）選修4－5：不等式選講.設(shè)函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；答案一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1.A 2.A 3.C 4.B 5.A 6.A7.C 8.D 9.C 10.D 11.C 12.C簡(jiǎn)答與提示：【命題意圖】本小題主要考查集合的計(jì)算，是一道常規(guī)問(wèn)題.【試題解析】A ，則．故選A.【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義.【試題解析】A 依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由題意，可將看作夾角為的單位向量，從而，故選A.【命題意圖】本小題主要通過(guò)程序框圖的理解考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)算法思想的理解與剖析，本題特別利用秦九韶算法，使學(xué)生更加深刻地相識(shí)中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化.【試題解析】C 由秦九韶算法，，故選C.【命題意圖】本小題主要考查排列組合在古典概型中的應(yīng)用，既對(duì)抽象概念進(jìn)行提問(wèn)，又貼近生活實(shí)際，是數(shù)學(xué)與生活相聯(lián)系.【試題解析】B ，故選B.【命題意圖】本小題主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的推理論證實(shí)力和數(shù)形結(jié)合思想提出肯定要求.【試題解析】A 由正弦定理得，，再由余弦定理可得，故選A.【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)對(duì)函數(shù)圖像的影響，并通過(guò)對(duì)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)推斷函數(shù)的圖像等問(wèn)題.【試題解析】A 推斷函數(shù)為奇函數(shù)，解除；又由于當(dāng)時(shí)，的增加速度快，故選A.【命題意圖】本小題主要考查立體幾何中的三視圖問(wèn)題，并且對(duì)考生的空間想象實(shí)力及利用三視圖還原幾何體的實(shí)力進(jìn)行考查，同時(shí)考查簡(jiǎn)潔幾何體的體積公式.【試題解析】C 該幾何體可看成以正視圖為底面，4為高的棱柱與半圓柱的組合體，從而其體積為，故選C.【命題意圖】本小題主要考查利用三角函數(shù)以及解三角形的學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想提出肯定要求.【試題解析】D 在中，由正弦定理得，在中，，故選D.【命題意圖】本小題主要考查對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)以及改變規(guī)律的理解，還包括前項(xiàng)和的理解，理解了等差數(shù)列性質(zhì)以及特點(diǎn)的學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題會(huì)比較簡(jiǎn)潔.【試題解析】C 由等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，可知，再由，知，從而有，即，從而使得數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值的，故選C.【命題意圖】本小題主要考查定積分的幾何意義以及定積分的基本運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力和數(shù)形結(jié)合思想提出肯定要求.【試題解析】D 所求封閉圖形面積等價(jià)于，故選D.【命題意圖】本小題主要考查雙曲線(xiàn)的定義，雙曲線(xiàn)離心率的運(yùn)算，對(duì)考生的運(yùn)算求解實(shí)力和數(shù)形結(jié)合實(shí)力提出較高要求.【試題解析】C 不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支，分別為左，右焦點(diǎn)，有，由，可得，由知，的最小內(nèi)角為，從而為直角三角形，，此時(shí)雙曲線(xiàn)離心率，故選C.【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，并對(duì)基本不等式的考查也提出很高要求，本題作為選擇的壓軸題，屬于較難題，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力和推理論證實(shí)力提出肯定要求.【試題解析】C 由可得，，而=，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”，從而，，故選C.二、 14. 15.②④⑤ 16.簡(jiǎn)答與提示：【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)，圖像的平移以及三角函數(shù)最值的求取，屬于基本試題.【命題意圖】本小題是線(xiàn)性規(guī)劃的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，對(duì)可行域的求取、對(duì)目標(biāo)函數(shù)的理解都是考生必需駕馭的基本技能.【試題解析】令，由可行域可知其在第一象限，故可看成從點(diǎn)向軸，軸引垂線(xiàn)段，所圍成矩形的面積，故其可能取最大值的位置應(yīng)在線(xiàn)段上，，當(dāng)時(shí)取最大值，此時(shí)【命題意圖】本小題通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)基本定義問(wèn)題考查學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，是一道中檔難度的綜合試題. 【試題解析】由統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)定義可知，②④⑤的說(shuō)法正確.【試題解析】取中點(diǎn)分別為，連接，由題意知，，易知三棱錐的外接球球心在線(xiàn)段上，連接，有，求得，所以其表面積為.三、解答題(本小題滿(mǎn)分12分)【命題意圖】本小題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)于數(shù)列的問(wèn)題，雖存在著肯定的難度，但是是考試大綱規(guī)定考查內(nèi)容，屬于一道中檔題，對(duì)考生的運(yùn)算求解實(shí)力，化歸與轉(zhuǎn)化實(shí)力提出肯定要求.【試題解析】解：(1)因?yàn)?，所以，由此整理得，于是有：，猜想：證明：①當(dāng)時(shí)，，猜想成立.②假設(shè)時(shí)猜想成立，即，那么所以當(dāng)時(shí)猜想成立，由①②可知，猜想對(duì)任何都成立.(6分)(2)由(1)，于是： 又因?yàn)椋? (12分)【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)學(xué)問(wèn)，其中包括概率的求法、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望以及方差.本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力.【試題解析】解：(1)依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出現(xiàn)好天的概率為0.4，則連續(xù)兩天出現(xiàn)“好天”的概率為. (4分)(2)的全部可能取值為45,70,95,120.4570951200.2160.4320.2880.064 (12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)學(xué)問(wèn)，詳細(xì)涉及到線(xiàn)面的平行關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.本小題對(duì)考生的空間想象實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力有較高要求.【試題解析】解：(1)證明：，則，即. (6分) (2)取中點(diǎn)，可知，.以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系. ，，， 平面中，，， 平面中，，， . 即二面角的余弦值為. (12分)【命題意圖】本小題主要考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用實(shí)力，詳細(xì)涉及到拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求取，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)學(xué)問(wèn)以及圓錐曲線(xiàn)中定值的求取.本小題對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解實(shí)力都有很高要求.【試題解析】解：(1)由可得：，即，可知點(diǎn)為線(xiàn)段中垂線(xiàn)上的點(diǎn)，即，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，其方程為. (4分)(2)設(shè)直線(xiàn)的斜率為，易得，可求得切線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)整理得 ①因?yàn)?，所以，故直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程解得，所以切線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)整理得 ②①-②得，所以(定值).故點(diǎn)的軌跡為是垂直軸的一條定直線(xiàn). (8分)(3)由(1)有，所以，.故(定值). (12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用實(shí)力，詳細(xì)涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述函數(shù)的極值等狀況.本小題主要考查考生分類(lèi)探討思想的應(yīng)用，對(duì)考生的邏輯推理實(shí)力與運(yùn)算求解有較高要求.【試題解析】解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，得；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，為極大值點(diǎn)，所以，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為. (4分)(2)當(dāng)時(shí)，，令，則.再令，則，所以，所以，所以為單調(diào)增函數(shù)，所以，故. (8分)(3)由(2)知，當(dāng)時(shí)，，.令，則，所以，，所以，所以所以. (12分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，詳細(xì)涉及到圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，切割線(xiàn)定理等內(nèi)容.本小題重點(diǎn)考查考生對(duì)平面幾何推理實(shí)力.【試題解析】解：(1)取中點(diǎn)為，連結(jié)，由題意知，，為圓的切線(xiàn)，為割線(xiàn)，由，在中，由勾股定理得，. (5分)(2)由(1)知，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以與交于點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線(xiàn). (5分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)學(xué)問(wèn)，詳細(xì)涉及到參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、平面內(nèi)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系、利用三角函數(shù)相關(guān)學(xué)問(wèn)解決點(diǎn)線(xiàn)距離問(wèn)題等內(nèi)容.本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思