27.2.9相似三角形與圓綜合-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊課后練習(xí)(人教版)

【專題】相似三角形與圓綜合學(xué)習(xí)必知：相似三角形與圓的綜合題，證明相似時，通常是利用圓的性質(zhì)（圓的內(nèi)接四邊形對角互補、同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角是90°、圓的半徑相等、切線的性質(zhì)等）尋找兩個角對應(yīng)相等，利用“兩個角分別相等的兩個三角形相似”來證明.1．（2020·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE=4，CD=6，則AE的長為__________.【答案】5．【詳解】解：設(shè)AE=x，則AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD.∵∠CDB=∠BAC（圓周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴，即解得：x=5．故答案為5．【點睛】本題考查1．圓周角定理；2．圓心角、弧、弦的關(guān)系；3．相似三角形的判定與性質(zhì)．2．（2021·湖南岳陽·中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點、，，為的外接圓，過點作的切線交于點，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①；②；③若，則的長為；④；⑤若，則．

【答案】②④⑤【分析】①根據(jù)線段垂直平分線定理，為的直徑，為的弦，即可得出結(jié)論；②根據(jù)段垂直平分線得出∠A+∠AED=90°，再證∠A+∠ABC=90°，等量代換即可；③根據(jù)已知條件先得出∠EBC的度數(shù)，再利用圓周角定理得∠EOC=2∠EBC，根據(jù)弧長公式計算即可；④根據(jù)角角相似證明△EFD∽△BFE即可得出結(jié)論；⑤先根據(jù)勾股定理得出BF的長，再根據(jù)等面積法得出ED，根據(jù)角角相似證明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可計算出結(jié)果．【詳解】解:①∵DE是的垂直平分線∴為的直徑，為的弦．故①不正確．②∵DE是的垂直平分線∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∴∠A+∠ABC=90°∴故②正確．③連接OD的長為．故③錯誤．④∵DE⊥AB，F(xiàn)是的切線∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴．故④正確．⑤∵，∴BF=∵∴在Rt△EDB中，，∵DE是的垂直平分線，∴，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽Rt△ACB∴∴∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=ACAE=10.248=2.24．故⑤正確．綜上所述：正確的有②④⑤．故答案為：②④⑤．【點睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及定理、勾股定理、切線的性質(zhì)、等面積法是常用的計算邊長的方法、靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵3．（2020·浙江北侖·九年級期中）如圖，內(nèi)接于，且，是是上的一點，在的延長線上，連結(jié)交于，連結(jié)．（1）求證：平分；（2）若，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）據(jù)等邊對等角，判定∠DCB=∠DBC，再據(jù)同弧所對圓周角相等，判定∠DAC=∠DBC，再據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)判定∠EAD=∠DCB，最后得證平分；（2）運用等邊對等角和同弧所對圓周角相等證得∠CFB=∠DCB，據(jù)△BCF和△BDC還有一個公共角，由有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似，證得．【詳解】如下圖（1）∵∴又∵，∴，即平分．（2）∵∴又∵，∴又∵∴．【點睛】此題考查圓周角的相關(guān)知識及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．找準(zhǔn)圖形正確運用相關(guān)知識是關(guān)鍵．4．（2020·湖南衡陽·中考真題）如圖，在中，，平分交于點，過點和點的圓，圓心在線段上，交于點，交于點．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的長．【答案】（1）與相切．證明見解析；（2）【分析】（1）利用角平分線的定義證明結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證明從而證明結(jié)合可得答案；（2）連接，先利用勾股定理求解的長，再證明利用相似三角形的性質(zhì)列方程組求解即可得到答案．【詳解】解：（1）與相切．理由如下：如圖，連接，平分，在上，是的切線．（2）連接為的直徑，，，解得：所以：的長為：【點睛】本題考查的切線的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2021·四川瀘州·中考真題）如圖，ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，AE是⊙O的直徑，連接EC（1）求證：；（2）若，于點，，，求的值【答案】（1）證明見詳解；（2）18．【分析】（1）連接，根據(jù)是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，可得，利用，得到，根據(jù)圓周角定理可得，則可證得；（2）由（1）可知，易得△AFC∽△CFB，則有,則可得，并可求得，連接，易證△ACD∽△AEB，則有，可得．【詳解】解：（1）連接∵是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，∴∠OCF=∠ACE=90°，∴∴又∵∴根據(jù)圓周角定理可得：∴，∴；（2）由（1）可知，∵∴△AFC∽△CFB∴∴,∵，，∴∴∴又∵△AFC∽△CFB中，∴，如圖示，連接∵，∠ADC=∠ABE=90°∴△ACD∽△AEB∴∴．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與交于點E，切于點B．（1）求證：；（2）若，，求證：∽．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由圓周角定理的推論，可知∠ABC=90°，由切線的性質(zhì)可知∠OBP=90°，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先推出，從而得∠AOB=40°，繼而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵是的直徑，∴∠ABC=90°，∵切于點B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴∽．【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定定理，掌握圓周角定理的推論，相似三角形的判定定理，切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．7．（浙江省杭州市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，的平分線交于點，交邊于點，連接．(1)求證：．(2)已知，，求線段的長（用含，的代數(shù)式表示）．(3)已知點在線段上（不與點，點重合），點在線段上（不與點，點重合），，求證：．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】(1)由題目已知角平分線相等得到兩個相等，同弧所對的兩個圓周角相等，從而證明兩三角形相似；(2)由(1)中的相似可以得到線段成比例，再由即可求得；(3)要證即證，已知條件有一對角相等，利用外角關(guān)系可以證明，從而得證．【詳解】(1)因為平分，所以，又因為，所以．(2)由(1)，知，因為，所以，所以．(3)因為，又因為，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，所以．【點睛】本題考查了圓的圓周角概念，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點，解題關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件找到相似的兩個三角形并通過角度的轉(zhuǎn)換從而證明相似．8．（青海省2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是邊上的中線，以為直徑的交于點，過點作于點，交的延長線于點，過點作于點．（1）求證：；（2）求證：直線是的切線．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題意，通過，即可證明；（2）連接，通過證明O