2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第18講復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)（講義）教師版

第18講復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)

知識梳理

1.復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及運算法則

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(&b￡R)的分類

①z是實數(shù)="=0;

②z是虛數(shù)

③z是純虛數(shù)u>a=O且b#0.

(2)共枕復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)z=a+bi的共規(guī)復(fù)數(shù)z=a—bi.

⑶復(fù)數(shù)的模

復(fù)數(shù)z=a+bi的模|z|=7才+尻

(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件

a+6i=c+力=d=c且b=d(a,b,c,d￡R).

特別地，a+歷=0=a=0且6=0(a,Z?￡R).

(5)復(fù)數(shù)的運算法則

加減法：(a+6i)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；

乘法：(a+8i)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

ac+bdbe—ad

除法：(a+歷)(c+di)=/+/+犬+/j.

(其中a,b,c,dGR.)

2.復(fù)數(shù)的幾個常見結(jié)論

(1)(l±i)2=±2i.

1+i1-i

⑵[T=i,！TT=-i.

(3)產(chǎn)n,產(chǎn)+i=i,i'-2=-l,i4-3=-i,i如+嚴+嚴2+尸=0(〃匕).

1亞一

(4)。=-2±2i，且3°=1，d=3,w3=l,1+。+o>2=0.

3、理解復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)平面的有關(guān)概念：實軸是x軸,虛軸是y軸；與復(fù)數(shù)叁一一對應(yīng)

的點是(。,與；非零復(fù)數(shù)2=。+方(。力€氏。2+〃聲0)與復(fù)平面上自原點出發(fā)以點

Z(a,b)為終點的向量0Z一一對應(yīng)；復(fù)數(shù)模的幾何意義是:復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點到原點

的距離.

,,---------------------------------------------------------------------------

［【特別提醒】

(1)虛軸上的原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是

實數(shù)故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何

意義，也是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示法.

4、實系數(shù)一元二次方程

實系數(shù)一元二次方程內(nèi)2+hx+c^0(a,b,c&R,aH0)中的A=〃一4。。為根的判別式,

(1)A>00方程有兩個不相等的實根

A=()。方程有兩個相等的實根-2.

-b±yj4ac-b2i

(3)△<0。方程有兩個共規(guī)虛根v,

2a

在(3)的情況下，方程的根與系數(shù)關(guān)系(韋達定理)仍然成立.

求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：

(1)設(shè)2=%+/(蒼>^1<)化歸為實數(shù)方程來解決(化歸思想).

(2)把z看成一個未知數(shù)(而不是實部和虛部兩個未知數(shù))，用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來變形(整體思

想).

(3)對二次方程，直接用一元二次方程的求根公式(公式法).

5.復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角主值

rcos0a

一般地，如果非零復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6GR)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z(a,力，且r為向量應(yīng)

的模，二是以x軸正半軸為始邊、射線處為終邊的一個角，則r=|z|=dZ壬瓦

根據(jù)任意角余弦、正弦的定義可知

因此a=7ros0,b=rsin0,如圖所示，從而z=a+6i=Crcos夕)+(rsin?)i

=r(cos?+isin0),

上式的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z=a+歷的三角形式(對應(yīng)地，a+歷稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式)，其

中的。稱為z的輻角.

顯然，任何一個非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個，而且任意兩個輻角之間都相差2n

的整數(shù)倍.特別地，在[0,2n)內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz

6.復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算

若復(fù)數(shù)zi=n(cos%+isin/),^—rAcosg+isin夕2),且ziWz2,則

(1)ZiZ2=n(cos^,+isin01)X22(cos%+isin%)

=nr2[cos(氏+&)+isin(即+甸].

(2)~==[cos(0\—〃2)+isin(0%)].

Z2Z2-------------------------------

(3)[r(cos。+isin0)]"=/'[cos(/?/)+isin(〃《)].

(4)三角形式下復(fù)數(shù)的乘方與開方公式：給定三角形式的復(fù)數(shù)“cosa+isina),則

對任何正整數(shù)“，有

z"=r"(cos”a+isinna'),

z的〃次方根為步(cos+i,/=0,1,2,…，—1.

【易錯點提醒】

1.復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a=0且6W0(z=a+歷，a,AeR).還要注意巧妙運用參

數(shù)問題和合理消參的技巧.

2.復(fù)數(shù)的運算與多項式運算類似，要注意利用i?=-l化簡合并同類項.1.復(fù)數(shù)z為純虛

數(shù)的充要條件是a=0且6N0(z=a+歷，a,6CR).還要注意巧妙運用參數(shù)問題和合理消

參的技巧.

2.復(fù)數(shù)的運算與多項式運算類似，要注意利用1=-1化簡合并同類項.

考向一復(fù)數(shù)的概念

【解決法寶】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念：

設(shè)a,。都是實數(shù)，形如a+歷的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,6分別是它的實部和虛部.若b=

0,則a+歷為實數(shù)；若則a+歷為虛數(shù)；若6ro且a=0,則a+歷為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等:

a+bi—c+di<^>a—cJ@.b=d；a+6i=0=a=0且6=0.

(3)共知復(fù)數(shù)：

如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共飄復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)/

=a+bi的共勵復(fù)數(shù)z=a—bi.

2.復(fù)數(shù)的概念問題，關(guān)鍵在理解概念的基礎(chǔ)上，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.

2

1.(2020?浦東新區(qū)?上海師大附中高二期末)若zcC,且——=z,則Re(z)=

z-5

【答案】5

2

【分析】推導(dǎo)出(z—5)i=2,從而z=]+5=5—2i,由此能求出Re(z).

2

【詳解】解：??,zwC，且——=i,

z-5

???(z-5"=2,

22i

z=—F5=5H——=5-2i，

ii2

：.Re(z)=5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的實部的求法，考查復(fù)數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是基礎(chǔ)題.關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)的運算求出z的標(biāo)準(zhǔn)形式，并注意準(zhǔn)確掌握實部的概念.

2.(2020?上海市洋涇中學(xué)高二期末)復(fù)數(shù)2-，的共輾復(fù)數(shù)為(，為虛數(shù)單位)

【答案】2+i

【分析】由共輾復(fù)數(shù)的定義求解.

【詳解】復(fù)數(shù)2-了的共施復(fù)數(shù)為2+i.

故答案為：2+九

7

3.(2020?上海大學(xué)附屬中學(xué)高二期末)已知z是復(fù)數(shù)，一:為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，

2+1

且z-z=4i-

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若|z—同＜5,求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)z=4+2z；(2)(-1,5).

【分析】(1)設(shè)z=a+初(。,匕eR),根據(jù)已知條件可得出關(guān)于“、人的方程組，解出

。、6的值，即可得出復(fù)數(shù)z的值；

(2)化簡復(fù)數(shù)z-，位，利用復(fù)數(shù)的模長公式可得出關(guān)于實數(shù)加的不等式，由此可解得實

數(shù)機的取值范圍.

【詳解】(1)設(shè)z=a+6(a,Z?e7?),則z=a—初，所以，z—z=2bi=4/，可得

b=2,

za+2i(a+2z)(2-z)(2a+2)+(4-a)z2a+24-a?...

71-o,-一s,—T一c一~一+-'為實數(shù)，

2+i2+z(2+，)(2—ij555

所以，?=°，解得。=4,因此，z=4+2i；

(2)z-//z?=4+(2-m)z,所以，|z-mz|=^42+(2-/?)2<5-可得{m-2『<9，

解得一1V〃2<5,

因此，實數(shù)m的取值范圍是(-L5)

考向二復(fù)數(shù)的運算

【解決法寶】復(fù)數(shù)的運算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運?算法則：

設(shè)％=a+歷，Z2=c+"i(a,b,c,d￡R)。，則

①加法：為+為=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+Q+力i；

②減法：zi-z2=(a+歷)—(c+di)=(a-。

③乘法：/i?Z2=(a+bi),(c+di)={ac—bd)+{ad+bc)i；

Z\/+bia+bic-di

④除法：￡=C+(A=c+dic-di

ac+bdbe-ad

=c+cf+d+di(c+必#0).

(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律：

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何幻、Z2、z3ec,有Z|+Z2=Z2+?,(Z|+z2)+

Z3=Z[+(z?+Zi).

1.(2021?全國高二單元測試)已知復(fù)數(shù)Z]=-2+i,z2=-1+2z.

（1）求Z|-Z2;

（2）在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)Z1-Z2所對應(yīng)的向量.

【答案】（1）-1-1；（2）答案見解析.

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運算直接求解即可；

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義直接作圖即可.

【詳解】（1）由復(fù)數(shù)減法的運算法則得：Z1-Z2=-2+i+l-2i=-l—i.

（2）在復(fù)平面內(nèi)作復(fù)數(shù)Z1-Z2所對應(yīng)的向量，如圖中32.

2.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）計算：（l+2z）-zl<x）+|—

【答案】1+2工

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法、乘方運算法則化簡即可.

2/

~2

(l+2z)-/l00+=[(1+2力?1+(一力于—產(chǎn)

J+i

=(1+/)2一產(chǎn)

3.（2020?林芝市第二高級中學(xué)高二月考（理））已知復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=l+7i.

（1）求Z;

（2）若坡=2+2乞+4,求|卬|.

【答案】（1）-3+4Z；（2）741.

【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a,6cR）,利用復(fù)數(shù)的乘法運算以及復(fù)數(shù)相等即可求解.

（2）利用共輾復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的加法運算求出卬，然后再利用復(fù)數(shù)模的求法即可求

解.

【詳解】(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+Ai(a,heR),則(l-i)z=(l-i)(a+初)=(a+O)+(/?-a)i

a+b=\a=-3

由復(fù)數(shù)相等得《,解得《

b-a=lb=4

z——3+4i

(2)由(1)得z=—3+4i

：.z=-3-4i

w=z+25+4

...vv=(-3+4/)+2(-3-4/)+4=-5-4z

???|W|=J(_5)2+(-4)2二屈.

【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算、復(fù)數(shù)相等、共葩復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)模的求法，屬于

基礎(chǔ)題.

4.(2021?全國高一課時練習(xí))計算：

(1+2<)2+3(1-/)

2+z

1—i1+z

(2)(l+/)2+(l-z)2：

1-V3i

(3)

(V3+i)2

【答案】(1)-+1z；(2)-1；(3)—L-—

5544

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則，準(zhǔn)確運算，即可求解.

【詳解】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得(1+2。-+3(1-9=3+4/+3-3,

2+z2+z

z_z-(2-/)_12.

2+7-(2+Z)(2-Z)-5

1-/1+z1-z1+z1+z-1+z,

⑵根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法貝L可得百十百=行+與=與+丁=

1-V3z(^+/)-(-/)T.(G-i)

（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得

(x/3+z)2--V3+z(6+i)(G-i)

-1-V3Z16.

=-------=--------1.

444

5.（2020?黃梅國際育才高級中學(xué)高二期中）已知復(fù)數(shù)z=l+i.

（1）化簡：W-7T+3z—4；

（2）如果三產(chǎn)主2=1—i,求實數(shù)。力的值.

z2-z+l

【答案】(1)-1-i；⑵a=-l,b=2.

【分析】（1）由復(fù)數(shù)z求出然后代入復(fù)數(shù)3=z?+35—4化簡求值即可;

（2）把復(fù)數(shù)z代入馬絲土2,然后由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值，再根據(jù)復(fù)數(shù)

z2-z+\

相等的定義列出方程組，從而解方程組可求得答案.

【詳解】（1）；z=l+i,：.z=l-i,

/.W=Z2+3Z-4=（1+Z）2+3（1-/）-4=2Z+3-3?-4=-1-?.

(2)

z2+az+b(l+?)2+a(l+z)+Z>(a+b)+(a+2)i

=(o+2)-(a+/?)z=l-z,

Z2-2+1(1+I)2-(1+Z)+1i

a+2—1G——1

解得：《

a+b=\b=2

【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了復(fù)數(shù)相等的

定義，是基礎(chǔ)題.

6.（2020?巴楚縣第一中學(xué)高二期中（文））化簡下列復(fù)數(shù)

（1）（6-5（+（3+2（

（2）（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）

【答案】（1）9-3z；（2）-in.

【分析】利用復(fù)數(shù)的加減運算法則求解.

【詳解】（1）（6-5z）+（3+2z）.

=(6+3)+(2-5)晨

=9—3i.

(2)(5-6i)+(-2-i)_(3+4z'),

=(5-2-3)+(-6-l-4)z,

【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的加減，相等，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題

考向三復(fù)數(shù)的幾何意義

【解?決法寶】L復(fù)數(shù)z=a+8——創(chuàng)義有序?qū)崝?shù)對(a,6)=:W點Z(a,6).

2.一般情況下復(fù)數(shù)不能比較大小。

3.對于復(fù)數(shù)z=a+5必須滿足a、人均為實數(shù)，才能得出實部為a,虛部為b.對于復(fù)數(shù)相

等必須先化為代數(shù)形式才能比較實部與虛部.

4.復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化?是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充

要條件和復(fù)數(shù)的模的運算及性質(zhì).

5.復(fù)數(shù)與向量很相近.注意復(fù)數(shù)的求模?運算.

1.12020?福建福州一中月考】已知三是復(fù)數(shù)2=，二上的共輾復(fù)數(shù)，則三的虛部為

z+2

()

3311

A.-B.--C.一D.——

5555

【答案】A

1-z1-z(17)(27)l-3z13.13.

【解析】VZ==---^,z=—1—l?所以z的

+2i+2(i+2)(27)—55555

3

虛部為g，故選4

2.12020四川江油一中期中】若2=$足夕一|+、056-是純虛數(shù)，則tan^e-?的

值為()

1D.-7或一▲

A.-7B.——C.7

77

【答案】A

【解析】因為z=sin6—|+[cos6-1“是純虛數(shù),43

故COS，Wg,sin^=-,所以

tantan—

八4八3(八兀71

cos0=——,tanff=——二tan0——-----------工二-7,故選A

54

41+tan0-tan—

4

a—i

3.12020貴州遵義一中期中】已知a/eR,i是虛數(shù)單位，——=bi,則6可取的值為

a+i

()

A.1B.-1C.1或TD.任意實數(shù)

【答案】C

i,,a-i(?-0?2-12a.a22a...匚匚…

【解析】由于----=1~r=-------；—I.所以一；-----------i-bi,所以

a+i(a+/)(?-/)a-+la2+\a2+]a2+\

———=0r[r

a2+\—"1ta"

，所以匕可取的值為1或T,故選C.

2a,b=-l8=1

——：——-b

4+3z

4.（2020?上海市洋涇中學(xué)高二期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一二所對應(yīng)的點位于（）

3-2/

（，為虛數(shù)單位）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】首先利用除法公式，計算復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷復(fù)數(shù)所在的象限.

4+3/（4+3/）（3+2/）6+17/617.

【洋解】------=---------------=--------=—?—i

3-2z（3-2z）（3+2z）131313'

復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是12,蔣）在第一象限.

故選：A

5.（2020?上海市第二中學(xué)高二期末）設(shè)z=，2-4/+5）+（『+2f+2）-i,其中feR,

則下列命題中正確的是（)

A.復(fù)數(shù)z可能為純虛數(shù)

B.復(fù)數(shù)z可能是實數(shù)

C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實部和虛部的符號可確定復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的特征，從而可

得正確的選項.

【詳解】因為*―4f+5=(f—2y+l>0,r2+2z+2=(?+l)2+l>0,

故ABD均錯誤，C正確.

故選：C.

6.12020?上海奉賢一中期中】己知z=(a-7)(1+7)(aGR,，為虛數(shù)單位)為純虛

數(shù)，則a=.

【答案】-1.

【解析】因為z=(a-iXl+i)=a+l+(a-l)i,因為z為純虛數(shù)，所以。+1=0且

Q—1。0，解得。=—1.

7.【2020?江蘇徐州二中期中】已知復(fù)數(shù)z滿足|z+3+4心2,則忖的最大值為

【答案】7

【解析】設(shè)2=工+/，由|z+3+4抬2可得點(x,y)的軌跡為以(—3,Y)為圓心,以2

為半徑的圓及圓內(nèi)的點，貝“z|的最小值為J(一3)2+(-4)2+2=7.

二、解答題

8.(2020?浦東新區(qū)?上海師大附中高二期末)(1)已知復(fù)數(shù)z=(l+幼(2+i)S『R)是

純虛數(shù)，求之3的模；

l+bi

(2)已知zwC,且|z|=2,求|z-3|的取值范圍.

【答案】(1)A/5;(2)[1,5].

【分析】(1)根據(jù)z是純虛數(shù)，求出8，求出代數(shù)式的值即可；

(2)設(shè)2=。+4，則/+/=4，-2毀女2,得到|z-3H(a-3)+4|=J13-6”，求出

z的取值范圍即可.

【詳解】解:(1)Z=(1+w)(2+i)=2+(2b+\)i-b=(2-b)+(2b+l)i,

若z是純虛數(shù)，則2—8=0,解得：b=2,

2b+3z4+3z4—8/+3z+6_.

故------=------=-------------=2-i,

1+bi1+2/1+4

（2）由題意設(shè)2=4+初，則/+加=4，-2強女2,

故|z-31=|（a—3）+bi|=\l（a—3）2+b2—Va2+b2—6a+9—V13—6a>

a=2時，|z-3|取最小值,最小值是1,

。=一2時，|z-3|取最大值，最大值是5,

故|z-3|的取值范圍是［1,51.

考向四實系數(shù)一元二次方程

【解.決法寶】（1）在復(fù)數(shù)集C中的一元二次方程的求根公式和韋達定理仍適用，但根的判

別式僅在實數(shù)集上有效；

（2）實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中一定有根，若是虛根則一定成對出現(xiàn)；

（3）齊二次實系數(shù)二次方程azJ+^iZz+cz??=0（a,b,ceR）,將等式兩端除以z2后，將

得到一個關(guān)于至得實系數(shù)一元二次方程；（不作要求）

Z2

（4）虛系數(shù)一元二次方程ax?+0x+c=0（aNO,a,b,c至少有一個為虛數(shù)）

①判別式判斷實根情況失效；②虛根成對出現(xiàn)的性質(zhì)失效；

如d一比一2=0,雖然A=7>0,但該方程并無實根，不過韋達定理仍適用.

1.（2020?上海市建平中學(xué)高二期末）已知復(fù)數(shù)4=「大+（。2一3），

Z2=2—（3a+l）i（aeR,i是虛數(shù)單位）.

（1）若4-1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若虛數(shù)4是實系數(shù)一元二次方程/一6%+加=0的根，求實數(shù)山的值.

【答案】（1）aG（-2,-1）；（2）機=13.

烏巴〉0

。+2

—2a—1?、

【分析】（1）由已知求出z「Z2=+2-+（。2_3。-4/,由題意得<。+2w0

/一3。一4>0

解不等式可得答案；

（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得結(jié)果

【詳解】解：（1）由題意得，Z,="a~+（a2-3a-4）i,

因為Z1-Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，

所以,a+2Ho,解得aw(—2,—1)

a~-3a—4>0

-6—

（2）由題意得Z[+Z[=----=6,故。=一1，所以z/Z]=13,即加=13.

【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的加減運算，考查共輾復(fù)數(shù)，考查根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題

2.（2020?上海市進才中學(xué)高二期末）己知z=2+i是關(guān)于x的方程f+px+4=0的一

個根，求實數(shù)小g的值及方程的另一個根.

【答案】〃=—4,夕=5,另一個根2—九

【分析】根據(jù)z=2+i是方程/+川+4=0的一個根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等求得

P，0即可.

【詳解】因為z=2+i是方程V+a+q=0的一個根,

所以(2+1)2+p(2+i)+q=0.

即3+g+2p+(p+4)i=0,

3+夕+2〃=0p=-4

所以《，解得《

〃+4=0q=5

所以方程為爐—4%+5=0，

因為％+x2=4,

所以方程的另一個根是x=2—i.

3.（2021?湖南長沙市?雅禮中學(xué)高一月考）已知關(guān)于x的方程V-px+25=0（peR）

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根為當(dāng)、A.

（1）若葉8,求X］、x2；

（2）若X1=3+4i,求P的值.

【答案】（1）玉=4+3/?，*2=4-3『；（2）p=6.

【分析】（I）利用求根公式即可求解.

（2）將玉=3+4i代入方程即可求解.

【詳解】（1）由題意得，△=〃？—1。0=-36<0,

.8±x/=368±736?8±6/

222

玉=4+3i,x2=4-3z.

（2）已知關(guān)于*的方程％2-px+25=0（peR）的一根為％=3+4i,

所以（3+4i）2—〃（3+4i）+25=（18—3〃）+（24—4〃）i=0,

所以18-3p=24-4P=0,解得p=6.

z—3

4.（2020?青海（文））已知復(fù)數(shù)z=l+〃zi（meR）,----是實數(shù).

1+2/

（1）求復(fù)數(shù)z；

（2）若復(fù)數(shù)z0=gm+z-l是關(guān)于x的方程幺+敬+。=0的根，求實數(shù)6和c的值.

【答案】（1）z=l-4z；（2）b=4,c=20.

z—321Tl—2加+47—3

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡得「三=結(jié)合「三是‘實

1+2/551+2z

數(shù)，列出方程，即可求解;

(2)根據(jù)z°=-2-4i是方程的根,得到(16-4切，―20+c—12=0,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條

件，列出方程，即可求解.

【詳解】(1)因為z=l+mi(meA),

z-3mi-2(mz-2)(1-2z)2m-2m+4.

口I得-----=------=---------------=--------1-----1,

1+2/l+2z(1+2i)(l-2z)55

7—3n7+4

又由一^是實數(shù)，可得----=0,解得帆=Y,所以z=l-4i.

1+2i5

(2)因為z0=gm+z—1=-2—4,是方程/+加+c=0(4ceR)的根，

所以(-4i-2>+伙一4i-2)+c=0,即(16—4與1—2/7+c-12=0,

(16—48=0

可得《?c，解得8=4,c=20.

-2Z?+c—12=0

【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，以及復(fù)數(shù)相等的概念求參數(shù)，其中解答中熟記

復(fù)數(shù)的除法運算法則，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查推理

與運算能力.

5.(2021?寶山區(qū)?上海交大附中高二期末)已知方程/+》+0=0有兩個根玉，%2,

peR.

(1)若|與一百=3,求實數(shù)夕的值；

(2)若M+同=3,求實數(shù)p的值.

59

【答案】(1)p=5或—2；(2)p=-2或

【分析】(1)根據(jù)韋達定理，得出M+々=-1，須％2=P，

kl一々『=|(玉+%2)2—4X闖，則可求出實數(shù)P的值；

(2)根據(jù)題意，對兩根公々進行分類討論，一是兩實根，二是一對共觸虛根，分別根據(jù)

韋達定理求出實數(shù)。的值.

【詳解】解：(1)?.?方程d+x+p=0有兩個根否，x2,

則由韋達定理知：x,+x2=-l,xix2=p,

2

I%1-x2|~=|(%)+x2)-4^%^=|l-4p|=9.

55、

??p=3或-2；

(2)①當(dāng)為,々為兩個實根，口=1-4。20,即時，

4

QxJ+聞)-=片+考+2上司=&+尤2)-

-2XJX2+2|XIX2|,

1—2/?+2|/?|—9,則〃=-2,

②當(dāng)X1,々為一對共扼虛根，口=1-40<0,即p>L時，

4

3

ill|xj+|^|=3,|x!|=|x2|,得M=5,

9

一

由韋達定理可得p=|%|一4-

9

綜上所述，p=-2或二.

4

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達定理，列出對應(yīng)關(guān)系式，其中要注意對根的

虛實情況進行討論.

6.（2021?上海市奉賢中學(xué)高二期末）已知關(guān)于x的方程f-px+25=0（〃€R）的兩根

為占、x2.

（1）若玉=3+4"求〃的值；

（2）若人—尤21=1，求實數(shù)P的值.

【答案】（1）6；（2）〃=±丁1^或0=±3而.

【分析】（1）將罰=3+4i代入方程，將復(fù)數(shù)化為一般形式，利用復(fù)數(shù)相等可求得實數(shù)P

的值；

（2）列出韋達定理，由卜一％2卜1可得出關(guān)于P的等式，由此可解得實數(shù)P的值.

【詳解】（1）已知關(guān)于%的方程￡-px+25=0（peR）的一根為玉=3+4i,

所以，（3+4i）2—〃（3+4i）+25=（18—3〃）+（24—4〃）i=0，

所以，18-3。=24-4P=0,解得p=6：

。X]+工2=P

(2)△=p2—100,由題意得《~.

xxx2=25

若ANO,即p2?100,則歸_々I=+V/_你Z=_100=1,解得

p=±VioT；

若/<0，即〃<100,由f—px+25=0,可得

(肅P2-IOOfy/wo-p2.Y

〔2)412J

解得士)+匹凡,

'22-22

則歸一百=|710°-P2-，|=JlOO-P?=1，解得p=±3而.

綜上所述，p-土Jioi或〃=±3JFT.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點：

（1）在解第一問時，可利用實系數(shù)的二次方程的兩個虛根互為共扼復(fù)數(shù)來求解;

（2）在解第二問時，應(yīng)對二次方程是否有實根進行分類討論，并結(jié)合韋達定理求解.

7.（2021?全國高―■課時練習(xí)）已知3+2,是關(guān)于x的方程2/+px+q=0的一個根，求

實數(shù)mQ的值.

P=T2,

【答案】〈

q=26.

【分析】由題得2（3+2/）2+p（3+2，）+g=0,再利用復(fù)數(shù)相等的概念分析求解.

【詳解】因為3+2/是方程2x2+px+g=0的根,

所以2(3+2/)，+〃(3+2/)+g=0,

即2(9+127-4)+(3p+2p7)+(7=0,

整理得(10+3/?+q)+(24+2p)/=0>

10+3p+q=0,

所以《

24+2p=0,

P=-12,

解得《

q=26.

a=c

【點睛】結(jié)論點睛：復(fù)數(shù)a+bi=c+di（a,b,c,deR）=<

b=d

考向五復(fù)數(shù)的三角形式

1.（2021?江蘇高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位），若a+沅=1,則

a+b2020=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)共甑復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)相等的定義求出的值，再計算〃+/02。.

【詳解】復(fù)數(shù)z=l+i,所以a+方=1=l—i，可得。=1,6=-1,

所以a+/°2。=1+(_1)2。2。=2.

故選：D

2.（2020?天津紅橋區(qū)?高一期中）已知

3(n..n\

z.=—cos——Hsin—,z,=2cos—+zsin—,則z,z=()

12I66jI332

A.iB.2zc.2V2/

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，即得答案.

【詳解】

/、

3兀71717171

cos—71+zsin—x2cos—+zsin—l=—x2

266/332(63J

=3cos—+zsin—1=3z.

22

故選：D.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法的三角表示，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2020?全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)1+/的的輻角主值是，三角形式是

【答案】一兀V/2—(cos—兀+/sin—兀)

444

【分析】求出復(fù)數(shù)的模，求出輻角的正切值.由對應(yīng)點所在位置求得復(fù)數(shù)的輻角主值，然

后可得三角形式.

【詳解】復(fù)數(shù)1+，的模是戶手=0，因為1+,對應(yīng)的點在第一象限且輻角的正切tan

0=1,

它的輻角主值為四，三角形式為：五(cos—+7sin-).

444

故答案為：一：、歷(cos—+7sin-).

444

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，考查輻角主值的概念，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2020?全國高一課時練習(xí))復(fù)數(shù)2=3卜05M+樂111《)的模是.

【答案】3

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，即可得到復(fù)數(shù)的模.

(7171)

COSy+zsinyI是三.角形式，

故Z的模是3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查由復(fù)數(shù)的三角形式，寫出模的大小，屬基礎(chǔ)題.

5.(2020?全國高一課時練習(xí))8/-r2(cos45°+zsin45°)=.

【答案】2V2+2V2z

【分析】將8i化為復(fù)數(shù)的三角形式，再利用除法法則，進行計算即可.

【詳解】

8i+2(cos450+isin450)

=8(cos90。+zsin900)4-2(cos45°+zsin450)

=4[cos(90°-45°)+zsin(90°-45°)]

=4(cos450+isin45°)

=28+2萬

故答案為：2夜+2夜八

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，注意本題中將純虛數(shù)轉(zhuǎn)化為三角

形式的細節(jié).

6.(2020?全國高一一課時練習(xí))2(cos210°+isin210°)x5(-sin30°+isin60°)=

(用代數(shù)形式表示).

【答案】50-5i

【分析】先用多項式乘法展開，再用兩角和與差的三角函數(shù)化簡，分別求出

cos330°,sin330°再整理為a+6的形式.

【詳解】解析

2(cos210°+isin2100)x5(-sin300+isin60°)

=10(cos210°+isin210°)x(cos120°+isinl200)

=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]

=10(cos330°+isin3300)=10等一gi)=5百-5i-

故答案為：56一5i.

【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，兩角和與差的三角函數(shù)，還

考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2020?全國高一課時練習(xí))64-3(cos135°+isin135°)=

【答案】一0一/

【分析】先將6轉(zhuǎn)化三角形式6(cos00+isin0。)，再用復(fù)數(shù)的除法求解.

【詳解】6+3(cos135°+isin135°)=6(cos00+isin0°)+3(cos135°+isin135°)

=2[cos(0°-l35°)+isin(0°-135°)]=2[cos(-135°)+isin(-135°)]=一".

故答案為：一五一叵.

【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化及其運算，還考查了運算求解

的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2020?全國高一課時練習(xí))(cos60°-isin240°)x6(cos30°-zsin210°)=

【答案】3z

【分析】先將不是標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后再用乘法法則計算，即可求得.

【詳解】

；(cos60°—isin240°)x6(cos300-zsin2100)

=g(cos60°+isin60°)x6(cos30°+zsin30°)

=3[cos(60°+30°)+zsin(60°+30°)]

=3(cos90°+zsin90°)

=3i.

故答案為:3z.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，注意將非標(biāo)準(zhǔn)三角形式化簡為標(biāo)準(zhǔn)三角形式.

9.(2020?全國高一課時練習(xí))-+上i+3(cosl200-isin300°)=

[22,

【答案】'_旦

66

【分析】先將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)，以及非標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)，都化為標(biāo)準(zhǔn)三角形式，再用

除法法則計算.

【詳解】

f1h、

-+—i+3(cos120。-isin300。)

<2,

-(cos60°+zsin60°)+3(cos120°+zsin120°)

=|[cos(60°-l20°)+zsin(60°-l20°)]

=1[cos(-60°)+zsin(-60°)]

=lfl烏、

1G.

=------------1

66

故答案為：J■一電i.

66

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，本題中需要將代數(shù)形式的復(fù)數(shù),

以及非標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)三角形式.

jrjr

10.（2020?全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)z=cos—+isin一是方程犬―a=o的一個根，那

么a的值等于_______.

【答案】-+^i

22

【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得a=z5,再由復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則即可得解.

jrn

【詳解】因為復(fù)數(shù)2=<?$:+isin二是方程N一￡=（）的一個根，

式..萬丫71..7116

所以a=z5cos—4-zsin—=cos—+ZS10——H------1

15)3322

故答案為：_L+走晨

22

【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)三角形式乘方法則的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2020?全國高一課時練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)t.對應(yīng)的向量繞原點。按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)45°,所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則復(fù)數(shù)z是.（用代數(shù)形式表

示）.

【答案】z=變—正i

22

【分析】把與復(fù)數(shù)5對應(yīng)的向量繞原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到2=（COS45°

+75-77745°）X（-7）,再把三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式運算即可.

V2V2.

【詳解】由題意得Z二(cos45°+isin45°)x(一i)1

22

V2V2

故答案為:z-------

2

【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化及其運算，還考查了運算求解的

能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2020?全國高一課時練習(xí))復(fù)平面內(nèi)向量而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,/點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

-1，現(xiàn)將而繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的向量為前，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

【答案】-27

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義求得C對應(yīng)的復(fù)數(shù).

【詳解】由于向量而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,而A(-1,0),現(xiàn)將而繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)

90。后得到的向量為前，所以C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i〉(—i)—1=—2i.

故答案為：-2i

【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2020?全國高一課時練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，等腰直角三角形OZZ?以O(shè)Z2為斜邊(其

中。為坐標(biāo)原點)，若Z?對應(yīng)的復(fù)數(shù)Z2=l+gi，則直角頂點Z1對應(yīng)的復(fù)數(shù)4=

1+^3y/3—1.P,1—1+>/3.

【答案】+1或+1

2----2--------2-------2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義由Z2=l+6i，得到忤|=2,點Z2的坐標(biāo)為設(shè)

點Z1的坐標(biāo)為(x,y),再根據(jù)三角形OZZ2是以O(shè)N2為斜邊的等腰直角三角形，則有

西上衣西卜與I西1=0,再運算求解..

【詳解】因為Z2=l+Gi，

所以同=2,點Z2的坐標(biāo)為(1,6).

設(shè)點Z1的坐標(biāo)為（x,y）,

則Z2Z]

由題意得，西J.空西卜辛|區(qū)]

V2，

x2+y2=2

以x(x-l)+y(y-^j=O'

1+V31-5/3

x=x=

22

解得，或＜

5/3-il+G

y=y=

22

所以復(fù)數(shù)馬=—或工上與

2222

故答案為Y=T+怨，.或1+￥八

【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,

屬于中檔題.

四、解答題

14.（2020?全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化:

（1）-1+V3Z;

5萬..5萬

(2)2cos——+zsin——

66

【答案】（1）2(cos—+zsin—.(2)-V3+Z

33

【分析】（I）先求得模長，以及輻角主值，再寫出三角形式即可;

（2）將三角形式