高一一數(shù)學校本課程趣味數(shù)學

《趣味數(shù)學》書目

第1課時集合中的趣題一“集合”與“模糊數(shù)學............2

第2課時函數(shù)中的趣題——份購房合同....................3

第3課時函數(shù)中的趣題一孫悟空大戰(zhàn)牛魔王................4

第4課時三角函數(shù)的趣題一直角三角形....................6

第5課時三角函數(shù)的趣題一月平均氣溫問題................7

第6課時數(shù)列中的趣題一柯克曼女生問題..................9

第7課時數(shù)列中的趣題一數(shù)列的應用......................11

第8課時不等式性質(zhì)應用趣題一兩邊夾不等式的推廣與趣例……13

第9課時不等式性質(zhì)應用趣題一均值不等式的應用............15

第10課時立體幾何趣題一正多面體拼接構(gòu)成新多面風光數(shù)問題…16

第11課時立體幾何趣題一球在平面上的投影...................19

12課時解析幾何中的趣題一奇妙的莫比烏斯圈.................21

13課時解析幾何中的趣題一最短途問題.......................22

14課時排列組合中的趣題一抽屜原理.........................23

15課時排列組合中的趣題一摸球嬉戲.........................24

第16課時概率中的趣題......................................25

第17課時簡易邏輯中的趣題..................................28

第18課時解數(shù)學題的策略................................31

第1課時集合中的趣題一一

“集合”與“模糊數(shù)學”

教學要求：啟發(fā)學生能夠發(fā)覺問題和提出問題，擅長獨立思索，學會分析問題和創(chuàng)

建地解決問題；

教學過程：

一、情境引入

1965年，美國數(shù)學家扎德發(fā)表論文《模糊集合》，開拓了一門新的數(shù)學分支一一

模糊數(shù)

學。

二、實例嘗試，探求新知

模糊數(shù)學是經(jīng)典集合概念的推廣。在經(jīng)典集合論當中，每一個集合都必需由確

定的元素構(gòu)成，元素對于集合的隸屬關系是明確的，這一性質(zhì)可以用特征函數(shù)：

心(6=匕二：來描述。扎德將特征函數(shù)力八⑶改成所謂的“隸屬函數(shù)”

〃八(x)：04〃e)4L，這里A稱為“模糊函數(shù)"，為(x)稱為X對A的“隸屬度”。

經(jīng)典集合論要求隸屬度只能取0,1二值，模糊集合論則突破了這一限制，

4(x)=l時表示百分之百隸屬于A；〃<x)=O時表示不屬于A還可以有百分之二十隸

屬于A,百分之八十不隸屬于A……等等，這些模糊集合為對由于外延模糊而導致的

事物是非推斷上的上的不確性供應了數(shù)學描述。由于集合論是現(xiàn)代數(shù)學的重基石，

因此,模糊數(shù)學的概念對數(shù)學產(chǎn)生了廣泛的影晌，人們將模糊集合引進數(shù)學的各個分

支，從而出現(xiàn)了模糊拓撲、模糊群論、模糊測度與積分、模糊圖論等等，它們一起

形成通常所稱的模糊數(shù)學，模糊數(shù)學是20世紀數(shù)學發(fā)展中的新新事物，它在理論

上還不夠成熟，方法上也未臻統(tǒng)一，它將隨著計算機科學的發(fā)展而進一步發(fā)展。

例1、學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參與，又舉辦了一次球

類運動會，這個班有12名同學參與，則這兩次運動會這個班共有多少名同學參賽？

⑴假如有5名同學兩次運動會都參與了，問這兩次運動會這個班共有多少名同

學參賽？

⑵假如每一位同學都只參與一次運動會，問這兩次運動會這個班共有多少名同

學參賽？

解析：可能有的同學兩次運動會都參與了，因此，不能簡潔地用加法解決這個

問題。

（1）因為這5名同學在統(tǒng)計人數(shù)時，計算了兩次，所以要減

去.8+12-5=15.

（2）8+12=20.這兩次運動會這個班共有20名同學參賽.

三、本課小結(jié)

通過“模糊數(shù)學”了解到數(shù)學的發(fā)展是靠堅忍不拔的意志，實事求是的科學學

習看法和勇于創(chuàng)新的精神而進步的。

四、作業(yè)

下列各組對象能否形成集合？（1）高一年級全體男生；（2）高一年級全體高

個子男生；（3）全部數(shù)學難題；（4）不等式x+2>0的解；

第2課時函數(shù)中的趣題——

一份購房合同

教學要求：能利用一次函數(shù)與其圖象解決簡潔的實際問題，發(fā)展學生數(shù)學應用實力.

教學過程：

一、情境引入

最早把〃函數(shù)〃（）這個詞用作數(shù)學術語的數(shù)學家是萊布尼茨（，1646-1716,

德國數(shù)學家），但其含義和現(xiàn)在不同，他把函數(shù)看成是〃像曲線上點的橫坐標、縱坐

標、切線長度、垂線長度等全部與曲線上的點有關的量〃.1718年，瑞士數(shù)學家約

翰。貝努利（，1667-1748,歐拉的數(shù)學老師）將函數(shù)概念公式化，給出了函數(shù)的

一個定義，同時第一次運用了“變量〃這個詞。他寫到：”變量的函數(shù)就是變量和變量

以任何方式組成的量?！八膶W生，瑞士數(shù)學家歐拉（，1707-1783,被稱為歷史上

最“多產(chǎn)〃的數(shù)學家）將約翰。貝努利的思想進一步解析化，他在《無限小分析引論》

中將函數(shù)定義為：”變量的函數(shù)是一個由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成的解析表

達式〃，歐拉的函數(shù)定義在18世紀后期占據(jù)了統(tǒng)治地位。

二、實例嘗試，探求新知

例1、陳老師急匆忙的找我看一份合同，是一份下午要簽字的購房合同。內(nèi)容

是陳老師購買安居工程集資房72m2,單價為每平方米1000元，一次性國家財政補貼

28800元，學校補貼14400元，余款由個人負擔。房地產(chǎn)開發(fā)公司對老師實行分期

付款，每期為一年，等額付款，分付10次，10年后付清，年利率為7.5%房地產(chǎn)

開發(fā)公司要求陳老師每年付款4200元，但陳老師不知這個數(shù)是怎樣的到的。同學們

你們能幫陳老師算一算么？

解析：陳老師說自己到銀行詢問，對方說算法是假設每一年付款為a元,則10

年后第一年付款的本利和為L0751元，同樣的方法算得其次年付款的本利和為

1.0758a元、第三年為L0757a元，…,第十年為a元，然后把這10個本利和加起

來等于余額部分按年利率為7.5%計算10年的本利，即1.0759l.0758l.0757-=(72

X1000-28800-14400)X1.075、解得的a的值即為每年應付的款額。他不能理解的

是自己若按時付款，為何每期的付款還要計算利息？我說銀行的算法是正確的。但

不妨用這種方法來說明：假設你沒有履行合同，即沒有按年付每期的款額，且10

年中一次都不付款，則第一年應付的款額a元到第10年付款時，你不僅要付本金a

元，還要付a元所產(chǎn)生的利息，共為L0759a元，同樣，其次年應付的款額a元到

第10年付款時應付金額為L0751元，第三年為1.0757a元，…，第十年為a元，

而這十年中你一次都沒付款，與你應付余款72X1000-28800-14400在10年后一次

付清時的本息是相等的。仍得到1.07591.07581.0757-=(72X1000-28800-14400)

X1.075Kl.用這種方法計算的a值即為你每年應付的款額。

例2、經(jīng)調(diào)查得知，若我們把每日租金定價為160元，則可客滿；而租金每漲20元,

就會失去3位客人。每間住了人的客房每日所需服務、修理等項支出共計40元。我

們該如何定價才能賺最多的錢？

解析：日租金360元。雖然比客滿價高出200元，因此失去30位客人，但余下

的50位客人還是能給我們帶來360*50=18000元的收入；扣除50間房的支出

40*50=2000元,每日凈賺16000元。而客滿時凈利潤只有160*80-40*80=9600元

三、本課小結(jié)

通過本課學習我們相識到，生活是多面的，我們在探討一個問題時，可以多角

度、多層次的思索，如若正面不行，亦可利用反面思索

四、作業(yè)

家用冰箱運用的氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層.臭氧含量。呈指數(shù)函

數(shù)型變更，滿意關系式。=?！?。頡5，，其中心是臭氧的初始量，f是所經(jīng)過的時間.

1）隨時間的增加，臭氧的含量是增加還是削減？

2）多少年后將會有一半的臭氧消逝？

第3課時函數(shù)中的趣題一一

孫悟空大戰(zhàn)牛魔王

教學要求：體會數(shù)學在實際問題中的應用價值.

教學過程：

一、故事引入

孫悟空大戰(zhàn)牛魔王。牛魔王不是孫悟空的對手，力倦神疲，敗陣而逃?？墒牵?/p>

牛魔王不簡潔，他會變。他見悟空緊緊追逐，便隨身變成一只白鶴，騰空飛去。悟

空一見，馬上變成一只丹鳳，緊追上去。牛魔王一想：鳳是百鳥之王，我這只白鶴

那里斗得過這個丹鳳？！他無可奈何，只好飛下山崖，變作一只香獐，裝著悠然的

樣子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混過我老孫的火眼金睛！他立刻

變作一只餓虎，猛撲過去。牛魔王心慌，趕快變了個獅子，來擒拿餓虎。悟空看得

分明，就地一滾，變成一只巨象，撒開長鼻，去卷那頭獅子。牛魔王拿出絕技，現(xiàn)

出原形，原來是一頭大白牛。這白牛兩角堅似鐵塔，身高八千余丈，力大無窮。他

對悟空說：“你還能把我怎樣？”只見悟空彎腰躬身，大喝一聲“長”！馬上身高

萬丈，手持大鐵棒朝牛魔王打去。牛魔王見勢不妙，只好復了本象相，連忙逃去。

孫悟空與牛魔王殺得震天動地，驚動了天上的眾神，前來幫助圍困牛魔王。牛魔王

困獸猶斗，又變成一頭大白牛，用鐵角猛頂托塔天王，被哪吒用火輪燒得大聲吼叫，

最終被天王用照妖鏡照定，動彈不得，只得連聲求饒，獻出芭蕉扇，扇滅火焰山烈

火，唐僧四人翻越山嶺，接著往西天取經(jīng)

二、實例嘗試，探求新知

這段故事很吸引人，而且它和初中代數(shù)中所學的函數(shù)概念有關。

首先，就從這個“變”字談起。孫悟空和牛魔王都神通廣闊，都能變。他們能

變飛禽、走獸；大喝一聲，身軀能“頂天立地”，也可變成一個小蟲兒。當然，這

些都是神話，不是真情實事。不過，世界上一切事物的確無有不在變更著的。既然

物質(zhì)在變更，表示它們量的大小的數(shù)，自然也要隨著而變更了。這就告知我們，要

從變更的觀點來探討數(shù)和量以與它們之間的關系。

其次，我們再來看一看，是不是全部的量在任何狀況下，都始終變更著的呢？

不是的。探討問題的某個特定過程中，在確定的范圍內(nèi)，有的數(shù)量是保持不變的。

或者，雖然它也在變，但變更微小，我們把它看成是不變的。還是用唐僧師徒來做

例子。孫悟空的本領最大，能七十二變；唐僧最沒用，一點也不會變，所以妖怪一

看就認得他。都想吃他的肉。在代數(shù)中，把探討某一問題過程中不斷變更著的量叫

做變量，孫悟空就好象是一個“變量”；把確定范圍內(nèi)保持不變的量叫做常量，唐

僧就好象是一個“常量”。

例1、1202年，意大利比薩的數(shù)學家斐波那契（約1170年?約1250年）在他所著的

《算盤書》里提出了這樣一個好玩的問題：假定1對一雌一雄的大兔，每月能生一

雌一雄的1對小兔，每對小兔過兩個月就能長成大兔。貝若年初時有1對小兔，

按上面的規(guī)律繁殖，并且不發(fā)生死亡等意外狀況，1年后將有多少對兔子？

解析：第一個月時，有小兔1對；其次個月時，小兔還沒有長大，因此兔子數(shù)

仍是1對；第三個月時，小兔已長成大兔，并且生下1對小兔，這時兔子數(shù)是2對;

第四個月時，原來的兔子又生了1對小兔，但上個月剛生的小兔尚未成熟，這時兔

子數(shù)是3對；第五個月時，原來的兔子又生了1對小兔，第三個月誕生的小兔這時

也已長大并且也生了1對小兔，因此共有兔子5對；始終這樣推算下去，可以得到

下面的表：假如細致視察，就不難發(fā)覺其中的規(guī)律：從第三個月份起，每個月的兔

子對數(shù)都是前兩個月的兔子對數(shù)之

和。表中兔子對數(shù)構(gòu)成的一列數(shù)1,1,2,3,5,8…就稱為斐波那契數(shù)列。斐波那

契數(shù)列有很好玩的性質(zhì)和重要的應用。

例2、某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結(jié)600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹

以提高產(chǎn)量，但是假如多種樹,則樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會削減.

依據(jù)閱歷估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子.

解析：假設果園增種x棵橙子樹，果園橙子的總產(chǎn)量為丫(個)，依題意，果園共

有(100)棵樹,平均每棵樹結(jié)(600-5x)個橙子.

(100)(600-5x)5x2+10060000.5(10)*2+60500

即種：100+10=110棵時，產(chǎn)量最高是：60500

三、本課小結(jié)

通過本課學習我們知道了，不僅《西游記》和我們的數(shù)學還很有關系其實，只

要我們留意，到處都充溢著數(shù)學的原理。

四、作業(yè)

某市20名下崗職工在近郊承包50畝土地辦農(nóng)場這些地可種蔬菜、煙葉或小麥,

種這幾種農(nóng)作物每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預料如下表：

作物品種每畝地所需職工數(shù)每畝地預料產(chǎn)值

蔬菜1/21100元

煙葉1/3750元

小麥1/4600元

請你設計一個種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物，20名職工都有工作，且使農(nóng)作物

預料總產(chǎn)值最多。（設工人數(shù)）

第4課時三角函數(shù)的趣題一

直角三角形

教學要求：探究直角三角形在生活中應用，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中

的應用。

教學過程：

一、情境引入

直角三角形就像一個萬花筒，為我們呈現(xiàn)出了一個色調(diào)斑瀾的世界.我們在觀賞

了它奇妙的“勾股”、知道了它的邊的關系后，接著又為我們呈現(xiàn)了在它的世界中的

邊角關系，它使我們現(xiàn)實生活中不行能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程

等測量問題中有著廣泛應用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.

二、例題分析

例1、海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，起先

在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西25°的C處，

之后，貨輪接著往東航行，你認為貨輪接著向東航行途中會有觸礁的危急嗎

解析：過A作的垂線，交于點D.得到△和△,從而

55°,=25°,由=,又=20海里.得

55°25°=20.

（55°25°）=20,

-----------------g20.79（海里）.

tan55°-tan25°

這樣心20.79海里〉10海里，所以貨輪沒有觸礁的危急

例2、如圖，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B

處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必需馬上卸貨.此時.接到氣象部門通知，一臺風

中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風中心200海里的

圓形區(qū)域（包括邊界）均受到影響.

（1）問：B處是否會受到臺風的影響請說明理由.

（2）為避開受到臺風的影響，該船應在多少小時內(nèi)卸完貨物

解析：（1）過點B作_L.垂足為D.

依題意，得N=30°,在△中，ilx20X16=160<200,

22

，B處會受到臺風影響.

（2）以點B為圓心，200海里為半徑畫圓交于E、F,由勾股定理可求得120.

160VL

160a-120,

.?.⑹"°=3.8（小時）.

40

因此，陵船應在3.8小時內(nèi)卸完貨物.

練習：一個人從山底爬到山頂，需先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100m,

求山高.（結(jié)果精確到0.01m）

三、本課小結(jié)

本節(jié)課我們運用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關的實際問題，提高了我們分

析和

解決實際問題的實力.

四、作業(yè)

如圖，△是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡的長為12m,它的坡角為45°,為了

提高該堤的防洪實力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡，求的長.（結(jié)果保留

根號）

第5課時三角函數(shù)的趣題一

月平均氣溫問題

教學要求：選擇生活中學生感愛好的題材，使學生能主動參與數(shù)學活動，提高學習

數(shù)學、學好數(shù)學的欲望.

教學過程：

一、談話導入

數(shù)學的應用，隨著人類的進步和科技的發(fā)展，已經(jīng)滲透到社會的各個方面，“數(shù)

學已無處不在”。下面我們看看三角函數(shù)在生活中有哪些應用。

二、典例分析

例1、受日月的引力，海水會發(fā)生漲落，這種現(xiàn)象叫做潮汐，在通常狀況下，船在

漲潮時駛進航道，靠近船塢，卸貨后落潮時返回海洋，某港口水的深度y（米）是

時間t（。”424,單位：時）的函數(shù)，記作（t）,下面是該港口在某季節(jié)每天水深的

數(shù)據(jù)。

t（時）24

y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0

依據(jù)數(shù)據(jù)求出⑴的擬合函數(shù)，,Tgp"。，一般狀況下，船舶航行時，船

底離海底的距離為5米或5米以上時，認為是平安的（船舶?？繒r，船底只需不碰

海底即可），某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5米，假如該船想在同一天

內(nèi)平安進出港，問它至多能在港內(nèi)停留多少時間？（忽視進出港所需時間）

解析：依題意，該船進出港時，水深應不小于5+6.5=11.5米，3皿/"1,

血三弓，2"+"*'次"3,得12msi2*+即=），在同一天內(nèi)，取0或w

或13￡”17,所以該船最早能在凌晨1時進港，下午17時

退出，在港口內(nèi)最多停留16小時。

例2、某工廠因生產(chǎn)須要，要生產(chǎn)1200個如圖形態(tài)的三角形鐵片，已知在4ABC

中，樂祖….勺問要生產(chǎn)這些三角形鐵片共須要鐵片的面積（精

確到I2）.

解析：AA=華，①(AA)z=+

1

:.2AA=一五0°<A<180°,A>0,A<0.

3

(AA)\I.AA=T,

V6-

AA=^2~.②

①+②，得人=-4,

S.C?乂B”ir>4=:x2x3xY”;VF.=3("\/2-t-V6)(cm^).

要生產(chǎn)這些三角形鐵片共須要鐵片的面積為：1皿劍2+V6)?3477(cm2).

答：所以要生產(chǎn)這些三角形鐵片共須要鐵片的面積約34772.

三、本課小結(jié)

三角函數(shù)不但應用于數(shù)學的各個分支，也廣泛應用于其他的學科與社會生產(chǎn)實

踐中，.在實際生活中，也會常常遇到一些須要運用三角函數(shù)來解決的問題,特殊是

一些線段的度量和角的計算等問題我們要敏捷運用

四、作業(yè)

把一段半徑為R的圓木，鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法，才能使橫截面

積最大？

第6課時數(shù)列中的趣題一

柯克曼女生問題

教學要求：通過有關數(shù)列實際應用的介紹，激發(fā)學生學習探討數(shù)列的主動性.

教學過程：

一、問題引入：

有一個學校有15個女生，她們每天要做三人行的漫步，要使每個女生在一周內(nèi)的

每天做三人行漫步時，與其她同學在組成三人小組同行時，彼此只有一次相遇在同

一小組，應怎樣支配?

二、典例分析

例1、大樓共〃層，現(xiàn)每層指定一人，共〃人集中到設在第4層的臨時會議室開會,

問A如何確定能使〃位參與人員上、下樓梯所走的路程總和最短。(假定相鄰兩層樓

梯長相等)

分析：設相鄰兩層樓梯長為a,則

分〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)兩類探討.

例2、某地區(qū)荒山2200畝，從1995年起先每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹

100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝.

(1)若所植樹全部都成活，則到哪一年可將荒山全部綠化

(2)若每畝所植樹苗、木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%,

則全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為S,求S的表達式.

(3)若1.28-4.3,計算S(精確到1立方米).

分析：由題意可知，各年植樹畝數(shù)為：100,150,200,……成等差數(shù)列

三、本課小潔：下面回到課前問題，設15位女生用下面15個符號表示：X,

al,a2,bl,b2,cl,c2,dl,d2,el,e2,fl,f2,gl2;將它們

排成七行，每天五個三人行小組(共十五人)，使x處于七行中的最前一位置上：

(12);(12);(12);(12);(12);(12);(12).

于是只須安排14個元素，再每一行中，后繼三人行小組，即對有下標的七個

元素a,b,c,d,e,f,g進行三元素組合，填入每行，但每個字母只許出

項兩次。即

現(xiàn)在來填下標，假如在同一行中，可以有兩個相同字母，例如在第三行中中，b

出現(xiàn)兩次，可標上不同的腳標bl2;若每一個“三人行”，有兩個腳標已定，則在同

一行，別的三人行組不能再用；若不是由兩種原則定出腳標，就定為1。得到解：

(12),(bill),(b211),(cl22),(c222);

:(12),(al22),(a222),(cl11),(c211);

:(12),(alll),(a211),(bl22),(b222);

:(12),(al22),(a221),(b212),(cl21);

:(12),(alll),(a212),(b212),(c221)

:(12),(al21),(a221),(bl21),(c212);

:(12),(al12),(a212),(b221),(cl12)

三、作業(yè)

某林場有荒山3250畝，從96年起先，每年春季在荒山上植樹造林，第一年植

100畝，支配以后每年比上一年多植樹50畝(假定全部成活).

(1)需幾年可將此荒山全部綠化.

(2)已知新植樹苗每畝木材量為2m3樹木每年的自然增長率為10%,設荒山全部綠

化后的年底木材總量為S,求S的最簡表達式

第7課時數(shù)列中的趣題一

數(shù)列的應用

教學要求：培育學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)建實力。它要求老師給學生供應探討的問題與

背景，讓學生自主探究學問的發(fā)生發(fā)展過程

教學過程：

一、詩詞引入

先由杜甫的詩《絕句》引出課題，每一句都與數(shù)有關系。再由一些生活中的例子

進一步探究數(shù)列的定義與其蘊含的數(shù)量關系

二、典例分析

例1、、有一序列圖形P⑵…….已知巴是邊長為1的等邊三角形，將R的每條邊三等

分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得

…?.，將?的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形,

再將中間部分的線段去掉得試分別求的周長和面積.

解析：這序列圖形的邊數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為：3,3X4,3X42,...,3X4”1..；

它們的邊長構(gòu)成的數(shù)列為：斗看…,擊，….

S2比&多3個面積為凡的正三角形.即

9

例2.在E1000,2000］內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個？

解析：不妨設%=3”,b,“=4〃?+1(m,nGN*),

則｛｝為｛｝與｛｝的公共項構(gòu)成的等差數(shù)列(1000WW2000)

=，即：341令3,則2且有上式可知：12

，9+12(p1)(pN)

711

由1000WW2000解得：83—</?<166—

1212

取84、85、...、166共83項。

三、本課小結(jié)

依據(jù)數(shù)列的定義和前面所學的函數(shù)關系，由學生自己通過聯(lián)想、類比、對比、

歸納的方法遷移到新情境中，將新的學問內(nèi)化到學生原有的認知結(jié)構(gòu)中去。

四、作業(yè)

1.一梯形兩底邊長分別為1222,將梯形一腰10等分，經(jīng)過每分點作平行于底邊的

直線，求這些直線夾在梯形兩腰間的線段的長度和.

2.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場的要求雜質(zhì)含量不能超過0.1%若初時含雜質(zhì)

0.2%,每過濾一次可使雜質(zhì)削減工，問至少過濾多少次才能使產(chǎn)品達到市場的要求

3

第8課時不等式性質(zhì)應用趣題一

“兩邊夾不等式”的推廣與趣例

教學要求：理解“兩邊夾不等式”的推廣與應用

教學過程：

一、情境引入

大家都熟知等比定理：若g=￡,則@="￡=￡。若將條件中的等式改為不

bdbb+dd

等式，如幺＜￡,則結(jié)論如何呢課本上有這樣一道練習：己知a,O,c,d都是正數(shù)，且

bd

bc＞ad,則@＜土上＜￡（中學數(shù)學其次冊（上）（人教版）），在平常的教學過程中，

bb+dd

稍不留意，其豐富的內(nèi)涵和探討價值便被忽視了。下面為了說明問題的便利，稱不

等式@＜穿＜二為兩邊夾不等式。當然這個不等式的證明是簡潔的，而探討

這個不等式卻別有一番風味.對該不等式的探討是從它的一個簡潔應用起先的.

二、“兩邊夾不等式”理解推廣

1、兩邊夾不等式的兩種理解

解：（1）實際意義的理解：有同種溶液（如糖水）A、B,已知溶液A的濃度為巴，溶

b

液B的濃度現(xiàn)將兩種溶液混合成溶液C,此時溶液濃度為土上，由日常生活

db+d

閱歷知道有

bb+dd

（2）幾何意義的理解：由分式聯(lián)

想到直線的斜率，設

0A=（b,a）,OB=（d,c）則直線、斜

率分別是q,-（如圖1）,則

bd

OA+OB^（b+d,a+c）,它表示圖中

的。a明顯直線的斜率介于、的斜

進一步探討我們還可以得到更多的結(jié)論，如麗=。么+20月=S+2乩a+2c）得到

不等式0<土吆￡<￡,仿此還可到幾個不等式鏈：

bb+2dd

/八。a+ca+2ca+3ca+ncc

Cl)—<---<-----<----<???<-----<???<—

hb+db+2db+3db+ndd

xaQ+C2Q+C3a+Cna-\-cc

(/2n)—<---<-----<----<,??<-----<???<一

bb+d2b+d3b+dnb+dd

(3)-<+<..■<-(其中九〃eN*)

bmb+ndd

2.兩邊夾不等式的一個簡潔應用

練習1、利用此不等式，可以輕松地證明下面這個經(jīng)典不等式：已知a,瓦加都

是正數(shù)，且a<b,求證：巴<絲~

bh+m

分析：:.q<i='，由兩邊夾不等式馬上得@<史”.

bmbb+m

3.兩個有意義的推廣

推論1(等比定理的推廣)：已知a,,4€/?+(;1,2,3,…，n),若立<竺

仇b2bn

則包<旦_<”。

i=I

利用兩邊夾不等式可以簡潔得到證明，這里從略。

由于分數(shù)的分子分母同乘以一個非零實數(shù)，分數(shù)的值不變，則將g與工的分子

ha

分母各乘以非零實數(shù)％,%又有什么結(jié)論呢

推論2(一般性推廣)：若正數(shù)a,。,c,d與非零實數(shù)4，〃滿意0<￡,則

hd

+4c

一a<------—<c—

b+A2dd

'"F日日a4]ac42cac

1:,廠布廠行，~b<~d

：.由兩邊夾不等式馬上得￡<”<￡

b4匕+42dd

練習2、無限夾數(shù)嬉戲

(1)給你隨意兩個正分數(shù)，你能寫出大小介于它們之間的一些數(shù)嗎

如！與_1,,與2,2與_1等。

323552

依據(jù)兩邊夾不等式可以得到

2介于工與L之間，

532

3介于'與2之間，

835

3介于2與1之間。

752

三、本節(jié)小結(jié)：本節(jié)主要講了兩邊夾不等式幾何意義理解與兩種推廣。

四、作業(yè)：探求“黃金分割數(shù)”

在0、1之間用兩邊夾不等式可以依次寫出一些數(shù)，寫這些數(shù)時按以下的

規(guī)律進行：第一個數(shù)為此時得到兩個區(qū)間Al=（0,；）,Bl=（；,l）在區(qū)間

Bl內(nèi)利用兩邊夾不等式得到其次個數(shù)a2=-；此時a2又將區(qū)間B1分成兩個區(qū)間

3

A2=（L2）2=（2,I）在區(qū)間A2中利用兩邊夾不等式得到第三個數(shù)2,依此類推，可以

2335

得到數(shù)列｛%｝,數(shù)列｛%｝的極限稱為黃金分割數(shù)，求此極限。（1皿%=墾1）

2

第9課時不等式性質(zhì)應用趣題一

均值不等式的應用

教學要求：了解均值不等式在日常生活中的應用

教學過程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不

等式。前兩類不等式的應用與其對應函數(shù)與方程的應用如出一轍，而平均值不等式

在生產(chǎn)生活中起到了不容忽視的作用。下面，我主要談一下均值不等式和均值定理

的應用。

在生產(chǎn)和建設中，很多與最優(yōu)化設計相關的實際問題通常可應用平均值不等式來解

決。平均值不等式學問在日常生活中的應用，筆者雖未親身經(jīng)驗，但從電視、報紙

等新聞媒體與我們所做的應用題中不難發(fā)覺，均值不等式和極值定理通?？捎腥缦?/p>

幾方面的極其重要的應用：（表后重點分析“包裝罐設計”問題）

實踐活動已知條件最優(yōu)方案解決方法

設計花壇綠地周長或斜邊面積最大極值定理一

經(jīng)營成本各項費用單價與銷售量成本最低函數(shù)、極值定理二

車船票價設計航行里程、限載人數(shù)、票價最低用極值定理二求出

速度、各項費用與相應最低成本，再由此

比例關系計算出最低票價

（票價=最低票價++平均利潤）

例1、包裝罐設計問題

1、“白貓”洗衣粉桶

“白貓”洗衣粉桶的形態(tài)是等邊圓柱（如右圖所示），

若容積確定且底面與側(cè)面厚度一樣，問高與底面半徑是

什么關系時用料最?。幢砻娣e最?。?？

分析：容積確定=>”「（定值）

=>2Jir+2JI2JI（r）=2JI（r22）

22JI3（rh）/4=32JIV（當且僅當r2=〉2r時取等號），

,應設計為的等邊圓柱體.

例2、“易拉罐”問題

圓柱體上下第半徑為R,高為h,若體積為定值V,且上下底

厚度為側(cè)面厚度的二倍，問高與底面半徑是什么關系時用料最

?。幢砻娣e最小）？

分析：應用均值定理，同理可得2d（計算過程請讀者自己

寫此本文從略）.?.應設計為2d的圓柱體.

第10課時立體幾何趣題一一

正多面體拼接構(gòu)成新多面風光數(shù)問題

教學要求：訓練學生空間想象實力，動手動腦實力，提高學習數(shù)學愛好

教學過程：

一、問題提出

在《數(shù)學（高二下冊）》“立體幾何多面體”一節(jié)的課堂教學中，老師給出了一

道例題：“已知一個正四面體和一個正八面體的棱長都相等，把它們拼接起采，使一

個表面重合，所得的新多面體有多少個面”對于這個問題學生們表現(xiàn)出了極大的愛

好.他們通過直觀感知，提出了自己的看法：正四面體和正八面體共12個面，兩者

各有一個面重疊，因此削減兩個面，所以重合之后的新多面體有10個面.

二、故事介紹

老師乘著學生深厚的愛好講了一個與這道例題有關的故事.多年前美國的一次

數(shù)學競賽中有這樣一道題：一個正三棱錐和一個正四棱錐，全部棱長都相等，問重

合一個面后還有幾個面高校教授給這道競賽題的參考答案是7個面，他們認為正三

棱錐和正四棱錐共9個面，兩者各有一個面重疊，削減兩個面，所以重合之后還

有7個面。但佛羅里達州的一名參賽學生丹尼爾的答案是5個面，與參考答案不合

而被判錯誤，對此丹尼爾始終有所懷疑，于是他動手拼接了符合題意的正三棱錐和

正四棱錐實物模型，結(jié)果正如他所推斷的只有5個面；他將自己的結(jié)論和實物模型

提交給競賽組委會，教授們接受了他的想法并改正了這道題的答案。

三、操作確認

故事講完后學生馬上對丹尼爾的結(jié)論進行了激烈地探討.于是老師建議：請同

學們拿出課前分組做出上述兩個問題的實物模型，通過自己的操作（模型組合）來確

認自己的結(jié)論.學生展示大小不一的實物模型.老師讓每個組的學生代表在講臺上

演示實物模型的組合過程.通過視察、探討，全班同學明白丹尼爾結(jié)論的緣由所在.同

時也視察到了正四面體和正八面體重合之后新多面體只有七個面，這與學生們在上

一節(jié)課通過直觀感知所得的結(jié)論是不一樣的。緣由在于他們發(fā)覺在重合過程中正四

面體和正八面體另有兩個側(cè)面分別拼接成一個面了.

四、思辯論證

老師要求學生利用立體幾何的相關學

A

問，對操作實物模型得出的結(jié)論進行證明。

學生比照實物模型提出了證明思路：將正八

面體和正四面體拼接的兩個側(cè)面想象成兩

個半平面拼接成一個平面即表示這兩個半

平面所構(gòu)成的二面角為180。.證明如下：如

圖1,在正八面體中，連結(jié)交平面于點0.設

正八面體的棱長為1,的中點為D,連結(jié)、，

易得/為二面角A—-C的平面角。322、口^="由余弦定理得COSNADC=」。

2V443

仿上可求得正四面體鄰棱所成的二面角。的余弦值為工。

3

由上可知6+/4OC=180",因此新多面體是七面體。

五、問題擴展

理論證明的給出進一步完善了學生對問題的全面理解，同時也激發(fā)了學生的多向思

維.證明結(jié)結(jié)束后，馬上就有學生向老師提出了問題：假如再拼一個同樣的正四面

體，又有多少個，又有多少個面呢？面對學生的問題，老師馬上利用學生的實物模

型進行操作確認，從而發(fā)覺新多面體的面數(shù)并不確定，而是依靠于拼接四面體在八

面體上的位置.進一步，當拼接更多的四面體時問題更困難了，但卻激發(fā)了學生更

大的愛好.在激烈地爭辯中，師生的思索一度陷入僵局.余是老師提出能否看看不

同狀況下新多面體可能新多面體最少面數(shù).這一問題得到了學生的認可，新一輪實

物模型的操作確認起先，很快學生得出了結(jié)論：當兩個正四面體時，新多面體最少

為6個面，構(gòu)成一個六面體（如圖2）.

當拼接三個正四面體時，新多面體最少為5個面，構(gòu)成一個棱臺如圖（3）.

當拼接四個正四面體時，新多面體最少為4個面構(gòu)成一個正四面體（如圖4）.

本節(jié)小結(jié)：學習數(shù)學不要只靠我們的直覺，而要有推理論證檢驗。

第11課時立體幾何趣題一一

球在平面上的投影

教學要求：明白球在不同光照下的投影

教學過程:

放在水平面上的球與水平面切于點A,一束光線投射

到球上，則球的影子的輪廓是什么曲線切點A與輪

廓曲線的關系又是什么

一、平行光線下球的投影

放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點

止，與水平面所成角為a（々工90。）的太陽光投射到球上，則球在水平面上的投影是

以A為一個焦點的橢圓.

分析：明顯，當太陽光垂直于水平面，即a=90“時，球在水平面上的投影是以

為A圓心，R為半徑的圓；當0。<q<90。時，球在水平面上的投影是以A為一個焦

點的橢圓，如圖1.

如圖1所示，與球面相切的光線構(gòu)成一個圓柱面，與球切于圓0,則光線在水

平面上的投影，可以看成圓柱面與水平面的交線『設與水平面平行且與球相切的

平面/與球相切于點D,與圓柱面的交線為小P為4上的隨意一點，經(jīng)過點P的光

線為‘，（P\為光線與平面/的交點），且與球相切于點C,過點D作與光線平行

2R

的直線交水平面于點B,連結(jié)，易知，’C,,即知‘,又石為確定值，則知點P

2R

在以為焦點，長軸長為盛工的橢圓上，

二、點光源下的球的投影

放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點A,與水平面距離為h的點光源S（S

在球面外）投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為一個焦點的圓錐曲線或以A

為圓心的圓，且其形態(tài)與大小與光源到水平面的距離h與與水平面所成角有關.

1.當過點S,球心0的直線與水平面垂時,

必有h>2R.球在水平面上的投影是以球與

面的切點為圓心的圓（圖略），

2.當過點S、球心0的直線與水平面不垂

時.

①若h>2R,則球在水平面上的投影是

為一個焦點的橢圓，如圖2.

如圖2所示，與球。相切的光線構(gòu)成一個圓錐面.設切點的集合為圓0Z球。?與

圓錐面與水平面都相切，與圓錐面的切點的集合為圓Q,與水平面的切點為B；P

為球在水平面的投影線上的隨意一點，過P的光線與球0、01的切點分別為D,C,

則有、，易知為兩圓錐母線之差（為確定

值）.即（定值），所以，球在水平面上的

投影是以A、B為焦點的橢圓.

②若2R,則球在水平面上的投影

是以A為焦點的拋物線，如圖3.

如圖3所示，與球0相切的光線構(gòu)

成一個圓錐面.設切點的集合為圓；

過S、0,A的平面與水平面交于；

圓所在的平面/與水平面的交線為L；P

為球在水平面的投影線上的隨意一點，過P與/平行的平面與圓錐面交于圓。2所以,

球在水平面上的投影是以A為焦點，L為準線的拋物線.

若h〈2R,則球在水平面上的投影是以A為一個焦點的雙曲線的一支，如圖4.

如圖4所示，與球。相切的光線構(gòu)成一個圓錐面.設切點的集合為圓02；球

與圓錐面與

水平面都相切，與圓錐面的切點的集合為圓03,與水平面的切點為月；戶為球

在水平面的投影線上的隨意一點，過戶的光線與球0、的切點分別為G、打，則有

二、二，且易知為兩圓錐母線之和（為確定值）.即（定值），所以，球在水平面上的

投影是以為焦點的雙曲線的一支.

三、小結(jié)：當平行光線與水平面垂直時，球在光線的投射下的輪廓線是一個圓，

且球與水平面的切點為這個圓的圓心，當平行光線與水平面不垂直時，球在光線下

的投影是以球與水平面的切點為一個焦點的橢圓.

當點光源S與球心的連線與水平面垂直時，球在光線下的投影是以球與水平面

的切點為圓心的圓，當點光源與球心的連線與水平面不垂直時，球在光線下的投影

是以球與水平面的切點為一個焦點的圓錐曲線.

12課時解析幾何中的趣題一

奇妙的莫比烏斯圈

教學要求：利用幾何方法解決生活問題

教學過程：

一、故事引入

老國王的問題奇妙的莫比烏斯圈

一個年老的國王有五個兒子，他臨死前把五個兒子叫到身邊，準備把自己的國土平

均分給每個兒子，但為了要兒子們團結(jié)，他希望每片國土的邊界線都相連。假如你

是帝國宰相的話，請問你如何來執(zhí)行老國王的遺囑？

二、學習例題找尋方法

例1假定你在赤道上饒了地球一周，這時你的頭頂要比你的腳底多跑多少路？

分析與解答:

你的腳底一共走了2位的路，R是地球半徑。你的頭呢卻走了2萬（/?+1.7）的路，

1.7是你的身高。因此頭比腳多走2萬（R+1.7）-2或=2萬xl.7，10.7米

例2假定把一條鐵絲困到地球赤道上，然后把這條鐵絲放長一米，問這條松下來的

鐵絲和地球之間能不能讓一只老鼠穿過？

分析與解答：

一般人都會回答這個間隙會比一根頭發(fā)還小，一米同地球赤道的40000000米相

比簡直相差太大了。事實上，這個間隙大小為圖。16厘米，不僅老鼠，甚至大貓也

2萬

可以過去。

三、全課總結(jié)

下面回到課前的問題，拿一張紙條，假設四個頂點，為了區(qū)分這兩個面，我們

不妨把一面涂成蘭色，而一面涂成紅色使A與B；C與D重合地粘接起來，我們就

得到了一個一般有兩個面的曲面假如讓一只螞蟻在這個曲面的某一面上爬行，不讓

它繞過曲面的邊緣，也不讓它穿過曲面，則無論它怎么爬，它也爬不到另一面上去。

現(xiàn)在，把紙條從粘接處分開，扭轉(zhuǎn)180。，再使A與C、B與D重新地粘接起來,

我們就得到了只有一個面的曲面，已經(jīng)無所謂里外了在這個圈上，能玩出無限的小

把戲。前面說的那個5個兒子分土地就是其一。你猜猜把這個帶子延中間切開、再

切呢？玩過嗎？就是把第一次切得到的兩個圓再切呢？大家回家去試一下吧，很好

玩.

四、作業(yè)

可以有多少種方法用對角線把一個n邊多邊形（平面凸多邊形）剖分成三角形？

13課時解析幾何中的趣題一

最短途問題

教學要求：利用幾何圖形的有關性質(zhì)求最小值問題

教學過程:

一、談話引入

路程短了在相同速度下可以節(jié)約時間，因此，求最短路程成為生產(chǎn)生活中最優(yōu)方案

而被采納。

二、學習例題找尋方法

例1一個牧人從帳篷A處牽馬去河邊飲水，然后去B處趕集，在河的同側(cè)。問他怎

樣走路成最短？

分析：由軸對稱原理找對稱點，然后兩點間距離最短。

例2長寬高分別是4、2、1米的長方體。現(xiàn)有一小蟲從頂點A動身沿長方體表面爬

到對角頂點G，間小蟲爬行最短路程是多少？

分析：我們把這兩點所在的兩個面綻開，置于一個平面內(nèi)，依據(jù)綻開面不同分

三種狀況探討。

三、全課總結(jié)

最短途問題歸結(jié)為數(shù)學問題，解決方法，通常是利用幾何圖形的有關性質(zhì)將圖

形作各種幾何變換利用不等量關系求解。

四、作業(yè)

在全部三角形中，外接圓的圓心，各中線的交點和各高的交點在始終線一歐拉

線上，而且三點的分隔為：各高線的交點（垂心）至各中線的交點（重心）的距離

兩倍于外接圓的圓心至各中線的交點的距離.

14課時排列組合中的趣題一

抽屜原理

教學要求：引導學生視察、分析駕馭一個最簡潔的最基本的推理原則一一抽屜原理

教學過程：

一、事實引入

把5個蘋果放進4個抽屜無論怎么放，至少有一個抽屜放進的蘋果個數(shù)不少于2,

這是任何人都確信無疑的事實，在解答某些排列組合問題時都必需用它，這種方法

稱為抽屜原理。

二、學習例題找尋方法

原理1：將m個元素，依據(jù)某種規(guī)則分成n各集合（＞,m、n、為自然數(shù)），則至少

有一個集合有2個或2個以上的元素。

原理2：將m個元素，依據(jù)某種規(guī)則分成n個集合（〃〉如，m、n、k為自然數(shù)），

則至少有一個集合含有1個或1以上的元素。

例1一副撲克牌（52張）有4種花色，每種花色有13張，從中隨意抽牌，最少要

抽多少張牌，才能保證有4張是同一花色的？

解析：抽出的牌按花色分類，可分4類，〃=4。由原理2知：1=4,得k=3。

此時，所取出的牌的張數(shù)為m,m應滿意＞=12,故m=13,14,15……，因此至少

須要抽13張牌才能保證有4張是同一花色的。

例2、某校高一一班有55個同學，老師說至少有兩個同學在同一周內(nèi)過生日，老師

的話正確么？

解析：平年是365天最多分布在53周內(nèi)；閏年是366天最多分布在54周內(nèi)，

把54周當作54個抽屜，把55個同學當作55個元素，由抽屜原理1老師說的至少

有兩個同學在同一周內(nèi)過生日是正確的。

三、全課總結(jié)

本節(jié)課要求我們應用抽屜原理將需狀態(tài)進行分類，即“制造抽屜”?！俺閷稀痹斓暮?/p>

即可得出志向結(jié)果。

四、作業(yè)

證明：在隨意人群中，確定有2個人，他們在這群人中的摯友一樣多

15課時排列組合中的趣題一

摸球嬉戲

教學要求：培育學生在視察的基礎上進行歸納猜想和發(fā)覺的實力，進而引導學生去

探求事物的內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系.

教學過程

一、嬉戲引入

大約十年前，在北京西直門立交橋旁邊，曾有一個擺攤摸球的人。當時圍觀的

人們覺得很簇新，曾有很多人參與摸球?，F(xiàn)在看來，這不過是一個小型的賭博嬉戲

罷了。這個嬉戲的規(guī)則很簡潔：他先擺出了12個臺球一般大小的小球，其中有6

個紅色球和6個白色球。當著觀眾的面，他把全部12個色球裝進一個一般的布袋中，

然后慫恿大家來摸。怎么個摸法呢就是從這個裝12個球的布袋中，隨意摸出6個球

來，看看其中有幾個是紅球，有幾個是白球。當然，摸球者只能把手伸進袋口中

把球一個一個地“掏出來”，而不能打開袋口看著摸。大家想一想共有多少種摸法？

哪一種的概率大呢？

二、學習例題找尋方法

例1某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進行混合雙打練習，兩邊都必需是1

男1女，共有多少種不同的搭配方法？

分析：每一種搭配都須要2男2女，先把4名隊員選出來有種選法，然后

考慮4人的排法，故乘以武

例2