2025屆河南省鄭州市重點(diǎn)名校數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆河南省鄭州市重點(diǎn)名校數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).若的內(nèi)切圓與線段在其中點(diǎn)處相切，與相切于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線：（，）的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．34．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線5．若，，，則（）A． B．C． D．6．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．7．甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．9．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A．85 B． C．35 D．10．已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則（）A． B．C． D．11．在中，，則=（）A． B．C． D．12．已知拋物線和點(diǎn)，直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，直線與拋物線交于另一點(diǎn)．給出以下判斷：①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離；②直線與直線的斜率乘積為；③設(shè)過(guò)點(diǎn)，，的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則．其中，所有正確判斷的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若，，則的面積的最大值為_(kāi)_____.14．若點(diǎn)在直線上，則的值等于______________.15．設(shè)為正實(shí)數(shù)，若則的取值范圍是__________．16．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為_(kāi)___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點(diǎn)．（1）求異面直線AP，BM所成角的余弦值；（2）點(diǎn)N在線段AD上，且AN＝λ，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求λ的值．18．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.20．（12分）在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，且.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為.（1）通過(guò)計(jì)算，，，猜想并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求常數(shù)t的取值范圍.22．（10分）在中，，，.求邊上的高.①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)，，可得，由切線的性質(zhì)：切線長(zhǎng)相等推得，解得、，并設(shè)，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所求值．【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，為切點(diǎn)，且為中點(diǎn)，，設(shè)，，則，且有，解得，，設(shè)，，設(shè)圓切于點(diǎn)，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時(shí)是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時(shí),單調(diào)遞減,時(shí)單調(diào)遞增.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算求解的能力,難度較難.3、A【解析】

由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ)．4、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)?，所以平面，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.5、C【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，即；指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則.綜上所述，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來(lái)比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計(jì)算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，，且平面，，的中點(diǎn)為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．7、A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有種，故概率為.8、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．9、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設(shè)公差為，則，所以，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小，再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清，對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì)，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球，有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán)，對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白，對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算，以及變量的可取值會(huì)分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.11、B【解析】

在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【詳解】如下圖，，在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

對(duì)于①，利用拋物線的定義，利用可判斷；對(duì)于②，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積，即可判斷；對(duì)于③，將代入拋物線的方程可得，，從而，，利用韋達(dá)定理可得，再由，可用m表示，線段的中垂線與軸的交點(diǎn)（即圓心）橫坐標(biāo)為，可得a，即可判斷.【詳解】如圖，設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線，則．所以①正確．由題意可設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則，．所以．則直線與直線的斜率乘積為．所以②正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以過(guò)點(diǎn)，，的圓的圓心在軸上．由上，有，，則．所以，線段的中垂線與軸的交點(diǎn)（即圓心）橫坐標(biāo)為，所以．于是，，代入，，得，所以．所以③正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

化簡(jiǎn)得到，，根據(jù)余弦定理和均值不等式得到，根據(jù)面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】，即，，故.根據(jù)余弦定理：，即.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，面積公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.14、【解析】

根據(jù)題意可得，再由，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，得，又，解得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，綜上，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)，可得，進(jìn)而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，令，，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題，16、【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

則函數(shù)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）1【解析】

（1）先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和向量的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.（2，由AN＝λ，設(shè)N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一個(gè)法向量，利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因?yàn)椤螧AD＝90°，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以M(1，1，2)．所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.（2）因?yàn)锳N＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．設(shè)平面PBC的法向量為＝(x,y,z)，則即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以＝(2，0，1)是平面PBC的一個(gè)法向量．因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為，所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，線面角的求法及應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明，即可證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接．是的中點(diǎn)，，又，四邊形是平行四邊形．，又平面平面，平面．（2），，同理可得：，又平面．連接，設(shè)，則，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面的法向量為，則，則，取．直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行，求線面角的大小，關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法，法向量法求線面角的基本方法，根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.19、（Ⅰ）直線的直角坐標(biāo)方程為；曲線的普通方程為；（Ⅱ）.【解析】

（I）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；（II）將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程，可得，而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知，代入即可解決.【詳解】由可得直線的直角坐標(biāo)方程為由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)可得曲線的普通方程為.易知點(diǎn)在直線上，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，并整理得.設(shè)是方程的兩根，則有.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.20、(1).(2).【解析】

（1）根據(jù)題意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)為銳角三角形，求得，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又∵為銳角三角形，∴，即，則，所以，綜上的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問(wèn)題，對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利