2025屆福建省漳州市龍海程溪中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆福建省漳州市龍海程溪中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B.C. D.3．已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓C與的延長(zhǎng)線(xiàn)、的延長(zhǎng)線(xiàn)以及線(xiàn)段相切，若為其中一個(gè)切點(diǎn)，則（）A. B.C. D.與2的大小關(guān)系不確定4．正四棱錐中，，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.5．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿(mǎn)足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.56．雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別是，，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，在軸上的投影恰好是，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.7．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在拋物線(xiàn)和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.8．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.649．下列直線(xiàn)中，傾斜角最大的為（）A. B.C. D.10．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（）A. B.C. D.11．直線(xiàn)的傾斜角為A. B.C. D.12．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____14．過(guò)圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線(xiàn)，使它被該圓截得的線(xiàn)段最長(zhǎng)，則直線(xiàn)的方程是______15．已知函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.16．在長(zhǎng)方體中，若，，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)18．（12分）已知橢圓．離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線(xiàn)的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由19．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）已知拋物線(xiàn)C：焦點(diǎn)F的橫坐標(biāo)等于橢圓的離心率.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)(1，0)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，判斷原點(diǎn)與以線(xiàn)段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù))（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱(chēng)之為“失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費(fèi)（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費(fèi)（單位：萬(wàn)元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系．請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)參考公式：相關(guān)系數(shù)線(xiàn)性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B2、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A3、A【解析】由題意知，圓C是的旁切圓，點(diǎn)是圓C與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓C與直線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)、分別相切于點(diǎn)、，由切線(xiàn)的性質(zhì)可知：，，，結(jié)合橢圓的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓C是的旁切圓，點(diǎn)是圓C與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓C與直線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)、分別相切于點(diǎn)、，則由切線(xiàn)的性質(zhì)可知：，，，所以，所以，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合，熟記橢圓的定義，以及切線(xiàn)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.4、C【解析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對(duì)值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.有圖知，由題得、、、.，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，令，得，，.設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面角的求解，利用向量法可簡(jiǎn)化分析過(guò)程，直接用計(jì)算的方式解決問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.5、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，，解得或（舍去），故選：B6、D【解析】根據(jù)題意的到，，代入到雙曲線(xiàn)方程，解得，即，則，即，即，求解方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原點(diǎn)為，∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)在軸上的投影恰好是，∴，且，∴，將代入到雙曲線(xiàn)方程，可得，解得，即，則，即，即，解得（舍負(fù)），故.故選:D.7、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡(jiǎn)為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點(diǎn)P到圓心的距離，令，則，令，，為開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B8、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，分別設(shè)出，所在直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，則直線(xiàn)的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：B9、D【解析】首先分別求直線(xiàn)的斜率，再結(jié)合直線(xiàn)傾斜角與斜率的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.直線(xiàn)的斜率；B.直線(xiàn)的斜率；C.直線(xiàn)的斜率；D.直線(xiàn)的斜率，因?yàn)?，結(jié)合直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系，可知直線(xiàn)的傾斜角最大.故選：D10、A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，分析可知、、三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，分析可知，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，可得且，因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)、，易知點(diǎn)，，，由題意可知，，可得，若直線(xiàn)與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.11、B【解析】分析出直線(xiàn)與軸垂直，據(jù)此可得出該直線(xiàn)的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線(xiàn)與軸垂直，該直線(xiàn)的傾斜角為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)的傾斜角，關(guān)鍵是掌握直線(xiàn)傾斜角的定義，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以k的取值范圍是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線(xiàn)的方程.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，，故所求切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.14、【解析】當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)圓心時(shí)滿(mǎn)足題意，進(jìn)而求出答案.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，當(dāng)l過(guò)圓心時(shí)滿(mǎn)足題意，，所以l的方程為：.故答案為：.15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值，要使函數(shù)有零點(diǎn)，只要，求得函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.16、【解析】畫(huà)出長(zhǎng)方體,再將異面直線(xiàn)與利用平行線(xiàn)轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形內(nèi)求解角度即可.【詳解】畫(huà)出長(zhǎng)方體可得異面直線(xiàn)與所成角為與之間的夾角,連接.則因?yàn)?則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線(xiàn)與所成角的大小為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中異面直線(xiàn)的角度問(wèn)題,一般的處理方法是將異面直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平行線(xiàn)的轉(zhuǎn)換構(gòu)成三角形求角度,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）直接由斜率關(guān)系計(jì)算得到；（2）設(shè)出直線(xiàn)，聯(lián)立橢圓方程，韋達(dá)定理求出，再結(jié)合三點(diǎn)共線(xiàn)，求出參數(shù)，得到過(guò)定點(diǎn).小問(wèn)1詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由已知有，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】由已知條件可知直線(xiàn)和直線(xiàn)斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，即，即，即，即，即得，整理，得，滿(mǎn)足，則直線(xiàn)方程為，恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于設(shè)出帶有兩個(gè)參數(shù)的直線(xiàn)的方程，聯(lián)立橢圓方程后，利用題干中的條件，解出一個(gè)參數(shù)或得到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).18、（1）；（2）是定值，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意有，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形有，即可寫(xiě)出橢圓方程；（2）直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理即有，已知應(yīng)用點(diǎn)線(xiàn)距離公式、三角形面積公式即可說(shuō)明的面積是否為定值；【詳解】（1）橢圓離心率為，即，∵點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，∴，綜上有：，，故橢圓方程為，（2）由直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程：，整理得，設(shè)，則，，，，原點(diǎn)到的距離，為定值；【點(diǎn)睛】本題考查了由離心率求橢圓方程，根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的相交關(guān)系證明交點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積是否為定值的問(wèn)題.19、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差為2的等差數(shù)列，再由可得答案.（2）,分為奇數(shù)、偶數(shù)，分組求和即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，故是公差為2的等差數(shù)列，故，由，故，于是.【小問(wèn)2詳解】依題意，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，故，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上，.20、（1）；（2）原點(diǎn)在以線(xiàn)段AB為直徑的圓上，詳見(jiàn)解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進(jìn)而可求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，即求；（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線(xiàn)C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題可設(shè)直線(xiàn)l的方程為，由，得，設(shè)，則，又，故，∴，∴，即，故原點(diǎn)在以線(xiàn)段AB為直徑的圓上.21、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】（1），進(jìn)而分，，三種情況討論求解即可；（2）由題意知在上恒成立，故令，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，注意到使，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)隱零點(diǎn)求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：①，在上單調(diào)增；②，令，單調(diào)減單調(diào)增；③，單調(diào)增單調(diào)減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解