2025屆福建省清流縣第二中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆福建省清流縣第二中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，集合或，是實(shí)數(shù)集，則（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.3．已知隨機(jī)變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27184．焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y5．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.6．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值為24C.當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線D.在C上存在點(diǎn)M，使得7．拋物線的焦點(diǎn)是A. B.C. D.8．焦點(diǎn)坐標(biāo)為，（0，4），且長(zhǎng)半軸的橢圓方程為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，，若對(duì)于任意的，存在唯一的，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]10．在等差數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.11．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C.與相等 D.12．過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如下圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q，作第3個(gè)正方形MNPQ，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，直角三角形EMQ面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，…，，若數(shù)列的前n項(xiàng)和恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.14．已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的斜率為1，則a的值為___________.15．“”是“”的________條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選擇一項(xiàng)填空.）16．已知正三棱柱中，底面積為，一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為，則正三棱柱外接球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC.（1）求角C的大?。唬?）若cosA=，求的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是，且，求的最小值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，側(cè)棱，，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)，，（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長(zhǎng)21．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，（1）若，求c的值；（2）求最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先化簡(jiǎn)集合，再由集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可【詳解】，或，故故選：A2、D【解析】設(shè)，由，得到四邊形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故選：D3、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求概率.【詳解】由題設(shè)可得，，故選：C.4、B【解析】由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，則答案可求【詳解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），得，即p=2∴拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】由題設(shè)，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點(diǎn)處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點(diǎn)處與相切，下研究四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線A：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為矛盾，故A錯(cuò)誤B：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，不為，故B錯(cuò)誤；C：，將2代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為3矛盾，故C錯(cuò)誤；D：，將0，2代入，解得此時(shí)切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.6、C【解析】根據(jù)題意可求出C的方程為，即可根據(jù)題意判斷各選項(xiàng)的真假【詳解】對(duì)A，由可得，化簡(jiǎn)得，即，A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，點(diǎn)到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，因?yàn)?，所以射線是的角平分線，C正確；對(duì)D，設(shè)，由可得點(diǎn)的軌跡方程為，而圓與圓的圓心距為，兩圓內(nèi)含，所以這樣的點(diǎn)不存在，D錯(cuò)誤故選：C7、D【解析】先判斷焦點(diǎn)的位置，再?gòu)臉?biāo)準(zhǔn)型中找出即得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】焦點(diǎn)在軸上，又，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】求圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，首先要把圓錐曲線的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到焦點(diǎn)的位置和焦點(diǎn)的坐標(biāo).8、B【解析】根據(jù)題意可知，即可由求出，再根據(jù)焦點(diǎn)位置得出橢圓方程【詳解】因?yàn)?，所以，而焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為故選：B9、B【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出和的值域，結(jié)合已知條件可得，，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，當(dāng)時(shí)，，由時(shí)，，時(shí)，，可得g（x）在[–1，0]上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對(duì)于任意的，．因?yàn)殚_口向下，對(duì)稱軸為軸，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在[，2]上的值域?yàn)閇a–4，a]，且函數(shù)f（x）在，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在（，2]上，函數(shù)單調(diào)遞減．由題意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.本題的難點(diǎn)是這一條件的轉(zhuǎn)化.10、B【解析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則.故選：B.11、D【解析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義分析判斷即可【詳解】因?yàn)閽仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對(duì)立，也不相等，，所以ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D12、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】先求正方形邊長(zhǎng)的規(guī)律，再求三角形面積的規(guī)律，從而就可以求和了，再解不等式即可求解.【詳解】由題意，由外到內(nèi)依次各正方形的邊長(zhǎng)分別為，則，，……，，于是數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.由題意可得：，即……，于是.，故解得或.故答案為：或14、6【解析】根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率計(jì)算公式即可求的參數(shù)a﹒【詳解】由題意可知，解得故答案為：615、充分不必要【解析】由不等式的性質(zhì)可知，由得，反之代入進(jìn)行驗(yàn)證，然后根據(jù)充分性與必要性的定義進(jìn)行判斷，即可得出所要的答案【詳解】解：由不等式的性質(zhì)可知，由得，故“”成立可推出“”，而，當(dāng)，則，所以“”不能保證“”，故“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)，屬于較簡(jiǎn)單題型16、【解析】首先由條件求出底面邊長(zhǎng)和高，然后設(shè)、分別為上、下底面的的中心，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，然后求出的長(zhǎng)度即可.【詳解】如圖所示，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則底面面積為，所以，因此等邊三角形的高為：，因?yàn)橐粋€(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為，所以設(shè)、分別為上、下底面的的中心，連接，設(shè)的中點(diǎn)為則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，連接、則在直角三角形中，即外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的外接球半徑的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的性質(zhì)找出球心的位置.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，由此求得.（2）先求得，結(jié)合兩角差的正弦公式求得.【小問(wèn)1詳解】，，即，，，.【小問(wèn)2詳解】由，可得，.18、（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)求g(x)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)同分分解因式，討論其正負(fù)即可判斷g(x)的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，又，設(shè)所求切線的斜率為，則，則切線的方程為：，化簡(jiǎn)即得切線的方程為：.【小問(wèn)2詳解】，其定義域?yàn)?，，∵，∴ax＋1＞0，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.的增區(qū)間為，減區(qū)間為.19、（1）（2）8【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，求得，同理求得，從而可求得的值，再結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則，等價(jià)于，曲線為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為，故曲線的方程為：；【小問(wèn)2詳解】解：由題意可得直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，所以，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.20、（1）；（2）.【解析】（1）將，代入中化簡(jiǎn)即可得到答案；（2）利用，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】是PC的中點(diǎn)，，，，，結(jié)合，，，得.【小問(wèn)2詳解】∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，側(cè)棱，，，，，.，.由（1）知，，，即BM的長(zhǎng)等于.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，再對(duì)等式兩邊同時(shí)