甘肅省武威一中 2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

甘肅省武威一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過(guò)，兩點(diǎn)，且離心率為，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．曲線在點(diǎn)處的切線方程是A. B.C. D.3．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，4．橢圓（）的右頂點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.5．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.1C. D.6．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.7．在平面直角坐標(biāo)系中，線段的兩端點(diǎn)，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動(dòng)，若圓上存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.108．已知直線：和：，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3C.-1或3 D.-19．黃金矩形是寬（）與長(zhǎng)（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.10．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.11．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|＝()A. B.C.3 D.212．若將一個(gè)橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，這樣的橢圓稱為“對(duì)偶橢圓”，下列橢圓中是“對(duì)偶橢圓”的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，如果則雙曲線的離心率為___________.14．?dāng)?shù)列滿足前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________15．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.16．下圖是個(gè)幾何體的展開圖，圖①是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成；圖③是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形組成；圖④是由個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成.若幾何體能夠穿過(guò)直徑為的圓，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求的取值范圍18．（12分）已知雙曲線C：(a>0，b>0）的離心率為，且雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線x－y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB中點(diǎn)在圓x2＋y2=17上，求m的值19．（12分）某公司舉辦捐步公益活動(dòng)，參與者通過(guò)捐贈(zèng)每天運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童．此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn)，還為公司獲得了相應(yīng)的廣告效益，據(jù)測(cè)算，首日參與活動(dòng)人數(shù)為5000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為20萬(wàn)元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元）（1）求活動(dòng)開始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；（2）活動(dòng)開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余？20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）如圖所示，在四棱錐中，BC//平面PAD，，E是PD的中點(diǎn)（1）求證：CE//平面PAB；（2）若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)，使MN//平面PAB？說(shuō)明理由22．（10分）解下列不等式：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由離心率求得，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關(guān)系得結(jié)論【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設(shè)，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即故選：D2、D【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程.【詳解】，選D.點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B4、A【解析】求得拋物線的焦點(diǎn)從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可得；又短軸長(zhǎng)為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.5、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B6、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A7、C【解析】首先求點(diǎn)的軌跡，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn)，即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點(diǎn)，所以，，即，解得：，所以線段長(zhǎng)度的最小值為.故選：C8、D【解析】利用兩直線平行列式求出a值，再驗(yàn)證即可判斷作答.【詳解】因，則，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為-1.故選：D9、C【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形,所以，設(shè)矩形的面積為,正方形的面積為,設(shè)在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運(yùn)算能力.10、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.11、C【解析】過(guò)點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，利用拋物線定義以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，因?yàn)?，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進(jìn)而判斷所給命題的真假【詳解】解：因?yàn)闄E圓短的軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：14、【解析】由已知中前項(xiàng)和，結(jié)合，分別討論時(shí)與時(shí)的通項(xiàng)公式，并由時(shí)，的值不滿足時(shí)的通項(xiàng)公式，故要將數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成分段函數(shù)的形式【詳解】∵數(shù)列前項(xiàng)和，∴當(dāng)時(shí)，，又∵當(dāng)時(shí)，，故，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中正確理解由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵15、【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，求得切點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為∴，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.16、①【解析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【詳解】①由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正四面體，該正四面體可放入一個(gè)正方體中，且正方體的棱長(zhǎng)為，該正四面體的外接球半徑為，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正四棱錐，如下圖所示：設(shè)，連接，則為、的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點(diǎn)為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正八面體，該正八面體可由兩個(gè)共底面，且棱長(zhǎng)均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為的正方體，其外接球半徑為，不滿足要求；故答案為：①.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式；（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為令，恒成立，討論二次函數(shù)系數(shù)，結(jié)合根的分布.【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，則所以當(dāng)時(shí)所以（2）因?yàn)闀r(shí)，在上恒成立等價(jià)于即在上恒成立令，則①當(dāng)時(shí)，不恒成立，故舍去②當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)對(duì)稱軸若即或時(shí)，恒成立因?yàn)椋匀艏磿r(shí)，要使恒成立則有與矛盾，故舍去綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問(wèn)題及解題方法（1）求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（2）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于的方程(組)，從而得到的解析式；（3）求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值；（4）畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.18、（1）；（2）【解析】（1）由實(shí)軸長(zhǎng)求得，再由離心率得，從而求得得雙曲線方程；（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程可求得值【小問(wèn)1詳解】由已知，，又，所以，，所以雙曲線方程為；【小問(wèn)2詳解】由，得，恒成立，設(shè)，，中點(diǎn)為，所以，，，又在圓x2＋y2=17上，所以，19、（1）8745，1686元（2）37天【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果；（2）對(duì)活動(dòng)天數(shù)進(jìn)行討論，列出不等式求出的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)第天的捐步人數(shù)為，則且，∴第5天的捐步人數(shù)為由題意可知前5天的捐步人數(shù)成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為5000，公比為1.15，∴前5天的捐步總收益為元.【小問(wèn)2詳解】設(shè)活動(dòng)第天后公司捐步總收益可以回收并有盈余，若，則，解得（舍）若，則，解得∴活動(dòng)開始后第37天公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余.20、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過(guò)P在平面PAB內(nèi)作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過(guò)B在平面PAB內(nèi)作，連結(jié)CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋訮A與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過(guò)P在平面PAB內(nèi)作，垂足為E，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過(guò)B在平面PAB內(nèi)作，垂足為F，連結(jié)CF，又,則平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因?yàn)?，，所以，從而所以二面角正弦值?21、（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）為中點(diǎn)，連接，由中位線、線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論；（2）取中點(diǎn)N，連接，，根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性【小問(wèn)1