4.6反證法公開(kāi)課教案教學(xué)設(shè)計(jì)課件案例試卷

路邊苦李

王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹(shù)上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動(dòng).王戎回答說(shuō):“樹(shù)在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李.

王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?這與事實(shí)矛盾.說(shuō)明李子是甜的這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)的還是對(duì)的？假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長(zhǎng)在人來(lái)人往的大路邊的李子會(huì)不會(huì)被過(guò)路人摘去解渴呢？那么，樹(shù)上的李子還會(huì)這么多嗎？所以，李子是苦的甲：在五一長(zhǎng)假里，我和爸爸，媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太高興了.乙：這不可能，5月4號(hào)上午還看見(jiàn)你和丙在“長(zhǎng)廊”逛街呢！丙：是啊,5月4號(hào)我確實(shí)和甲在“長(zhǎng)廊”逛街！假設(shè)甲去新加坡玩了6天，乙：甲沒(méi)有去新加坡玩了6天.那么甲從5月1號(hào)至6號(hào)或是2號(hào)至7號(hào)在新加坡，即5月4號(hào)甲在新加坡，這與“5月4號(hào)甲在達(dá)州市的“長(zhǎng)廊””矛盾,所以假設(shè)“甲去新加坡玩了6天”不正確,于是“甲沒(méi)有去新加坡玩了6天”正確.在古希臘時(shí),有三個(gè)哲學(xué)家，由于爭(zhēng)論和天氣的炎熱感到疲倦，于是就在花園里的一棵大樹(shù)下躺下休息睡著了.這時(shí)一個(gè)愛(ài)開(kāi)玩笑的人用炭涂黑了他們的前額,當(dāng)他們醒過(guò)來(lái)后，彼此相看時(shí)都笑了.一會(huì)兒其中有一個(gè)人卻突然不笑了，他是覺(jué)察到什么了？

他運(yùn)用了怎樣的推理方法？各抒己見(jiàn)假設(shè)自己的前額沒(méi)有被涂黑,那么另一個(gè)哲學(xué)家也不會(huì)有異常行為,自己的前額也被涂黑了.這與另一個(gè)哲學(xué)家笑個(gè)不停矛盾,所以假設(shè)“自己的前額沒(méi)有涂黑”不正確,于是自己的前額也被涂黑了.定義:

在證明一個(gè)命題時(shí)，人們有時(shí)先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理得出和已知條件矛盾，或者與定義，公理，定理等矛盾，從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法（proofbycontradiction）.例1求證：四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角.至少一個(gè)不成立該如何假設(shè)：沒(méi)有一個(gè)

求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.已知：△ABC求證：△ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.證明：假設(shè)

，則

.∴

，即

.這與

矛盾．假設(shè)不成立．∴

．△ABC中沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的內(nèi)角和為180度△ABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.點(diǎn)撥：至少的反面是沒(méi)有！練習(xí)1∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°A證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A.那么過(guò)點(diǎn)A就有兩條直線a，b與直線c平行，這與“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾,假設(shè)不成立.

∴a//b.小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過(guò)的定理，公理矛盾

已知：如圖有a，b，c三條直線，且a//c,b//c.

求證：a//babc例2證明：假設(shè)a與b不止一個(gè)交點(diǎn)，不妨假設(shè)有兩個(gè)交點(diǎn)A和A’.因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，即經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和A’的直線有且只有一條，這與與已知兩條直線矛盾,假設(shè)不成立.

所以兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過(guò)的定理，公理矛盾練習(xí)2求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).已知：如圖兩條相交直線a，b.求證：a與b只有一個(gè)交點(diǎn).abA●A，●例3用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角．分析：解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)論，需要分類討論.已知：在△ABC中，AB=AC.求證：∠B，∠C為銳角.證明：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，那么只有兩種情況：(1)兩個(gè)底角都是直角；(2)兩個(gè)底角都是鈍角；（1)由∠A=∠B=90°則∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°這個(gè)假設(shè)不成立.(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，則∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾.∴兩個(gè)底角都是鈍角這個(gè)假設(shè)也不成立．故原命題正確

∴等腰三角形的底角必定是銳角.說(shuō)明：本例中“是銳角(小于90°)”的反面有兩種情況，這時(shí)，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確.此題是對(duì)反證法的進(jìn)一步理解.假設(shè)結(jié)論的反面正確推理論證得出結(jié)論回顧與歸納反證法反設(shè)歸謬結(jié)論

得出矛盾（已知，公理，定理等）

假設(shè)不成立，原命題成立.反證法的一般步驟:假設(shè)命題結(jié)論不成立假設(shè)不成立假設(shè)命題結(jié)論反面成立與已知條件矛盾假設(shè)推理得出的結(jié)論與定理，定義，公理矛盾所證命題成立什么時(shí)候運(yùn)用反證法呢？動(dòng)動(dòng)腦證明真命題的方法

直接證法

間接證法

反證法寫出下列各結(jié)論的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正數(shù)；（4）a⊥ba<0b是0或負(fù)數(shù)a不垂直于ba∥b鞏固新知1.試說(shuō)出下列命題的反面：（1）a是實(shí)數(shù). （2)a大于2.（3）a小于2.

（4）至少有2個(gè)（5）最多有一個(gè)（6）兩條直線平行.2.用反證法證明“若a2≠

b2,則a

≠

b”的第一步是.3.用反證法證明“如果一個(gè)三角形沒(méi)有兩個(gè)相等的角，那么這個(gè)三角形不是等腰三角形”的第一步

.

a不是實(shí)數(shù)

a小于或等于２

a大于或等于２沒(méi)有兩個(gè)一個(gè)也沒(méi)有兩直線相交假設(shè)a=b假設(shè)這個(gè)三角形是等腰三角形1.已知：如圖△ABC中，D，E兩點(diǎn)分別在AB和AC上求證：CD，BE不能互相平分

（平行四邊形對(duì)邊平行）證明：假設(shè)CD，BE互相平分連結(jié)DE，故四邊形BCED是平行四邊形∴BD∥CE這與BD，CE交于點(diǎn)A矛盾假設(shè)錯(cuò)誤，∴CD，BE不能互相平分拓展應(yīng)用拓展應(yīng)用2.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC.求證：PB≠PCABCP證明：假設(shè)PB=PC.在△ABP與△ACP中

AB=AC(已知）

AP=AP（公共邊）

PB=PC（已知）

∴△ABP≌△ACP（S.S.S)∴∠APB=∠APC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）這與已知條件∠APB≠∠APC矛盾，假設(shè)不成立.∴PB≠PC全課總結(jié)1.知識(shí)小結(jié)：反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立→正確的推理,得出矛盾→肯定待定命題的結(jié)論2.難點(diǎn)提示:

利用反證法證明命題時(shí),一定要準(zhǔn)確而全面的找出命題結(jié)論的反面.至少的反面是沒(méi)有，最多的反面是不止.大家議一議！

通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，你們覺(jué)得哪些題型宜用反證法？（經(jīng)驗(yàn)之談）

（1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；（2）以“至多”，“至少”或“不多于”等形式陳述的命題；（3）關(guān)于“唯一性”結(jié)論的命題；（4）一些不等量命題