江蘇省南京市玄武區(qū)科利華中學2024-2025學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試卷

2024-2025學年江蘇省南京市玄武區(qū)科利華中學九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷一.選擇題1．如圖，這是一張海上日出照片，如果把太陽看作一個圓，把海平面看作一條直線，那么這個圓與這條直線的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定2．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可變形為（）A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝83．某社區(qū)為改善環(huán)境，決定加大綠化投入．四月份綠化投入25萬元，四至六月份的綠化總投入將達到109萬元，五月份和六月份綠化投入的月平均增長率相同．設五月份和六月份綠化投入的月平均增長率為x，根據(jù)題意所列方程為（）A．25（1+x）+25（1+2x）＝109 B．25（1﹣x）2＝109 C．25（1+x）2＝109 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝1094．如圖，過點A作⊙O的切線AB，AC，切點分別是B，C，連接BC．過上一點D作⊙O的切線，交AB，AC于點E，F(xiàn)．若∠A＝90°，△AEF的周長為4，則BC的長為（）A．2 B． C．4 D．第4題第6題第9題5．若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，且滿足4a﹣2b+c＝0，則（）A．b＝a B．c＝2a C．a(chǎn)（x+2）2＝0 D．﹣a（x﹣2）2＝06．如圖，⊙O中，直徑AB為8cm，弦CD經(jīng)過OA的中點P，則PC2+PD2的最小值為（）A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．40cm2二.填空題7．寫出一個以﹣1，2為根的一元二次方程：．8．若x＝1是方程x2﹣3x+m＝0的一個根，則實數(shù)m的值為．9．如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）．若∠D＝35°，則∠C＝°．10．已知AB是圓O的一條弦，且AB＝OA，則弦AB所對的圓周角是．11．一個直角三角形的兩條直角邊長是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為．12．“青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個竹筒水容器，圖2為該竹筒水容器的截面．已知截面的半徑為10cm，開口AB寬為12cm，這個水容器所能裝水的最大深度是cm．第12題第13題第15題13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D為邊BC的中點，以AD上一點O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為．14．關于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b為常數(shù)，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，則關于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是．15．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為OB上一點，E、C關于BD對稱，∠ODE＝30°，則∠C＝°．16．我們知道任意三角形都存在內(nèi)切圓．同樣的，一些凸四邊形也存在內(nèi)切圓．我們規(guī)定：存在與凸四邊形的三條邊相切的圓叫四邊形的偽內(nèi)切圓．以下結(jié)論正確的是：．①凸四邊形必存在偽內(nèi)切圓；②當平行四邊形只存在1個偽內(nèi)切圓時，它的對角線一定相等；③矩形偽內(nèi)切圓個數(shù)可能為1、2、4；④當且僅當四邊形對角線互相垂直平分且相等時，該四邊形的偽內(nèi)切圓與內(nèi)切圓重合．三.解答題（共88分）17．用適當?shù)姆椒ㄇ蠼庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x2+3x﹣1＝0；（3）x2＝6x﹣1；（4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．18．已知關于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當m取滿足條件的最小奇數(shù)時，求方程的根．19．小宇要對一幅書法作品進行裝裱，裝裱后如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．已知原作品的長為60cm，寬為24cm，在裝裱后左右兩邊的邊寬相等，天頭長與地頭長也相等，且均為一邊寬的5倍，如果在裝裱后，原作品的面積恰好是裝裱后作品總面積的，那么裝裱后左右兩邊的邊寬分別是多少？20．如圖，已知AB是⊙P的直徑，點C在⊙P上，D為⊙P外一點，且∠ADC＝90°，直線CD為⊙P的切線．（1）若∠B＝30°，AC＝2，求⊙P的半徑．（2）試說明：2∠B+∠DAB＝180°．21．如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點C，D為OB上一點，延長CD交⊙O于點E，延長OB至F，使DF＝FE，連接EF．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半徑．22．如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，連接OP，CD．（1）求證：OP⊥CD；（2）連接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求DC的長．23．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，PD恰好經(jīng)過圓心O，連接PB．（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的周長；（2）若∠P＝∠D，點E是AB的一個四等分點嗎？為什么？24．請閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀，阿拉伯數(shù)學家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進行了證明．我國古代三國時期的數(shù)學家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14的方法．首先構(gòu)造了如圖1所示的圖形，圖中的大正方形面積是（x+x+5）2，其中四個全等的小矩形面積分別為x（x+5）＝14，中間的小正方形面積為52，所以大正方形的面積又可表示為4×14+52，據(jù)此易得原方程的正數(shù)解為x＝2．任務：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請在三個構(gòu)圖中選擇能夠說明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正確構(gòu)圖是（從序號①②③中選擇）．（2）請你通過上述問題的學習，在圖2的網(wǎng)格中設計正確的構(gòu)圖，用幾何法求方程x2+2x﹣15＝0的正數(shù)解（寫出必要的思考過程）25．在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于點D，連接CD．（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC＝3，求⊙O的半徑；（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC＝26°，請求出∠ACD的度數(shù)；（3）如圖2，如果AD＝6，DB＝4，那么AC的長為．（直接寫出答案）26．【操作體驗】如圖①，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點P，使得∠APB＝30°，如圖②，小明的作圖方法如下：第一步：分別以點A，B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點O；第二步：連接OA，OB；第三步：以O為圓心，OA長為半徑作⊙O，交l于P1，P2；所以圖中P1，P2即為所求的點．（1）在圖②中，連接P1A，P1B，說明∠AP1B＝30°；【方法遷移】（2）如圖③，用直尺和圓規(guī)在矩形ABCD內(nèi)作出所有的點P，使得∠BPC＝45°，（不寫作法，保留作圖痕跡）．【深入探究】（3）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P為AD邊上的點，若滿足∠BPC＝45°的點P恰有兩個，則m的取值范圍為