數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：任意角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章三角函數(shù)1。1任意角和弧度制1。1.1任意角5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1.經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表上的時(shí)針旋轉(zhuǎn)了（)A.60°B?！?0°C.30°D?！?0°解析:鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周是-360°，其中每小時(shí)旋轉(zhuǎn)=—30°，所以經(jīng)過2個(gè)小時(shí)應(yīng)旋轉(zhuǎn)-60°.答案：B2.判斷下列命題是否正確，并說明理由。（1)小于90°的角是銳角;(2)第一象限的角小于第二象限的角；(3)終邊相同的角一定相等；（4)相等的角終邊一定相同；(5）若α∈［90°,180°]，則α是第二象限角。解:(1）銳角集合是{α｜0°＜α＜90°}，即α∈(0°,90°）,它是小于90°的正角，而小于90°的角還可以是負(fù)角和零角，顯然(1）是錯(cuò)誤的；（2)由于角的概念的推廣，第一、二象限的角不再局限于0°—360°間的（0°，90°)與（90°,180°），像390°是第一象限角，120°是第二象限角，顯然390°＞120°,所以(2）也是錯(cuò)誤的；(3)終邊相同的角可能彼此相差360°的整數(shù)倍，顯然(3)是錯(cuò)誤的;（4）由于角的頂點(diǎn)是原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，所以相等的角終邊一定相同,顯然（4）是正確的；⑤由于90°、180°都不是象限角,顯然(5）是錯(cuò)誤的.3.在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水比賽中，常常聽到“轉(zhuǎn)體三周”“轉(zhuǎn)體兩周半”的說法，像這種動(dòng)作表示的是多大角？解:如果是逆時(shí)針轉(zhuǎn)體，則分別是360°×3=1080°和360°×2.5=900°；若是順時(shí)針轉(zhuǎn)體，則分別為-1080°和-900°。4。在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角,并指出它們是第幾象限角.（1）60°；(2)120°；(3)240°；（4)300°；（5）420°；(6)480°.解：10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1。與—457°角終邊相同的角的集合是()A。｛α｜α=k·360°+457°,k∈Z｝B.｛α｜α=k·360°+97°,k∈Z｝C.｛α｜α=k·360°+263°，k∈Z｝D.｛α｜α=k·360°-263°，k∈Z}解析：-457°=-2×360°+263°?！鄳?yīng)選C項(xiàng)。答案：C2.集合A=｛α｜α=k·90°—36°,k∈Z｝,B={β|-180°＜β＜180°｝,則A∩B等于()A.｛-36°，54°}B.｛-126°，144°｝C。｛-126°,-36°，54°，144°}D。｛-126°,54°｝解析:在集合A中,令k取不同的整數(shù),找出既屬于A又屬于B的角即可.k=-2，-1，0，1,2,3,驗(yàn)證可知A∩B=｛—126°,-36°,54°,144°}。答案：C3。設(shè)A=｛θ|θ為銳角｝,B={θ｜θ為小于90°的角｝，C={θ｜θ為第一象限角},D=｛θ｜θ為小于90°的正角｝，則（)A。A=BB。B=CC.A=CD。A=D解析:A={θ|0°＜θ＜90°｝，B={θ｜θ＜90°}，C={θ|k·360°＜θ＜90°+k·360°，k∈Z}，D=｛θ|0°＜θ＜90°｝，顯然A=D。答案:D4。角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的終邊又與自身終邊重合,則滿足條件的角α的集合為___________________________.解析：終邊相同的角的大小相差360°的整數(shù)倍.與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)可表示為{β｜β=α+k·360°,k∈Z｝。∵它的7倍角的終邊與其終邊相同，∴7α=α+k·360°.解之得α=k·60°，k∈Z?！酀M足條件的角α的集合為｛-120°,—60°,0°,60°,120°}。答案:{—120°,—60°，0°，60°，120°}。5。若角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱,則α與β的關(guān)系是__________________；若角α與β的終邊互相垂直，則α與β的關(guān)系是_______________________。解析：角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱,則β=k·360°+180°—α,k∈Z，而β+α=k·360°+180°=(2k+1)·180°，k∈Z,角α與β的終邊互相垂直，則β=k·360°+α±90°，k∈Z,即β—α=k·360°±90°,k∈Z。答案：α+β=（2k+1）·180°，k∈Zα-β=±90°+k·360°，k∈Z6。已知角α的終邊與y軸的正半軸所夾的角是30°，且終邊落在第二象限，又-720°＜α＜0°，求α.解析:∵α=120°+k·360°,k∈Z,-720°＜α＜0,∴α=-240°，—600°。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1。若α是銳角，則180°-α是()A。第一象限角B.第二象限角C。第三象限角D。第四象限角解析：因?yàn)棣潦卿J角，即0°＜α＜90°，則—90°＜-α＜0°。所以90°＜180°—α＜180°，即180°—α是第二象限角。答案:B2.若角α與β終邊相同，則一定有(）A.α+β=180°B.α+β=0°C。α—β=k·360°，k∈ZD.α+β=k·360°,k∈Z解析:因?yàn)棣僚cβ終邊相同，所以有α=β+k·360°,k∈Z.答案：C3.若角α滿足α=45°+k·180°，k∈Z,則角α的終邊落在（）A.第一或第三象限B。第一或第二象限C.第二或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限解析：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，角α終邊與225°角終邊相同,在第三象限；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),角α與45°角終邊相同，在第一象限.答案：A4.（2005高考全國卷Ⅲ，文1）已知α為第二象限的角，則所在的象限是(）A。第一或第二象限B。第二或第三象限C。第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限解析:因?yàn)棣猎诘诙笙蓿芍?0°+k·360°＜α＜180°+k·360°，k∈Z，所以45°+k·180°＜＜90°+k·180°，k∈Z。因?yàn)閗=2n或2n+1，n∈Z，所以當(dāng)k=2n時(shí)，45°+n·360°＜＜90°+n·360°,n∈Z，此時(shí)在第一象限;當(dāng)k=2n+1時(shí)，225°+n·360°＜＜270°+n·360°，n∈Z，此時(shí)在第三象限.故選C。答案：C5.寫出滿足下列條件的角的集合.(1）終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合：__________________________________________；（2)終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合:__________________________________________________；（3）終邊在第一、二象限及y軸的非正半軸上的角的集合：____________________________；（4）終邊在第一、三象限的角平分線上的角的集合：__________________________________.答案：（1）｛α｜α=k·360°，k∈Z｝（2){α｜α=k·90°，k∈Z}(3){α｜k·360°＜α＜180°+k·360°，k∈Z｝∪｛α｜α=k·360°+270°，k∈Z｝(4）{α｜α=45°+k·180°，k∈Z｝6。若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—1，),寫出角α的集合。解析：如圖，OA=1，AP=，所以∠AOP=60°。角α的集合是｛α|α=240°+k·360°,k∈Z｝。7.在平面直角坐標(biāo)系中，畫出下列集合所表示的角的終邊所在區(qū)域（用陰影表示）.（1）｛α｜k·360°≤α≤135°+k·360°，k∈Z｝；(2)｛α｜k·180°≤α≤135°+k·180°,k∈Z｝。解：8。射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°到OB位置，接著再按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到OC位置,然后再逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到OD位置,求∠AOD的大小。解:如圖，由題意知∠AOB=150°，∠BOC=-60°，∠COD=90°，所以∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=150°—60°+90°=180°。9.如圖1-1-1,若角α的終邊落在y=圖1-1-1解:與y=（x≥0)終邊相同的角的集合是｛α|α=30°+k·360°,k∈Z｝；與y=(x≤0)終邊相同的角的集合是｛α｜α=150°+k·360°，k∈Z｝.所以所夾的小區(qū)域內(nèi)角α的集合是{α｜30°+k·360°＜α＜150°+k·360°，k∈Z}.10.已知角α=45°.（1）在區(qū)間［-720°,0°］內(nèi)找出所有與角α有相同終邊的角β;（2）集合M=｛x｜x=×180°+45°,k∈Z｝，N=｛x｜x=×180°+45°，k∈Z｝，那么兩集合的關(guān)系是什么？解：（1)所有與角α有相同終邊的角可表示為45°+k×360°,k∈Z,則令-720°≤45°+k×360°≤0°，得—765°≤k×360°≤-45°.解得≤k≤.從而k=—2或k=-1,代回得β=-675°或β=-