數(shù)學(xué)學(xué)案：本章整合第二章圓錐曲線與方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一、軌跡問題【例1】已知A(0,7),B(0，－7)，C（12，2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，求橢圓的另一個焦點F的軌跡方程．思路分析：先根據(jù)橢圓的定義列出關(guān)系式，再將其坐標(biāo)化即可．解：∵|AC｜＝13,｜BC|＝15，｜AB｜＝14，又|AF|＋｜AC|＝|BF｜＋｜BC|，∴｜AF|－｜BF|＝|BC|－｜AC｜＝2，故點F的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的一支．又c＝7，a＝1,b2＝48，故點F的軌跡方程是y2－eq\f（x2,48）＝1(y≤－1）．【例2】已知動圓E與圓A:（x＋4）2＋y2＝2外切,與圓B:（x－4）2＋y2＝2內(nèi)切，試確定動圓圓心E的軌跡．思路分析：先利用兩圓內(nèi)切和外切表示圓心距，再利用雙曲線定義求解．解：設(shè)動圓E的半徑為r，則由已知|AE｜＝r＋eq\r(2),｜BE|＝r－eq\r（2），所以｜AE｜－|BE|＝2eq\r（2）。又A（－4,0），B（4,0），所以|AB｜＝8,2eq\r(2）＜|AB|。根據(jù)雙曲線的定義知,點E的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支．【互動探究】若例2條件“與圓B：（x－4）2＋y2＝2內(nèi)切”改為“與圓B:(x－4）2＋y2＝4外切”則結(jié)論如何？解：設(shè)動圓E的半徑為r，eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1（｜EA｜＝r＋eq\r(2)，，|EB|＝r＋2，)）∴|EB｜－｜EA|＝2－eq\r(2)＜|AB|＝8，∴點E的軌跡為雙曲線的一支．【例3】過雙曲線x2－y2＝1上一點Q引直線x＋y＝2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點P的軌跡方程．思路分析：先找到P點和Q點坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用Q點坐標(biāo)滿足雙曲線方程，間接求得P點的軌跡．解：設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x，y）,點Q的坐標(biāo)為（x1,y1)，則點N的坐標(biāo)為（2x－x1,2y－y1)．因為點N在直線x＋y＝2上，所以2x－x1＋2y－y1＝2.①又因為PQ垂直于直線x＋y＝2,所以eq\f(y－y1，x－x1)＝1,即x－y＋y1－x1＝0。②聯(lián)立①②解得eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1（x1＝eq\f（3,2）x＋eq\f(1,2)y－1,③,y1＝eq\f(1,2)x＋eq\f（3，2)y－1。④)）又點Q在雙曲線x2－y2＝1上，所以xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1）＝1，⑤將③④代入⑤，得動點P的軌跡方程是2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.專題二、離心率問題【例4】橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距為2c,若直線y＝2x與橢圓的一個交點的橫坐標(biāo)恰為c,則橢圓的離心率等于（）A。eq\f（2－eq\r(2)，2）B。eq\f（2eq\r（2)－1，2) C。eq\r（3）－1D。eq\r(2)－1解析:當(dāng)x＝c時，由eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f（b2,a).又交點在y＝2x上,∴交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(c，eq\f(b2,a）））?！?c＝eq\f（b2,a）＝eq\f（a2－c2，a）＝a－eq\f（c2，a）.∴2eq\f（c，a）＝1－eq\f（c2,a2)，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±eq\r(2）?！?＜e＜1，∴e＝eq\r(2）－1。答案：D【例5】點P是雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0，b＞0）和圓x2＋y2＝a2＋b2的一個交點，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1和F2是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為__________．解析：由圓x2＋y2＝a2＋b2，得x2＋y2＝c2，∴圓過焦點F1和F2.∴∠F1PF2＝90°.又2∠PF1F2＝∠PF2F∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F如圖所示．于是｜PF2|=c，|PF1|=c。由雙曲線的定義，有c-c=2a，∴e=。答案：+1【例6】已知雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且僅有一個交點，試求此雙曲線離心率的取值范圍．解：設(shè)雙曲線的斜率為正的一條漸近線的斜率為k，則k≥eq\r（3)，即eq\f(b，a)≥eq\r（3），∴e2＝1＋eq\f(b2,a2）≥1＋(eq\r（3)）2＝4，∴e≥2，即此雙曲線離心率的取值范圍為[2，＋∞）．專題三、與圓錐曲線有關(guān)的最值問題與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，大都是些綜合性問題,解法靈活，技巧性強，涉及代數(shù)、三角、幾何諸方面的知識，現(xiàn)把這類問題的求解策略與方法介紹如下：（1）平面幾何法．平面幾何法求最值問題，主要是運用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解．(2)目標(biāo)函數(shù)法．建立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，是常規(guī)方法,其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)．【例7】已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2＋eq\f（y2，2)＝1的兩個焦點，AB是過焦點F1的一條動弦,求△ABF2面積的最大值．思路分析：△ABF2的面積是由直線AB的斜率k確定的，因此可構(gòu)建以k為自變量的目標(biāo)函數(shù)，用代數(shù)的方法求函數(shù)的最大值．解:由題意,知｜F1F2經(jīng)分析，當(dāng)直線AB的斜率不存在時,不滿足題意．故設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，代入橢圓的方程2x2＋y2＝2，得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0,則xA＋xB＝－eq\f（2k，k2＋2)，xA·xB＝－eq\f(1,k2＋2），∴｜xA－xB|＝eq\f(eq\r(8(k2＋1））,k2＋2)。＝eq\f(1，2）|F1F2｜·|xA－xB｜＝eq\f（1，2）×2×2eq\r（2)×eq\f(eq\r(k2＋1）,k2＋2）＝2eq\r(2)×eq\f(1，eq\r（k2＋1）＋eq\f(1，eq\r(k2＋1）)）≤2eq\r(2）×eq\f(1，2)＝eq\r(2）。當(dāng)eq\r（k2＋1)＝eq\f（1，eq\r(k2＋1）),即k＝0時，△ABF2的面積最大，為eq\r（2）.【例8】已知點A(4，－2）,F為拋物線y2＝8x的焦點,點M在拋物線上移動，當(dāng)｜MA｜＋|MF｜取最小值時，點M的坐標(biāo)為（）A．(0，0） B．（1，－2eq\r（2)) C．(2，－2） D。eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1，2），－2))解析：如圖，過點M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E.由拋物線的定義知｜MF|＝｜ME|。當(dāng)點M在拋物線上移動時，｜ME|＋｜MA|的值在變化，顯然當(dāng)M移到M′時，A，M′,E′三點共線，｜M′E′|＋｜M′A｜最小，此時AM′∥Ox。把y＝－2代入y2＝8x，得x＝eq\f（1,2），所以M′的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1（eq\f(1,2)，－2）），故選D.答案：D【例9】設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）的兩個焦點，P是橢圓上任一點，那么|PF1｜·｜PF2｜的最大值為__________．解析：根據(jù)基本不等式“eq\r（ab)≤eq\f(a＋b，2)（a＞0，b＞0）”的變形“ab≤eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（eq\f（a＋b,2))）2”，得｜PF1｜·|PF2｜≤eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（eq\f（｜PF1|＋｜PF2｜,2)））2＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f（2a,2））)2＝a2，當(dāng)且僅當(dāng)｜PF1|＝|PF2|，即P是短軸端點時，取等號．所以|PF1|·｜PF2｜的最大值為a2。答案：a2【例10】長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2＝2x上移動，M為AB的中點，則M點到y(tǒng)軸的最短距離為__________．解析：如圖，拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線為l：x＝－eq\f(1,2），過A，B,M分別作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分別為A′，B′,M′。由拋物線定義，知|AA′｜＝|FA|，|BB′｜＝|FB|。又M