數(shù)學(xué)學(xué)案：第二講二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理1．了解圓內(nèi)接四邊形的概念，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及其應(yīng)用．2．理解圓內(nèi)接四邊形的判定定理及其推論，并能解決有關(guān)問(wèn)題．3．了解反證法在證明問(wèn)題中的應(yīng)用．1．性質(zhì)定理1文字語(yǔ)言圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角______符號(hào)語(yǔ)言若四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,則有∠A＋∠C＝______,∠B＋∠D＝______圖形語(yǔ)言作用證明兩個(gè)角互補(bǔ)【做一做1】四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠A＝25°，則∠C等于(）A．25°B．75°C．115°D．155°2．性質(zhì)定理2文字語(yǔ)言圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的______符號(hào)語(yǔ)言四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則有∠CBE＝______圖形語(yǔ)言作用證明兩個(gè)角相等【做一做2】四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,延長(zhǎng)AB到E，∠ADC＝32°，則∠CBE等于（）A．32°B．58°C．64°D．148°(1）利用這兩個(gè)性質(zhì)定理，可以借助圓變換角的位置，得到角的相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系，再進(jìn)行其他的計(jì)算或證明．（2）利用這兩個(gè)定理可以得出一些重要結(jié)論，如內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形等．3．圓內(nèi)接四邊形判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)四邊形的對(duì)角______,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓符號(hào)語(yǔ)言在四邊形ABCD中，如果∠B＋∠D＝______(或∠A＋∠C＝180°）,那么A，B,C,D四點(diǎn)共圓圖形語(yǔ)言作用證明四點(diǎn)共圓【做一做3】下列四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓的是(）A．梯形B．矩形C．平行四邊形D．菱形4．推論文字語(yǔ)言如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的______，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓符號(hào)語(yǔ)言在四邊形ABCD中,延長(zhǎng)AB到E，若∠CBE＝______，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓圖形語(yǔ)言作用證明四點(diǎn)共圓性質(zhì)定理1和判定定理互為逆定理,性質(zhì)定理2和判定定理的推論互為逆定理．【做一做4】如圖所示，四邊形ABCD的邊AB的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E,且BC＝BE，∠D＝80°，∠E＝50°，求證:四邊形ABCD內(nèi)接于圓．答案：1．互補(bǔ)180°180°【做一做1】D∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠A＋∠C＝180°.又∠A＝25°，∴∠C＝180°－∠A＝155°。2．對(duì)角∠ADC【做一做2】A∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠ADC＝∠CBE＝32°。3．互補(bǔ)180°【做一做3】B僅有矩形的對(duì)角互補(bǔ)，則矩形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．4．對(duì)角∠ADC【做一做4】證明：∵BC＝BE,∴∠E＝∠BCE。則∠EBC＝180°－2∠E＝80°，∴∠EBC＝∠D?！嗨倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓．反證法剖析：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理,導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法．用反證法證明一個(gè)命題的步驟為：（1）反設(shè)，（2）歸謬，（3）結(jié)論．反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè),掌握一些常用的互為否定的表達(dá)形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(?。┯?不大（?。┯冢欢际?不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有（n－1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)等．歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式,推理必須嚴(yán)謹(jǐn),但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水．導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾，與已知的公理、定義、定理、公式矛盾，與反設(shè)矛盾，自相矛盾等．對(duì)于一些從正面難以說(shuō)明的問(wèn)題，反證法往往有著出奇制勝的作用．例如,如圖，已知四邊形ABCD中，∠1＝∠2，下面證明A，B，C，D四點(diǎn)共圓．由A，B，D三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，設(shè)該圓為⊙O。假設(shè)A，B,C，D四點(diǎn)不共圓，則點(diǎn)C在⊙O外部或內(nèi)部．（1）如果點(diǎn)C在⊙O的外部(如圖①）．設(shè)BC與圓相交于點(diǎn)E，連接AE.∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB．而∠AEB是△AEC的外角，∴∠AEB＞∠2，這與∠2＝∠AEB相矛盾，故點(diǎn)C不能在圓外．(2）如果點(diǎn)C在⊙O的內(nèi)部(如圖②)，延長(zhǎng)BC與圓相交于點(diǎn)E,連接AE.則∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2,∴∠2＝∠AEB．但是∠2是△AEC的外角，∴∠2＞∠AEB,這與∠2＝∠AEB矛盾，∴點(diǎn)C不能在圓內(nèi)．綜上(1)（2)所述,可知點(diǎn)C在圓上．∴A,B，C,D四點(diǎn)共圓．該結(jié)論可作為定理直接應(yīng)用:與線段兩個(gè)端點(diǎn)連線的夾角相等(或互補(bǔ))的點(diǎn)連同該線段兩個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)共圓．題型一證明四點(diǎn)共圓【例題1】如圖，在△ABC中，E,D，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點(diǎn),且AP⊥BC于P，求證：E,D,P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．分析：連接PF，轉(zhuǎn)化為證明∠FED＝∠FPC，利用中點(diǎn)證明∠FED＝∠C，利用AP⊥BC證明PF＝FC，得∠C＝∠FPC，即得出∠FED＝∠FPC．反思：判定四點(diǎn)共圓的方法：①如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四個(gè)點(diǎn)共圓；②如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；③如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（如本題）;④與線段兩個(gè)端點(diǎn)連線的夾角相等（或互補(bǔ))的點(diǎn)連同該線段兩個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)共圓．題型二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用【例題2】如圖所示，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)E，EG平分∠AED，且與BC，AD分別交于點(diǎn)F，G。求證:∠CFG＝∠DGF。分析：由于∠BEF＝∠DEG，轉(zhuǎn)化為證明△EBF∽△EDG，又∠BFE與∠CFG是對(duì)頂角，問(wèn)題獲證．反思：當(dāng)已知條件中出現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形時(shí)，常用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理來(lái)獲得角相等或互補(bǔ),從而為證明三角形相似或兩條直線平行等問(wèn)題創(chuàng)造條件．答案：【例題1】證明：連接PF.∵AP⊥BC，F(xiàn)為AC的中點(diǎn),∴PF是Rt△APC斜邊上的中線．∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C.∵E,F，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，ED∥FC?！嗨倪呅蜤DCF為平行四邊形．∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED.∴E,D，P,F四點(diǎn)共圓．【例題2】證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠EBF＝∠ADE.又EF是∠AED的平分線,則∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB＝∠DGF，又∵∠EFB＝∠CFG，∴∠CFG＝∠DGF.1四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，則∠D＝__________。2如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝70°，CF是△ABC的邊AB上的高，F(xiàn)P⊥BC于點(diǎn)P，F(xiàn)Q⊥AC于點(diǎn)Q，則∠CQP的大小為__________．3如圖,AB為⊙O的直徑，C,D是⊙O上的兩點(diǎn)，∠BAC＝20°，＝，則∠DAC＝______。4如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形,過(guò)點(diǎn)A和B的圓與AD，BC分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．求證：C，D,E,F四點(diǎn)共圓．5如圖所示，AB，CD都是圓的弦，且AB∥CD,F為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)FD,AB使它們交于點(diǎn)E。求證:AE·AC＝AF·DE.答案：1．120°∵圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7,∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝140°.又∠B＋∠D＝180°,∴∠D＝180°－60°＝120°。2．50°∵FP⊥BC,FQ⊥AC，∴∠FPC＋∠FQC＝90°＋90°＝180°。∴四邊形FPCQ內(nèi)接于圓．∴∠CQP＝∠CFP.又∠A＝60°，∠ACB＝70°，∴∠B＝50°，∴∠PFB＝90°－∠B＝40°.又CF是△ABC的邊AB上的高,∴∠CFP＝90°－∠PFB＝50°?！唷螩QP＝50°.3．35°∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°?！唷螦BC＝90°－∠BAC＝90°－20°＝70°.又∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°.則在△ADC中，∠DAC＋∠DCA＝70°.又∵＝,∴∠DAC＝∠DCA?！唷螪AC＝35°.4．分析：連接EF.由∠B＋∠AEF＝180°，∠B＋∠C＝180°，可得∠AEF＝∠C。即四邊形EFCD的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角,故C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．證明：如圖所示，連接EF。∵ABCD為平行四邊形,∴∠B+∠C＝18