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期中押題培優(yōu)01卷
(考試范圍21.1-24.2)
一、單選題(共16分)
1.(本題2分)把一元二次方程無(2x-l)=x-3化為一般形式,正確的是()
A.2尤2+3=0B.2X2-2X-3=0
C.2X2-X+2=0D.2尤2—2X+3=0
【答案】D
【分析】將方程整理為一般式即可.
【詳解】解:x(2x-l)=x-3,
2尤~-x—x—3,
即2f-2x+3=0.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般式,掌握一元二次方程的一般式的形式為
ax?+bx+c=0(a片0)是解題的關(guān)鍵.
2.(本題2分)點(diǎn)尸(2,3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)p的坐標(biāo)是()
A.(2,-3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(3,2)
【答案】C
【分析】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù),據(jù)此判斷即可.
【詳解】根據(jù)“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)”可知:
點(diǎn)P(2,3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,-3).
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo),利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐
標(biāo)互為相反數(shù).
3.(本題2分)已知點(diǎn)A(—2,y),5(2,乃),。(3,%)均在拋物線y=;(xTy+左上,則%,%,%
的大小關(guān)系為()
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向下,對(duì)稱軸是直線.『1,根據(jù)后1時(shí),y隨x的增
大而增大,即可得出答案.
1,
【詳解】解:???y=5(x-iy+左,
...拋物線的開口向上,對(duì)稱軸是直線A1,
;.尤之1時(shí),y隨X的增大而增大,
又?.?4(—2,%)關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)是(4,%),3(2,%),C(3,%)
而2<3<4,
/.%<%<%,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,
能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.
4.(本題2分)用配方法解方程/一2犬-3=0時(shí),原方程應(yīng)變形為()
A.(x+1)2=4B.(^-1)2=4C.(尤+2『=7D.(x-2)2=7
【答案】B
[分析]利用完全平方公式儲(chǔ)±2"+"=(0土6)2進(jìn)行配方即可得.
【詳解】解:尤2-2尤一3=0,
/一2尤=3,
x~—2x+1=3+1,
(1)2=4,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程,熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵.
5.(本題2分)將矩形ABC。繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到矩形43。。,若48=12,4。=5,貝1]_。3。
的面積為()
A.13B.26C.84.5D.169
【答案】C
【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到0°,DB=D'B,繼而得到,。即,是等腰直角三角形,
利用勾股定理求出8。的長(zhǎng),即可求出.Da7的面積.
【詳解】解::矩形ABCD繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到矩形ABCD',
:.ZDBD'=9Q°,DB=D'B,
,,是等腰直角三角形,
;45=12,AD=5,
?*-BD=VAD2+AB2=A/122+52=13,
,.的面積為:xl3xl3=84.5,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的知識(shí),解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到ADB。是等腰直角三
角形,此題難度不大.
6.(本題2分)如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面,陰影部分為有水部分,如果輸水管的半徑為5cm,
水面寬AB為8cm,則水的最大深度CD為()
【答案】C
【分析】由垂徑定理可知=根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.
2
【詳解】解:如圖所示:
D
一輸水管的半徑為5cm,水面寬AB為8cm,水的最大深度為CD,
DOLAB,
/.AO=5cm,AC=—AB=4cm,
2
.-.C(9=752-42=3(cm),
CD=5-3=2(cm)
,水的最大深度8為:2cm.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理,準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
7.(本題2分)已知二次函數(shù)>=辦2+法+C(°HO)的圖象如圖所示,并且關(guān)于尤的一元二次方程
ov?+Zw+c—%=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,下歹U結(jié)論:@b2—4ac<0;?abc>0;?a-b+c<0;
@m>-2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】B
【分析】直接利用拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及拋物線與方程之間的關(guān)系、函數(shù)圖象與各系數(shù)之間關(guān)
系分析得出答案.
【詳解】解:觀察圖象得:二次函數(shù)>=加+法+或"。)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
A=Z?2-4tzc>0,故①錯(cuò)誤;
b
觀察圖象得:6/>0,c<0,對(duì)稱軸冗=——>0,
2a
:.b<0,
/.abc>0,故②正確;
觀察圖象得:當(dāng)x=-i時(shí),y>o,
「?。―b+c>0,故③錯(cuò)誤;
觀察圖象得:二次函數(shù)圖象開口向上,
???二次函數(shù)有最小值,最小值為-2,
???關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
???二次函數(shù)y=^2+"+c(〃w。)的圖象與直線%=根有兩個(gè)交點(diǎn),
?*.m>-2,故④正確;
故選:B
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系,正確把握二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系是
解題的關(guān)鍵.
8.(本題2分)如圖,。。在AABC三邊上截得的弦長(zhǎng)相等,即Z)E=PG=A/N,NA=50。,貝!1480c
=()
【答案】C
【分析】過點(diǎn)。作。尸,AB于點(diǎn)P,OQLAC于點(diǎn)。,OKLBC于點(diǎn)K,由于CE=FG=MN,所以
弦的弦心距也相等,所以。8、0C是角平分線,根據(jù)/A=50。,先求出
ZABC+ZACB=180°-ZA=130°,再求出,進(jìn)而可求出NBOC.
【詳解】解:過點(diǎn)。作于點(diǎn)P,OQLAC于點(diǎn)Q,OKLBC于點(diǎn)K,
:.OP=OK=OQ,
:.OB、OC^^AABC^WAACB,
ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,
22
VNA=50。,
???ZABC-^-ZACB=1800-ZA=130°,
ZOBC+ZOCB=-ZABC+-ZACB
22
=1(ZABC+ZACB)
=65°,
/.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)
=180-65°
=115°
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理,角平分線的判定,三角形內(nèi)角和,角平分線的定義,解題關(guān)鍵
是構(gòu)造出輔助線一弦心距.
二、填空題(共16分)
9.(本題2分)請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光觀察,以下歷屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中,你最為欣賞的圖標(biāo)是
【答案】②既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義解答即可.
【詳解】解:我最為欣賞的圖標(biāo)是②,選擇理由是②既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形
①是軸對(duì)稱圖形,③既不是軸對(duì)稱圖形,也不是中心對(duì)稱圖形,④是軸對(duì)稱圖形.
故答案為:②;既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形,掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵.
10.(本題2分)將拋物線>向上平移3個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位,所得拋物線的解析式是
【答案】y=(x-2)2+3
【分析】根據(jù)題意可得將拋物線y=x2向上平移3個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位,所得拋物線的頂
點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),即可求解.
【詳解】解::拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),
將拋物線y=V向上平移3個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位,所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),
所得拋物線的解析式是y=(x-2)2+3.
故答案為:y=(x-2『+3
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移,熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
11.(本題2分)定義:有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn),截得的三條弦相等,我
們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”,現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí),這個(gè)圓的
半徑為.
【答案】2-V2##-V2+2
【分析】如圖,當(dāng)?shù)认覉A。最大時(shí),則。經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C,連接CO交42于凡
連接OE,DK,再證明DK經(jīng)過圓心,CF±AB,分別求解AC,BC,CF,設(shè)的半徑為「,再
分別表示瓦再利用勾股定理求解半徑廠即可.
【詳解】解:如圖,當(dāng)?shù)认覉A。最大時(shí),則,。經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C,連接C。交43
于凡連接OE,DK,
QCD=CK=EQJACB90?,
\?COD?COK90?,DK過圓心。,CFLAB,
QAC=BC,?ACB90?,AB2,
\AC=BC=y/2,AF=BF=CF=-AB=l,
2
設(shè)<'O的半徑為
JCD=y/r2+r2=y/2r=EQ,OF=l-丫,OE=丫,
CFLAB,
整理得:--4r+2=0,
解得:q=2+a,4=2-血,
QOC<CF,
\r=2+應(yīng)不符合題意,舍去,
當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí),這個(gè)圓的半徑為2-忘.
故答案為:2-亞
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì),弦,弧,圓心角
之間的關(guān)系,圓周角定理的應(yīng)用,勾股定理的應(yīng)用,一元二次方程的解法,掌握以上知識(shí)是解本題
的關(guān)鍵.
12.(本題2分)關(guān)于尤的一元二次方程/-3x-機(jī)=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則機(jī)的取值范圍為.
91
【答案】m>—##m>-2.25##m>-2—
44
【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根,得出AK),建立關(guān)于加的不等式,求出機(jī)的取值范圍即可.
【詳解】解:根據(jù)題意得△=(-3尸-4xlx(-m)>0,
9
解得:m>--,
4
9
故答案為:m>--.
4
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程狽2+灰+c=o(〃/),a,b,c為常數(shù))根的判別式.當(dāng)A〉。,
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)A=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)A<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.
13.(本題2分)如圖,點(diǎn)A、B、。在。。上,ZB=130°,貝!JNAOC=°.
B
【答案】100
【分析】如圖所示,在優(yōu)弧AC上去一點(diǎn)。,連接AD,DC,利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出NADC
的度數(shù),再由圓周角定理求解即可.
【詳解】解:如圖所示,在優(yōu)弧AC上去一點(diǎn)。,連接ADDC,則四邊形A8CO是圓內(nèi)接四邊形,
ZB=130°,
JZADC=180°-ZB=50°,
???ZAOC=2ZADC=100o,
故答案為:100.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),圓周角定理,正確作出輔助線構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形是
解題的關(guān)鍵.
14.(本題2分)如圖,等邊,的邊在x軸上,點(diǎn)8坐標(biāo)為(2,0),以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心,把OAB
逆時(shí)針轉(zhuǎn)90。,則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是.
【答案】卜61)
【分析】過點(diǎn)A作08于瓦過點(diǎn)4作軸于H.利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.
【詳解】解:如圖,過點(diǎn)A作AE_LQB于E,過點(diǎn)4作軸于H.
:.OA=OB=AB=2,
AEYOB,
:.OE=EB=1,
AE=^AO2-OE2=722-I2=73,
AHLOH,
ZAHO=ZAEO=ZAOA=90°,
ZAOH+ZAOE=90°,ZAOE+ZOAE=90°,
:.ZAOH=ZOAE,
在,4。“和△。4£中
ZA'OH=ZOAE
<ZA'HO=ZAEO,
OA'^OA
:.^AOH=OAE(AAS),
.-.AH=OE=1,OH=AE=,
A-(-A/3,1),
故答案為:(-G,i).
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈
活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,屬于中考??碱}型.
15.(本題2分)某件商品連續(xù)兩次降價(jià)后,零售價(jià)由原來的500元降為405元,設(shè)此商品平均每次降
價(jià)的百分率為x,則恨據(jù)題意列出的方程是.
【答案】500(1-x)2=405
【分析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為尤,則第一次降價(jià)后售價(jià)為500(1-x),第二次降價(jià)后售價(jià)為
500(1-x)2,然后根據(jù)兩次降價(jià)后的售價(jià)建立等量關(guān)系即可.
【詳解】解:根據(jù)題意得500(1-尤y=405.
故答案為:500(1-xy=405.
【點(diǎn)睛】本題考查的是由實(shí)際問題抽象出一元二次方程,要注意題意指明的是降價(jià),應(yīng)該是(1-x)
而不是(1+x).
16.(本題2分)如圖,已知頂點(diǎn)為(-3,-6)的拋物線yuad+fcv+c經(jīng)過點(diǎn)(-1,-4),則下列結(jié)論:
①〃>4ac②qV+Ac+cN-e③若點(diǎn)(-2,㈤,(-5,〃)在拋物線上,則機(jī)④關(guān)于x的一元二次方程
加+6元+。=-4的兩根為-5和-1⑤(a+c)2>〃2,其中正確的有.
【答案】①②④
【分析】利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及其與一元一次不等式的關(guān)系,以及二次函數(shù)的對(duì)稱
性可以求解.
【詳解】由圖象知,拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),只是左邊那個(gè)沒畫出來而已,
由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可知,△=/-4">0,從而〃>4ac,故①正確;
已知該拋物線是開口向上,頂點(diǎn)為(-3,-6),故辦^^+之4正確,從而②正確;
由拋物線的對(duì)稱軸為4-3,點(diǎn)(-2,m),(-5,n)在拋物線上,則點(diǎn)(-2,m)離對(duì)稱軸的距離為1,
而點(diǎn)(5,〃)離拋物線的距離為2,開口向上時(shí),離對(duì)稱軸越遠(yuǎn),函數(shù)值越大,從而小〈小故③錯(cuò)
誤;
由圖象可知,4-1為關(guān)于x的一元二次方程依的一個(gè)根,由二次函數(shù)的對(duì)稱性,可知-5
為另一個(gè)根,從而④正確;
.拋物線y=加+bx+c頂點(diǎn)為(-3,-6),經(jīng)過點(diǎn)(-1,-4),
拋物線解析式可以化為:y=a(x+3)2-6,
A-4=a(-l+3)2-6,
1
Cl——,
2
:.b=3,c=——,
2
A(a+c)2=l,Z>2=9,故⑤錯(cuò)誤;
綜上,正確的是①②④.
故答案為:①②④.
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)圖象的綜合問題,考查了二次函數(shù)與一元二次方程,二次函數(shù)與一元一
次不等式,及二次函數(shù)的對(duì)稱性,難度中等.
三、解答題(共88分)
17.(本題6分)解方程:
(1)1)=—12
(2)2X2-4X-1=0.
【答案】(1)再=4,%=5;
_2+^/6_2—V6
22
【分析】(1)方程整理后,利用因式分解法求解即可;
(1)方程整理后,利用配方法求解即可.
(1)
解:方程整理得了之一9%+20=0,
因式分解得4)(%-5)=0,
解得:X|=4,X2=5;
(2)
解:方程整理得f-2x=g,
13
配方得Y-2尤+1=5+1,即(x-l)2=;,
.2土瓜
??X一,
2
.2+762-A/6
??西=口一,^2=^--
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有:直接開平方法、因式分解
法、公式法及配方法,解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法.
18.(本題6分)如圖,等邊ABC中,。是AC中點(diǎn),過C作CE〃A2,且求證:BD=AE.
【答案】見解析
【分析】只需要利用AAS證明△84。絲ZkACE即可證明結(jié)論;
【詳解】證明:???等邊三角形42c中,。是AC中點(diǎn),
:.AB=CA,8。是等邊三角形ABC的高,
VAEXCE,
ZADB=ZE=90°,
\'CE//AB,
:.NBAD=NACE,
在與ZMCE中
ZADB=ZE
?:]ZBAD=ZACE
AB^CA
.,.△BAD^AACE(AAS)
:.BD=AE.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定,平行線的性質(zhì),熟知等邊
三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.
19.(本題6分)己知。是方程2x—1=0的一個(gè)根,求代數(shù)式(a—2>+(a+l)(q—1)的值.
【答案】5
【分析】先根據(jù)條件。是方程尤2+x-l=0的一個(gè)根,得出/-20=1,然后把所給的代數(shù)式化簡(jiǎn)為
2(a2—2a)+3,代入a?-2a=1計(jì)算即可.
【詳解】是方程f-2x-l=0的一個(gè)根,
?*.a2-2a-l=0.
??a2—2a=1.
(a一2/+(〃+l)(a—1)
=/—4〃+4+a2—1
=2片—4。+3
=2(a2—2a)+3
=2x1+3
=5.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義,代數(shù)式求值,正確理解方程根的概念、利用整體代入
的方法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
20.(本題6分)如圖,已知A3、CD是。。的直徑,。b〃A3交。。于點(diǎn)兄BE〃DC交OO于點(diǎn)E.
C,
(1)求證:BE=DF;
(2)寫出圖中4組不同的且相等的劣?。ú灰笞C明).
【答案】(1)見解析;(2)答案不唯一,圖中相等的劣弧有:弧。尸=弧36,弧EC=弧物,弧AC=
弧8。,弧。4=弧8C
【分析】(1)根據(jù)。尸〃AB,BE//DC,得到尸,然后根據(jù)相等的弧所對(duì)的弦相等即可
證明BE=DF;
(2)根據(jù)等弦對(duì)等弧和相等的圓周角所對(duì)的弧相等即可得到4組不同的且相等的劣弧.
【詳解】⑴:。尸〃AB,BE//DC,
,ZEBA=ZCOA=ZCDF.
:.弧ECA=^CAF,
,弧8后=弧DF,
:.BE=DF-,
⑵由(1)可得,弧D4弧BE;
弧ECA=<CAF,
...弧EC二弧閉
ZAOC=NBOD,
...弧AC=M8。;
弧BE+弧EC=^AF+弧DF-,
二弧以=弧BC.
,綜上所述,圖中相等的劣弧有:弧£>/三弧BE,弧EC=弧陰,弧弧。4=弧8c
【點(diǎn)睛】此題考查了相等的圓周角所對(duì)的弧相等,弦相等,等弧對(duì)等弦等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練
掌握相等的圓周角所對(duì)的弧相等,弦相等,等弧對(duì)等弦等知識(shí).
21.(本題7分)下面是娜娜設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程.
已知:RTAABC,
求作:AB上作點(diǎn)D,使/BCD=/A.
作法:如圖,以AC為直徑作圓,交AB于D,所以點(diǎn)D就是所求作的點(diǎn);
根據(jù)娜娜設(shè)計(jì)的作圖過程,完成下面的證明.
證明::AC是直徑
.,.ZADC=90°()(填推理的依據(jù))
即/ACD+NA=90°,
,/ZACB=90°,
即ZACD+=90°,
/.ZBCD=ZA()(填推理的依據(jù)).
【答案】見詳解
【分析】根據(jù)直徑的性質(zhì)可得/ADC=90。,再利用同角的余角相等即可得證.
【詳解】證明::AC是直徑
.\ZADC=90°(直徑所對(duì)圓周角為直角)
即/ACD+/A=90°,
VZACB=90°,
即ZACD+ZBCD=90°,
.,.ZBCD=ZA(同角的余角相等).
【點(diǎn)睛】本題考查了直徑的性質(zhì)及同角的余角相等,熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
22.(本題7分)已知關(guān)于x的一元二次方程(03)尤2-化+2戶+1-2左=0億力3).
(1)判斷方程根的情況,并說明理由;
(2)若方程的所有實(shí)數(shù)根均為整數(shù),并且上也是整數(shù),求上的值.
【答案】(1)總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,理由見解析
⑵-2或2或4或8
4
【分析】(1)根據(jù)題意求出該一元二次方程根的判別式A=9(左-g)220,即得出該一元二次方程根
的情況為總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)根據(jù)因式分解法可求出該一元二次方程的解為玉=f—=2+三,x2=-l.再根據(jù)該方程
的所有實(shí)數(shù)根均為整數(shù),上也是整數(shù),即可得出人的值.
(1)
根據(jù)題意可知該一元二次方程根的判別式
4
A=b2-4ac=[-(%+2)『9一4(k-3)(1-2^)=%2-24^+16=9(k-j)2,
4,
V9(^--)2>0,即A20,
/.該一元二次方程根的情況為總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)
化一3卜2一化+2)%+l—2左=0(左w3)
.?.[(左一3)x+(l—2Q](x+l)=0(左w3),
2k—1.5?
..x=-------=2+-------,x=-1.
1k-3k-32
??.方程的所有實(shí)數(shù)根均為整數(shù),
,巧為整數(shù),即2+三為整數(shù).
k-3
???左也是整數(shù),
;.h3是5的因數(shù),
當(dāng)k-3=~5,即左=-2時(shí),x,=2-1=1;
當(dāng)無-3=-1,即上=2時(shí),\=2—5=—3;
當(dāng)h3=l,即左=4時(shí),玉=2+5=7;
當(dāng)k-3=5,即%=8時(shí),占=2+1=3.
綜上可知,上的值為:-2或2或4或8.
【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次方程根的判別式判斷其根的情況,解一元二次方程.掌握一元二次方
程辦2+6x+c=0(a+0)的根的判別式為A=I)?-4ac,且當(dāng)A>0時(shí),該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)△=()時(shí),該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)/<0時(shí),該方程沒有實(shí)數(shù)根和因式分解法解一元二次
方程是解題關(guān)鍵.
23.(本題7分)如圖,己知拋物線丫=內(nèi)2+法+。的頂點(diǎn)為4(4,3),與y軸相交于點(diǎn)8(0,-5),對(duì)
稱軸為直線/,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)并求直線AB的表達(dá)式;
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P,。分別在拋物線和對(duì)稱軸/上,當(dāng)以A,P,Q,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),
求P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】+4尤-5
(2)M(2,-1),y=2x-5
(3)尸、。的坐標(biāo)分別為(6,1)或(2,1)、(4,-3)或(4,1)或(4,5)
【分析】(1)函數(shù)表達(dá)式為:y=a(x-4)2+3,將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式,即可求解;
(2)44,3)、B(0,-5),則點(diǎn)M(2,-l),設(shè)直線A3的表達(dá)式為:y=kx-5,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式,
即可求解;
(3)分當(dāng)A〃是平行四邊形的一條邊、AM是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況,分別求解即可.
(1)
解:函數(shù)表達(dá)式為:y=a(x-4)2+3,
將點(diǎn)8坐標(biāo)代入上式并解得:。=-1,
故拋物線的表達(dá)式為:y=~x2+4x~5;
(2)
解::A(4,3)、8(0,-5),
.?.點(diǎn)M(2,T),
設(shè)直線AB的表達(dá)式為:y=kx-5,
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得:3=4k-5,解得:k=2,
故直線A2的表達(dá)式為:y=2x-5.
(3)
解:設(shè)點(diǎn)Q(4,s)、點(diǎn)P(m,~m2+4m-5),
①當(dāng)AM是平行四邊形的一條邊時(shí),
當(dāng)點(diǎn)。在A的下方時(shí),
點(diǎn)A向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到
同樣點(diǎn)尸(“%-;"f+4"-5)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到2(4,s),
1
BP::九一2=4,——nT9+4m—5-4=s,
2
解得:m=6,s=—3,
即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(6,1)、點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,-3),
故當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)A上方時(shí),AQ=MP=2,
同理可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,1)、點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,5),
②當(dāng)AM是平行四邊形的對(duì)角線時(shí),
由中點(diǎn)定理得:4+2=〃?+4,3-1=+4m-5+s,
解得:"7=2,s=1,
故點(diǎn)尸、Q的坐標(biāo)分別為(2,1)、(4,1);
綜上,P、。的坐標(biāo)分別為尸(6,1)或(2,1),。(4,5)或(4,-3)或(4,1).
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)等,其中(3),要
注意分類求解,避免遺漏.
24.(本題7分)如圖,在咫A3c中,ZB=90°,AB=6cm,3c=10cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊
向點(diǎn)8移動(dòng),速度為lcm/s;點(diǎn)。從點(diǎn)8開始沿3c邊向點(diǎn)C移動(dòng),速度為2cm/s,點(diǎn)P、。分別
從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
(1)幾秒時(shí),PQ的長(zhǎng)度為3&cm?
(2)幾秒時(shí),的面積為8cm°?
(3)當(dāng)r(0<f<5)為何值時(shí),四邊形APQC的面積最小?并求這個(gè)最小值.
【答案】(1)3秒時(shí),PQ的長(zhǎng)度為36cm
(2)2或4秒時(shí),△尸8。的面積為8cm2
(3)當(dāng)f=3時(shí),四邊形APQC的面積最小,最小值為21
【分析】(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒,分別用,的代數(shù)式表示出線段PB,的長(zhǎng)度,利用勾股定理列出
方程即可求解;
(2)利用三角形的面積公式列出方程即可求解;
(3)由四邊形APQC的面積=SABc-S.Bo,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
(1)
解:設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí),尸。的長(zhǎng)度為3&cm,
依題意得:AP-tcm,BQ=2fcm,
PjB=(6-r)cm.
ZB=90°,
:.PB-+BQ1=PQ,即(6—+(2f)2=(3方],
3
解得:t=3或-至負(fù)數(shù)不合題意,舍去).
:.t=3.
二3秒時(shí),P。的長(zhǎng)度為36cm;
(2)
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒時(shí),△PBQ的面積為8cm2,
依題意得:AP=tcm,BQ=2rcm,04/45,
PB=(6T)cm.
PBQ的面積為8cm2,
gx(6-f)*2f=8.
解得:f=2或4.
;.2或4秒時(shí),△PBQ的面積為8cm3
(3)
四邊形APQC的面積=sABC-SPBQ
=gxAB.BC-gxBQ.PB
=產(chǎn)—6r+30
=”3)2+21,
???當(dāng)r=3時(shí),四邊形APQC的面積最小,最小值為21.
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理,二次函數(shù)的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用,三角形的面積等知識(shí).本
題是動(dòng)點(diǎn)問題,利用含f的代數(shù)式表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.
25.(本題8分)如圖,A3是:)。的直徑,8是;。的一條弦,43_1。,連接4(7,0。.
⑴求證:NBOD=2NA;
(2)連接08,過點(diǎn)C作CE,DB,交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)。。,交AC于點(diǎn)/,若b為AC的中點(diǎn),
求證:直線CE為:。的切線.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】(1)設(shè)A3交。于點(diǎn)打,連接OC,證明Rt,CO"三Rt,故可得NCOW=NDOW,
于是BC=BD,即可得到N3Q£>=2ZA;
(2)連接AC,解出NCO3=60。,根據(jù)A3為直徑得到ZAD3=90。,進(jìn)而得到ZAB£>=60。,即可
證明OC〃D3,故可證明直線CE為。的切線.
(1)
證明:設(shè)A3交CD于點(diǎn)H,連接0C,
由題可知,
OC=OD,NOHC=NOHD=90°,
OH=OH,
.'.RtCOH^RtDOH(HL),
:.NCOH=NDOH,
BC=BD,
:.ACOB=ABOD,
/COB=23
:.ZBOD=2ZA;
(2)
證明:
E
連接AD,
OA=OD,
:.ZOAD=ZODA,
同理可得:ZOAC=ZOCA,ZOCD=ZODC,
???點(diǎn)〃是。。的中點(diǎn),點(diǎn)戶是AC的中點(diǎn),
ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC,
AOAD+Z.ODA+AOAC+AOCA+AOCD+AODC=180°,
ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC=30°,
ZCOB=2ZCAO=2x30。=60°,
QAB為。的直徑,
:.ZADB=90°,
ZABD=90-NDAO=90°-30°=60°,
ZABD=ZCOB=60°,
:.OC//DE,
QCE1BE,
:.CE^OC,
???直線CE為O的切線.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì),同弧所對(duì)的圓周角相等,圓周角定理,直線平行
的判定與性質(zhì),三角形的內(nèi)角和公式,證明三角形全等以及證明平行線是解題的關(guān)鍵.
26.(本題8分)在平面直角坐標(biāo)系%0y中,已知拋物線y=X2—2爾+加-1.
5-
4-
3-
2-
1-
?????____?????.
-5-4-3-2-1O-12345x
-1-
(1)當(dāng)帆=2時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)①求拋物線的對(duì)稱軸(用含m的式子表示);
②若點(diǎn)(M-LM),(加,%),(加+3,%)都在拋物線,=/-2〃箕+療_1上,則%,上,%的大小關(guān)
為;
(3)直線y=x+6與X軸交于點(diǎn)4(-3,0),與y軸交于點(diǎn)2,過點(diǎn)B作垂直于y軸的直線/與拋物線
丁=/-27蛆+加2_1有兩個(gè)交點(diǎn),在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)記為p,當(dāng)△O4P為鈍角三角形時(shí),求加
的取值范圍.
【答案】(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1);⑵①、=叫②%>%>%;⑶機(jī)>2或加<-1
【分析】(1)先將%=2代入拋物線的解析式,并配方可得拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)①根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸為x=-=計(jì)算可得結(jié)論;
②函數(shù)開口向上,時(shí)函數(shù)取得最小值,根據(jù)離對(duì)稱軸距離越遠(yuǎn),函數(shù)值越大可比較”,>2,心
的大小關(guān)系;
(3)當(dāng)AOA尸為鈍角三角形時(shí),則或機(jī)-2>-3,分別求解即可.
【詳解】解:(1)當(dāng)〃?=2時(shí),拋物線的解析式為:J;=X2-4X+3=(X-2)2-1,
,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1);
(2)①一拋物線y=尤?-2〃a+利2,
'1?函數(shù)對(duì)稱軸為尤==m;
2x1
②;函數(shù)開口向上,x=m時(shí)函數(shù)取得最小值,
離對(duì)稱軸距離越遠(yuǎn),函數(shù)值越大,
Qm-l<m<m+3,且點(diǎn)(”?-1,乂),(m,j2),(〃z+3,%)都在拋物線y=Y+-1上,
故答案為:
(3)把點(diǎn)A(-3,0)代入,=x+6的表達(dá)式并解得:6=3,
則3(0,3),直線的表達(dá)式為:y=x+3,
如圖,
在直線x=3上,當(dāng)NAOP=90時(shí),點(diǎn)P與B重合,
當(dāng)y=3時(shí),y=x2-2mx+m2-1=3,
貝[Jx=m±2,
,點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè),
.,.X=7〃+2>7〃不符合題意,舍去,
則點(diǎn)P(〃z—2,3),
當(dāng)AOAP為鈍角三角形時(shí),
貝!JO<〃z—2<機(jī)或加一2<—3,
解得:加>2或加<-1,
7"的取值范圍是:m>2或m<-1.
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù),解不等式,一元二次方程根的判別式,
鈍角三角形判斷的方法等知識(shí)點(diǎn),第三問有難度,確定NA。尸為直角時(shí)點(diǎn)尸的位置最關(guān)鍵.
27.(本題10分)如圖,在A4BC中,^5=4。,/&^?=£,點(diǎn)。在8。上,以點(diǎn)A為中心,將線段
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接
(1)按要求作出圖形;
(2)若a=90。,用等式表示線段DC,£啰,DE大小關(guān)系,并證明;
(3)若a=120。,AB=26,〃為8C的中點(diǎn),求ME的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)DC2+DB2=DE2,見解析;(3)空
2
【分析】(1)按要求畫出圖形即可;
(2)通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明出AAEBMAADC從而推出NEBA=NC=45o,£B=DC,由勾股定理可知
EB2+DB2=DE2,所以可知0c2+。序=?!?;
(3)通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明出AA£B-AADC推出/瓦4=/。=30。,/班。=/£154+//45。=60???/p>
知點(diǎn)E在射線BE上運(yùn)動(dòng),N£BC=60。當(dāng)M為3c中點(diǎn),BM=3,由垂線段最短可知M/L3E,
MH=-BM=之叵即ME最4、為正
222
【詳解】.⑴如圖,
(.2)DC2+DB2=DE2
證明:VZCAB=ZDAE=90°,
:.ZBAE=ZCAD
":DA=EA,CA=BA
:.ZC=ZABC^45°,AAEB^AADC
:.NEBA=NC=45°、EB=DC
ZEBC=ZEBA+ZABC=90°
?*-
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