浙江省寧波市第七中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

浙江省寧波市第七中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.2．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.3．設(shè)雙曲線與橢圓：有公共焦點(diǎn)，.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)為雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則的余弦值為（）A. B.C. D.4．若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于55．若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．某次生物實(shí)驗(yàn)6個(gè)小組的耗材質(zhì)量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.658．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.9．已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.10．經(jīng)過點(diǎn)，且被圓所截得的弦最短時(shí)的直線的方程為（）A. B.C. D.11．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（）A.10 B.30C.40 D.4612．已知拋物線上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.14．已知偶函數(shù)部分圖象如圖所示，且，則不等式的解集為______.15．過點(diǎn)，且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______16．若函數(shù)處取極值，則___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.18．（12分）某高中招聘教師，首先要對(duì)應(yīng)聘者的簡歷進(jìn)行篩選，簡歷達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)應(yīng)聘者要回答3道題，第一題為教育心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得4分，答錯(cuò)得0分，后兩題為學(xué)科專業(yè)知識(shí)，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊來應(yīng)聘，他們中僅有3人的簡歷達(dá)標(biāo)，若從這5人中隨機(jī)抽取3人，求這3人中恰有2人簡歷達(dá)標(biāo)的概率；（2）某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，每道題答對(duì)與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績X的分布列及數(shù)學(xué)期望19．（12分）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為側(cè)棱上一點(diǎn)（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，平面與側(cè)棱于點(diǎn)，且，求四棱錐的體積22．（10分）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上的等軸雙曲線；（2）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，且它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)；（3）經(jīng)過點(diǎn)拋物線

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先計(jì)算拋物線上的點(diǎn)P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【詳解】設(shè)，由圓心，得，∴時(shí)，，∴故選：C.2、D【解析】設(shè)，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，折痕與直線AB垂直，進(jìn)而求出斜率，用點(diǎn)斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D3、A【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A4、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個(gè)點(diǎn)的情況成立；再考慮空間里，只有四個(gè)點(diǎn)的情況成立，注意運(yùn)用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷解：考慮平面上，3個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成一個(gè)正四面體，成立；若n＞4，由于任三點(diǎn)不共線，當(dāng)n=5時(shí)，考慮四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第五個(gè)點(diǎn)，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點(diǎn)的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯(cuò)題5、B【解析】由條件結(jié)合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結(jié)合可得當(dāng)點(diǎn)不為雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，可得，即當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B6、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)由題意，得，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D7、D【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】由題設(shè)，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.8、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B9、C【解析】過作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長為，則，故，.點(diǎn)睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個(gè)重要的隱含條件，通過作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.10、C【解析】當(dāng)是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)被圓所截得的弦最短，此時(shí)，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關(guān)鍵11、C【解析】可分為女教師0人，男教師3人和女教師1人，男教師2人兩種情況，用組合數(shù)表示計(jì)算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C12、B【解析】將點(diǎn)代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程可得，解得則故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出，然后當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可求出，再驗(yàn)證，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可求出，再將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，所以，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，得，滿足此式，所以，因?yàn)椋詳?shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以對(duì)于任意的，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列通項(xiàng)公的求法，等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式后求得，再將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題14、【解析】由函數(shù)的圖象得出當(dāng)時(shí)，，再由函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】是偶函數(shù)，且，所以，由圖象得當(dāng)時(shí)，.又函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為.故答案為：.15、【解析】方法一：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長最小，由線段的中點(diǎn)為圓心，其長一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段的中點(diǎn)，半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16、3【解析】=．因?yàn)閒（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進(jìn)一步求得面積【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得因，所?因?yàn)榻菫殁g角，所以角為銳角，所以【小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=18、（1）（2）分布列見解析；期望為【解析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可求出數(shù)學(xué)期望【小問1詳解】從這5人中隨機(jī)抽取3人，恰有2人簡歷達(dá)標(biāo)的概率為【小問2詳解】由題可知，X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，則，，，，，.故X的分布列為：X0346710P所以19、（1）（2）【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo),求出,利用向量的夾角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一個(gè)法向量,利用向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,所以，所以直線所成角的余弦值為；【小問2詳解】設(shè)為平面的一個(gè)法向量，,則m?，同理,則,可取平面的一個(gè)法向量為，則,由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20、（1）;（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義求出a，再由關(guān)系求b，即可得解；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計(jì)算出，根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算，即可證明成等差數(shù)列.【小問1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問2詳解】設(shè).當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數(shù)列.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為，由，消去x得.即，成等差數(shù)列，綜上可得，，成等差數(shù)列.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得出；（2）分析可知為的中點(diǎn)，平面，計(jì)算出梯形的面積，利用錐體的體積公式可求得四棱錐的體積【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)?，平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，所以，，則，所以，四邊形是直角梯形，又是中點(diǎn)，所以，，所以，由平面，平面，所以，從而，正三角形中，是中點(diǎn)，，即，，所以平面，因?yàn)椋?22、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線的性