2025屆陜西省西安市第七十中學數學高一上期末達標檢測試題含解析

2025屆陜西省西安市第七十中學數學高一上期末達標檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在底面為正方形的四棱錐中，側面底面，，，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.2．一個容量為1000的樣本分成若干組，已知某組的頻率為0．4，則該組的頻數是A.400 B.40C.4 D.6003．點直線中，被圓截得的最長弦所在的直線方程為（）A. B.C. D.4．函數y=|x2-1|與y=a的圖象有4個交點，則實數a的取值范圍是A.(0，) B.(-1，1)C.(0，1) D.(1，)5．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.6．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．根據國家有關規(guī)定：駕駛人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于醉酒駕車．假設某駕駛員一天晚上點鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時的速度減少，則他次日上午最早（）點（結果取整數）開車才不構成酒駕．（參考數據：，）A. B.C. D.7．函數的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長為，則的值是（）A. B.C. D.8．設函數的圖象為，關于點A（2，1）的對稱圖象為，若直線y=b與有且僅有一個公共點，則b的值為A.0 B.-4C.0或4 D.0或-49．函數f(x)＝，的圖象大致是（）A. B.C. D.10．將函數y＝cosx＋sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知冪函數的圖像過點，則___________.12．給出下列命題：①函數是偶函數；②方程是函數的圖象的一條對稱軸方程；③在銳角中，；④函數的最小正周期為；⑤函數的對稱中心是，，其中正確命題的序號是________.13．已知函數在區(qū)間上恰有個最大值，則的取值范圍是_____14．已知函數(，且)的圖象恒過定點，且點在冪函數的圖象上，則__________.15．已知一組數據，，…，的平均數，方差，則另外一組數據，，…，的平均數為______，方差為______16．已知函數是定義在上且以3為周期的奇函數，當時，，則時，__________，函數在區(qū)間上的零點個數為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）求函數的單調遞減區(qū)間；（2）求函數的最值并寫出取最值時自變量的值；（3）若函數為偶函數，求的值.18．已知二次函數的圖象關于直線對稱，且關于的方程有兩個相等的實數根.（1）的值域；（2）若函數且在上有最小值，最大值，求的值.19．已知函數，且（1）求a的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調性，并用單調性的定義證明你的判斷20．已知函數（1）判斷并說明函數的奇偶性；（2）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍21．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是CB、CD、CC1的中點（Ⅰ）求證：平面AB1D1∥平面EFG；（Ⅱ）A1C⊥平面EFG

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由已知可得PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因為PB∥CM，所以ACM就是異面直線PB與AC所成的角,再求解即可.【詳解】由題意：底面ABCD為正方形，側面底面，，面面，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，∵PM∥AD，AD∥BC，PM＝AD，AD＝BC∴PBCM是平行四邊形，∴PB∥CM，所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角設PA＝AB＝a，在三角形ACM中，，∴三角形ACM是等邊三角形所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°故選：C.【點睛】思路點睛：先利用面面垂直得到PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，得到∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角2、A【解析】頻數為考點：頻率頻數的關系3、A【解析】要使得直線被圓截得的弦長最長，則直線必過圓心，利用斜率公式求得斜率，結合點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心坐標為，要使得直線被圓截得的弦長最長，則直線必過圓心，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即所求直線的方程為.故選：A.4、C【解析】作函數圖象，根據函數圖像確定實數a的取值范圍.【詳解】作函數圖象，根據函數圖像得實數a的取值范圍為（0，1），選C.【點睛】利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質問題，函數的零點、方程根的問題，有關不等式的問題等.解決上述問題的關鍵是根據題意畫出相應函數的圖象，利用數形結合的思想求解.5、B【解析】首先確定全集，而后由補集定義可得結果【詳解】解：，又，.故選B【點睛】本題考查了集合的補集，熟練掌握補集的定義是解決本題的關鍵，屬于基礎題型.6、D【解析】根據題意可得不等式，解不等式可求得，由此可得結論.【詳解】假設經過小時后，駕駛員開車才不構成酒駕，則，即，，則，，次日上午最早點，該駕駛員開車才不構成酒駕.故選：D.7、D【解析】由正切函數的性質，可以得到函數的周期，進而可以求出解析式，然后求出即可【詳解】由題意知函數的周期為，則，所以，則.故選D.【點睛】本題考查了正切函數的性質，屬于基礎題8、C【解析】先設圖像上任一點以及P關于點的對稱點，根據點關于點對稱的性質，用p的坐標表示的坐標，再把的坐標代入f(x)的解析式進行整理，求出圖象的解析式，通過對解析式值域的分析，再結合直線y=b與有且僅有一個公共點，來確定未知量b的值?！驹斀狻吭O圖像上任一點，且P關于點的對稱點，則有，解得，又點在函數的圖像上，則有，那么圖像的函數為，當時，，，當且僅當時取到等號，此時取到最小值4，直線y=b與只有一個公共點，故b=4，同理當時，，，即，此時取到最大值0，當且僅當x=3時取到等號，直線y=b與只有一個公共點，故b=0.綜上，b的值為0或4.故選：C【點睛】利用基本不等式求出函數最值時，要注意函數定義域是否包含取等點，本題是一道函數綜合題9、A【解析】判斷函數的奇偶性，以及函數在上的符號，利用排除法進行判斷即可【詳解】∵f(x)＝，∴，，∴函數是奇函數，排除D，當時，，則，排除B，C.故選：A10、A【解析】由題意結合輔助角公式可得，進而可得g(x)＝2sin，由三角函數的性質可得，化簡即可得解.【詳解】設f(x)＝cosx＋sinx＝2sin，向左平移m個單位長度得g(x)＝2sin，∵g(x)的圖象關于y軸對稱，∴，∴m＝,由m>0可得m的最小值為.故選：A.【點睛】本題考查了輔助角公式及三角函數圖象與性質的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】先設冪函數解析式，再將代入即可求出的解析式，進而求得.【詳解】設，冪函數的圖像過點，，，，故答案為：12、①②③【解析】由誘導公式化簡得函數，判斷①正確；求出函數的圖象的對稱軸（），當時，，判斷②正確；在銳角中，由化簡得到，判斷③正確；直接求出函數的最小正周期為，判斷④錯誤；直接求出函數的對稱中心是，判斷⑤錯誤.【詳解】①因為函數，所以函數是偶函數，故①正確；②因為函數，所以函數圖象的對稱軸（），即（），當時，，故②正確；③在銳角中，，即，所以，故③正確；④函數的最小正周期為，故④錯誤；⑤令，解得，所以函數的對稱中心是，故⑤錯誤.故答案為：①②③【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質、誘導公式與三角恒等變換，是中檔題.13、【解析】將代入函數解析式，求出的取值范圍，根據正弦取8次最大值，求出的取值范圍【詳解】因為，，所以，又函數在區(qū)間上恰有個最大值，所以，得【點睛】三角函數最值問題要注意整體代換思想的體現，由的取值范圍推斷的取值范圍14、【解析】先求出定點的坐標，再代入冪函數，即可求出解析式.【詳解】令可得，此時，所以函數(，且)的圖象恒過定點，設冪函數，則，解得，所以，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是利用指數函數的性質和圖象的特點得出，設冪函數，代入即可求得，.15、①.11②.54【解析】由平均數與方差的性質即可求解.【詳解】解：由題意，數據，，…，的平均數為，方差為故答案：11，54.16、①.②.5【解析】（1）當時，，∴，又函數是奇函數，∴故當時，（2）當時，令，得，即，解得，即，又函數為奇函數，故可得，且∵函數是以3為周期的函數，∴，，又，∴綜上可得函數在區(qū)間上的零點為，共5個答案：，5三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當時，；當時，；（3）.【解析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數的單調性求解作答.（2）利用（1）中函數，借助正弦函數的最值計算作答.（3）求出，再利用三角函數的奇偶性推理計算作答.【小問1詳解】依題意，，由得：，所以函數的單調遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，當，即時，，當，即時，，所以，當時，，當時，.【小問3詳解】由（1）知，，因函數為偶函數，于是得，化簡整理得，而，則，所以的值是.18、（1）（2）或【解析】（1）由題意可得且，從而可求出的值，則得，然后求出的值域，進而可求出的值域，（2）函數，設，則，然后分和兩種情況求的最值，列方程可求出的值【小問1詳解】根據題意，二次函數的圖象關于直線對稱，則有，即，①又由方程即有兩個相等的實數根，則有，②聯立①②可得：，，則，則有，則，即函數的值域為；【小問2詳解】根據題意，函數，設，則，當時，，則有，而，若函數在上有最小值，最大值，則有，解可得，即，當時，，則有，而，若函數在上有最小值，最大值，則有，解可得，即，綜合可得：或19、（1）4（2）在區(qū)間上單調遞減，證明見解析【解析】（1）直接根據即可得出答案；（2）對任意，且，利用作差法比較的大小關系，即可得出結論.【小問1詳解】解：由得，解得；【小問2詳解】解：在區(qū)間內單調遞減，證明：由（1）得，對任意，且，有，由，，得，，又由，得，于是，即，所以在區(qū)間上單調遞減20、（1）為奇函數（2）【解析】（1）利用函數的奇偶性判斷即可；（2）由（1）知為奇函數且單調遞增，將不等式恒成立分離參數，利用基本不等式解得即可.【詳解】（1）函數的定義域為，，所以為奇函數.（2）由（1）知奇函數且定義域為，易證在上單調遞增，所以不等式恒成立，轉化，即對恒成立，所以對恒成立，即，因，則，所以，即，所以，故實數的取值范圍為.【點睛】本題考查函數奇偶性的定義，以及利用奇偶性，單調性解不等式恒成立問題，屬于中檔題.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）連接，推導出四邊形是平行四邊形，從而.再證出，.從而平面，同理平面，由此能證明平面平面（Ⅱ）推導出，，從而平面，，同理，由此能證明平面AB1D1，從而平面【詳解】（Ⅰ）連接BC1，∵正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB=C1D1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴AD1∥BC1.又∵E，G分別是BC，CC1的中點，∴EG∥BC1，∴EG∥AD1.又∵EG?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，∴EG∥平面AB1D1.同理EF∥平面AB1D1，且EG∩EF=E，EG?平面EFG，EF?平面EFG，∴