概率統(tǒng)計教案

第一章隨機(jī)事件與概率

第一節(jié)隨機(jī)事件

教學(xué)目的：了解概率的主要任務(wù)及其研究對象；掌握隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件等基本概念;

掌握隨機(jī)事件間的關(guān)系與運(yùn)算，了解其運(yùn)算規(guī)律。

教學(xué)重點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)事件，事件間的關(guān)系與運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：事件（關(guān)系、運(yùn)算）與集合的對應(yīng)，用運(yùn)算表示復(fù)雜事件。

教學(xué)內(nèi)容：

1、隨機(jī)現(xiàn)象與概率統(tǒng)計的研究對象

隨機(jī)現(xiàn)象：在一定的條件下，出現(xiàn)不確定結(jié)果的現(xiàn)象。

研究現(xiàn)象：概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。

2、隨機(jī)試驗(yàn)（E）

對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察。特點(diǎn)①試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù);②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不只一個,

但事先已知；③每次試驗(yàn)出現(xiàn)一個且出現(xiàn)一個，哪個出現(xiàn)事先不知。

3、基本事件與樣本空間

（1）基本事件：E中的結(jié)果（能直接觀察到，不可再分），也稱為樣本點(diǎn)，用0表示。

（2）樣本空間：E中所有基本事件的集合稱為這個隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，用Q表

zj\O

4、隨機(jī)事件

（1）隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的時間。用A、B、C等表示。

（2）隨機(jī)事件的集合表示

（3）隨機(jī)事件的圖形表示

必然事件（Q）和不可能事件（E）

5、事件間的關(guān)系與運(yùn)算

（1）包含（子事件）與相等

（2）和事件（加法運(yùn)算）

（2）積事件（乘法運(yùn)算）

（3）互斥關(guān)系

（4）對立關(guān)系（逆事件）

（5）差事件（減法運(yùn)算）

6、事件間的運(yùn)算規(guī)律

（1）交換律；（2）結(jié)合律；（3）分配律；（4）對偶律

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題一1、2

第二節(jié)概率的定義

教學(xué)目的：掌握概率的古典定義，幾何定義，統(tǒng)計定義及這三種概率的計算方法；了解

概率的基本性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：古典概率的計算，頻率性質(zhì)與統(tǒng)計概率。

教學(xué)內(nèi)容：

1、概率

用于表示事件A發(fā)生可能性大小的數(shù)稱為事件A的概率，用P(A)表示。

2、古典型試驗(yàn)與古典概率

(1)古典型試驗(yàn)：特點(diǎn)①基本事件只有有限個；②所有基本事件的發(fā)生是等可能的。

(2)古典概率，在古典型試驗(yàn)中規(guī)定

A中含的基本事件數(shù)=k

)一Q中基本事件總數(shù)F

3、幾何型試驗(yàn)與幾何概率

(1)幾何型試驗(yàn)

向區(qū)域G內(nèi)投點(diǎn)，點(diǎn)落在G內(nèi)每一點(diǎn)處是等可能的，落在子區(qū)域G］內(nèi)(稱事件A發(fā)生)

的概率與G］的度量成正比，而與G］的位置和形狀無關(guān)。

(2)幾何概率。在幾何型試驗(yàn)中規(guī)律定

G1的度量

P(A)=

G的度量

4、頻率與統(tǒng)計概率

(1)事件的概率

r

設(shè)在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了r次，則稱比值一為在這n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生

n

的頻率，記為/(A)=￡

n

(2)頻率的性質(zhì)

①0W力(A)W1；②力(Q)=l；③力(①)=0；

④45=①時，fn(A+B)^fn(A)+fn(B)；

⑤隨機(jī)性：廠的出現(xiàn)是不確定的；⑥穩(wěn)定性：￡,(A)--8)

(3)統(tǒng)計概率，規(guī)定

P(A)=P

(4)統(tǒng)計概率的計算

p(A)?—(n很大)

n

5、概率的基本性質(zhì)

從以上三種定義的概率中可歸納得到：

(1)O<P(A)<1;

(2)P(Q)=1

(3)P0)=O

(4)若AB=。，則p(A+3)=P(A)+P(3)

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題一4、7、8、11

第三節(jié)概率的公理化體系

教學(xué)目的：掌握概率的公理化定義及概率的性質(zhì)；會用概率的基本公式求概率。

教學(xué)重點(diǎn)：概率的公理化定義；概率基本公式。

教學(xué)難點(diǎn)：用概率基本公式計算概率。

教學(xué)內(nèi)容：

1、概率的公理化定義

(1)為什么要用公理定義概率

①數(shù)學(xué)特點(diǎn)；②深入研究的需要；③是第二節(jié)中三種特殊形式的擴(kuò)展。

(2)定義

設(shè)A為隨機(jī)試驗(yàn)E中的任何事件，如果函數(shù)P(A)滿足

公理一(范圍)O<P(A)<1；

公理二(正則性)2(。)=1；

公理三(可列可加性)。若可列個事件4,42，4…A,…兩個互斥，則

0000

P(ZA,)=ZP(4)

n=ln=l

則稱P(A)為事件A的概率。

2、概率的性質(zhì)

從公理出發(fā)，可以嚴(yán)格證明

性質(zhì)1：P(*=0

性質(zhì)2：若事件A，4,A3…A”…兩兩互斥，則〃(之4)=丑

n=\n=\

性質(zhì)3：對任何事件A,P(A)=1-P(A)

性質(zhì)4：若Au8,則P(A-B)=P(B)-P(A)

性質(zhì)4'P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(AB)

注:①P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)

②A^BP(A)<P(B)

性質(zhì)5P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)

注：性質(zhì)5對任意有限個事件情況可以擴(kuò)展

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題一15、16

第四節(jié)條件概率，乘法定理、全概率公式與貝葉斯公式

教學(xué)目的：理解條件概率的定義和概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式。使學(xué)生

掌握條件概率和概率的乘法公式，全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用。

教學(xué)重點(diǎn)：條件概率、乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式。

教學(xué)難點(diǎn)：條件概率的確定，用全概率公式和貝葉斯公式計算概率。

教學(xué)內(nèi)容：

1、條件概率

(1)實(shí)際問題中要確定在某事件已發(fā)生時，另一事件的概率，看書020例，在具體問題

求條件概率。

(2)定義：若P(B)>0,稱

P(A|B)=P(AB)

P(B)

為在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率。

2、概率的乘法公式

(1)P{AB)=P{B}P{^B)

=P(A).P(@A)

⑵P(ABC)=P(A)P(@A)P(CAB)

⑶P(A4…4)=P(AM(4|A)P(A3AA2)……AJ

3、概率的全概率公式與貝葉斯公式

⑴看書023。例3分析和解決看兩公式的實(shí)際背景。

(2)定理I設(shè)事件A,4，4…4兩兩互斥，且P(A)〉oa=1,2,????),對于任何

事件B,若之AjnB,則有P(3)=￡P(guān)(A)P(@A)(全概率公式)

i=li=\

(3)定理2,定理1中的事件中，又P(B)>0,則有

尸(4)一(冏4)

P(AmIB)=n(m=l,2,X貝葉斯公式)

其尸(A)夕(網(wǎng)A)

i=l

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題一12、14、17、18

第五節(jié)獨(dú)立試驗(yàn)概型

教學(xué)目的:掌握獨(dú)立性的概念。會判斷數(shù)乘的獨(dú)立性并進(jìn)行概率計算;掌握貝努里概型，

會用二項(xiàng)概率公式計算概率。

教學(xué)重點(diǎn)：事件獨(dú)立性的概念，具有獨(dú)立性的事件但相應(yīng)的概率計算，貝努里概型與貝

努里概型意義的正確理解。

教學(xué)內(nèi)容：

1、兩事件的獨(dú)立性

定義1對任意兩事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A、B相互獨(dú)立。

2、兩事件獨(dú)立的性質(zhì)

若事件A與B獨(dú)立，則事件A與方，福B,X與五都相互獨(dú)立。

3、三事件的獨(dú)立性

定義2設(shè)有事件A、B、C,若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AQ=P(A)P(C)、P(BC)=P(B)P(C),

則稱事件A,B,C,兩兩相互獨(dú)立；又，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱事件A,B,C相互

獨(dú)立。

4、n個事件的獨(dú)立性

定義3、設(shè)有事件4…4，若P(&)M&A一夕(4」其中(，；，馬，…，。為Q2,

…“)中任意s個不同的數(shù)。(s=2,3,,〃)則事件4/2,4…A,相互獨(dú)立。

5、獨(dú)立情況的概率公式

定理1.設(shè)事件A，A2，A3…4相互獨(dú)立，則

⑴p(￡a)=￡p(a)

i=lz=l

(2)P(￡d)=l—(&

力=1i=l

定理2、若事件A,B,C獨(dú)立，則A+B、AB.A—5分別與C獨(dú)立。

6、貝努里概型

(1)貝努里試驗(yàn)：只有兩個結(jié)果(人和入)的試驗(yàn)。

P(A)=p,P(A)=q,0<P<1,p+q=1

(2)“重貝努里試驗(yàn)：把同一個貝努里試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)“次。也稱貝努里概型。

7.二項(xiàng)概率公式

在“重貝努里試驗(yàn)中，時間A恰好發(fā)生女次的概率為

Pn(k)=C：pkq『k,k=0』,2,,n

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題一19、23、26、27、28

第二章隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)隨機(jī)變量與分布函數(shù)

教學(xué)目的：掌握隨機(jī)變量的概念，并利用其表示隨機(jī)事件，掌握隨機(jī)變量的分布函數(shù)的

概念和性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：隨機(jī)變量的概念；隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義及其性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：對隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的正確理解。

教學(xué)內(nèi)容：

1.隨機(jī)變量的概念

(1)引入隨機(jī)變量的目的

深入研究隨機(jī)試驗(yàn)；求概率；整體描述隨機(jī)試驗(yàn)。

(2)定義

定義1、設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Q,若VoeO,有一個實(shí)數(shù)其⑼與之對應(yīng)，則其⑼

稱為隨機(jī)變量，并簡記為

2.事件的表示

(1)對J的取值加上<、>、=、/形式的限制條件。

(2)S為一個數(shù)集。{]eS}

3.概率分布

(1)隨機(jī)變量&取得概率的點(diǎn)及其數(shù)量的分布情況。

(2)可用J的概率分布確定J表示的事件的概率

(3)兩個大的類型：

離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量

4.分布函數(shù)

(1)定義2、設(shè)有隨機(jī)變量對于任何實(shí)數(shù)無，稱概率為隨機(jī)變量&的分

布函數(shù)。記為/(無)=<X)(TO<X<+8)

(2)分布函數(shù)的幾何意義

落在數(shù)軸X點(diǎn)左側(cè)(含X點(diǎn))處概率的數(shù)量。

(3)Va<b,P(a<^<b)=F(b)-F(a)

5.分布函數(shù)的性質(zhì)

(1)0<F(x)<l

⑵F(-oo)=0,=l

(3)/(x)是單調(diào)不減函數(shù)，Va<b則尸(a)〈尸3)

(4)/(x)是右連續(xù)函數(shù)，即V%/(尤+0)=下(無)

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題二5

第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其概率分布

教學(xué)目的：掌握離散型隨機(jī)變量的概念及其概率分布的幾種表示方法；掌握四種常見的

離散性分布。

教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的概率分布；0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布

四種常見分布。

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解概率分布；四種常見分布與所描述試驗(yàn)的對立性。

教學(xué)內(nèi)容：

1.離散型隨機(jī)變量

如果隨機(jī)變量&的所有可能取值只有有限個或可列個，則稱4為一個離散型隨機(jī)變量。

2.概率分布

J取值：x1,x2,

(1)圖形表示

(2)公式表示

p(a，i=12

(3)表格表示

3.概率分布的基本性質(zhì)

(1)>0,i-1,2,

00

⑵±Pi=1

i=l

4.確定概率

P(2)=￡p,

Xj<S

5.求分布函數(shù)

F(x)=￡pj(階梯型函數(shù))

6.常見的離散型分布

(1)0—1分布

(2)二項(xiàng)分布

(3)泊松分布

(3)超幾何分布

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題二3、6、7、9

第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)

教學(xué)目的：掌握連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)的定義；會求概率；掌握均勻分布和

指數(shù)分布。

教學(xué)重點(diǎn)：連續(xù)型隨機(jī)變量；概率密度函數(shù)；均勻分布和指數(shù)分布。

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解概率密度函數(shù)

教學(xué)內(nèi)容：

1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義

(1)說明當(dāng)隨機(jī)變量取值充滿某區(qū)間時，象離散型情況那樣給出概率分布的不可行

性。

(2)連續(xù)取值隨機(jī)變量的概率(線)密度

一、P(x<^<x+Ax)F(x+Ax)-F(x)

f(x)=lrim------------------------=lim-------------------------=F(x)

—>+AxAr-0+Ax

(在分布函數(shù)F\x)的可微點(diǎn)處)

(3)定義

設(shè)隨機(jī)變量&的所有可能取值充滿某個區(qū)間，如果存在一個非負(fù)函數(shù)/(%),使得&的

分布函數(shù)尸(x)=P(JVx)=「°0/⑺力(一8<%<+8)則稱4為一個連續(xù)型隨機(jī)變量。

/(X)稱為J的概率密度函數(shù)(或分布密度函數(shù))

2.f(x)的性質(zhì)

(1)/(%)相當(dāng)于離散型概率分布中的P-

(2)基本性質(zhì)

①/(x)>0；②:f(x)dx=1

J-00

(3)\/a<b,P(a<b)=ff{x}dx

Ja

(4)幾何意義

(5)Wa,P(J=a)=0,從而

P(a<《<》)=P(a<<^<l>)=P(a<^<b)=P(a<<^<Z?)=j于(x)dx

(6)f(x)=F'(x)(在/(x)的連續(xù)點(diǎn)處)

(7)/(x)是連續(xù)函數(shù)。

3.兩個常見的連續(xù)函型分布

(1)均勻分布(2)指數(shù)分布

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題二11、14、15、16

第四節(jié)正態(tài)分布

教學(xué)目的：正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的分布，掌握正態(tài)分布的定義、特點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)

正態(tài)分布，正態(tài)分布中的概率計算。

教學(xué)難點(diǎn)：正態(tài)分布的定義、特點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，概率計算(查表)

教學(xué)難點(diǎn)：對正態(tài)分布的正確理解

教學(xué)內(nèi)容：

1.正態(tài)分布

[(工-〃)2

(1)定義：如果隨機(jī)變量&的概率密度為/(%)=方￡(-?)<%<+?)),

其中〃，b>o為常數(shù)，則稱4服從于參數(shù)為〃和的正態(tài)分布，記為&~N(〃02)

(2)實(shí)際問題中正態(tài)分布非常廣泛和常見。

2

內(nèi)_t_______內(nèi)

(3)[e2dt=yfl/i,由此可證明[f(x)dx=1

J—00J—00

(4)正態(tài)分布的分布函數(shù)

2.正態(tài)分布的概率密度曲線

3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(1)〃=0,cr=l時的正態(tài)分布，記為N(0,l)

(2)分布函數(shù)

(3)①(x)的性質(zhì)

①尸(%)=0>[三耳；②①(―x)=l—①(x)

4.概率計算(查表)

當(dāng)x?0時，①(x)可查表求得函數(shù)值。

(1)J~N(O,1)

①尸(4<。)=①S)；②尸(a<&</?)=①(①―①3)；③

P(冏<c)=2①(c)—1(c>0)

（2）p（a<4《刀=①（^Z￡）—①（￡Z￡）

<7<7

教學(xué)時數(shù)：1學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題二12、18

第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

教學(xué)目的：掌握求離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布的方法；掌握正態(tài)分布的

兩個重要性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布；連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布；正態(tài)分布的兩

個重要性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

教學(xué)內(nèi)容：

1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

(1)舉例1(P62)。說明基本方法，總結(jié)歸納一般方法。

(2)J的分布為PC=x,)=p"=l,2,；，3貝1JG=g4)的分

布為P(G=%)=￡P(guān),J=1,2,

g(%■)=%

2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)J的概率密度為了(幻，求［=8修)的概率密度

(1)分布函數(shù)法

①4(y)=P(G<y)=P(gC)Vy)=\f(x)dx

8(x)<y

②工(y)=a'(y)，(連續(xù)點(diǎn)處)

(2)單調(diào)變換法

當(dāng)y=g(x)單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)時，其反函數(shù)x=/z(_y)存在且單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)，則

3.兩個重要結(jié)論

(1)J~N(〃Q2),則IZ￡~N(0,1),一般地

a

若+b?N{a1u+b,a1(awO)

(2)D，/⑴

教學(xué)時數(shù)：1學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題二、1,13

第三章多維隨機(jī)變量

第一節(jié)多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

教學(xué)目的：掌握多維隨機(jī)變量的概念，掌握二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)及其性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：多維隨機(jī)變量的定義，二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)及其性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)。

教學(xué)內(nèi)容：

1.多維隨機(jī)變量的定義

定義1、如果。，2，?，是定義在樣本空間Q上的幾個隨機(jī)變量，則這幾個隨機(jī)變量

的整體(5,2，,￡)稱為九維隨機(jī)變量，也稱為“元隨機(jī)變量或幾元隨機(jī)向量。

〃=2時，二維隨機(jī)變量記為C，〃)

2.事件表示

二維數(shù)集S2UR2,事件表示為{C，〃)eS2}

3.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義2、設(shè)有二維隨機(jī)變量C，〃)，對于任何實(shí)數(shù)x和y,稱概率「(《〈元〃〈月為

的(聯(lián)合)分布函數(shù)，記為尸(％,y)=尸(4<%,7/<y)<%,y<-HX>)

4.二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)

(1)0<F(x,y)<l

(2)F(^o,y)=0,F(x,-<o)=0,F(^?,-<O)=0,F(-H?,-HX>)=1,

(3)歹(x,y)關(guān)于變量x和y分別為不減函數(shù)。

(4)歹(x,y)關(guān)于變量x和y分別為右連續(xù)函數(shù)。

(5)V%1<x2,\/yl<y2,有尸(々，當(dāng))一/(石，％)一/(々，%)+尸(的，。

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：

第二節(jié)離散型二維隨機(jī)變量

教學(xué)目的：掌握離散型二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布、邊緣分布和條件分布，會求這三

種分布。

教學(xué)重點(diǎn)：離散型二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率分布，邊緣分布，條件分布，概率計算

問題。

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解聯(lián)合分布，邊緣分布，條件分布。

教學(xué)內(nèi)容：

1.離散型二維隨機(jī)變量

對于二維隨機(jī)變量c，〃），如果分量4和77都是離散型隨機(jī)變量，則稱c，〃）為離散

型二維隨機(jī)變量。

2.聯(lián)合分布

J取值：x1,x2,,天，

〃取值：X，%，，為，

PC=x,,〃=X）=p"i,j=1,2,稱為?7）的聯(lián)合概率分布。

注：也可以列成表格形式

3.邊緣分布

&〃）中兩個分量4和〃的分布稱為0,7）的邊緣分布，可由聯(lián)合分布來確定。

8A

（1）尸q=%）=￡P(guān)g—Pi』=1,2,

j=i

8A

（2）P（〃=yi）=￡P(guān)ij=pj,j=12

i=l

注：可以在表格形式的聯(lián)合分布上行列分別相加得到。

4.條件分布

（1）7=/固定時，J的條件分布為：

P?=Xj\r/=y）=,i=1,2,0=1,2,）

'Pj

（2）4=可.固定時，〃的條件分布為：

尸（〃=4匕=改）="/=1,2,0=1,2,）

Pi

注：條件分布可在表格上利用某一行(或列)上計算得到。

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題三2、3

第三節(jié)連續(xù)型二維隨機(jī)變量

教學(xué)目的：掌握連續(xù)型二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布和條件分布；掌握二維均

勻分布和二維正態(tài)分布。

教學(xué)重點(diǎn)：連續(xù)型二維隨機(jī)變量的概念與聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布；二維均勻

分布和二維正態(tài)分布。

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解三種分布；求分布和概率時所涉及的積分計算。

教學(xué)內(nèi)容：

1.定義與聯(lián)合分布

(1)定義1、對于二維隨機(jī)變量C，1),如果存在非負(fù)函數(shù)/(x,y),使得C，〃)的

分布函數(shù)尸(羽丁)=。(自三羽〃三丁)=「「/(5,/)為力，則稱C，〃)為連續(xù)型二維隨機(jī)變

J—00J—00

量，其中/(x,y)稱為的聯(lián)合概率分布函數(shù)。

(2)f(x,y)為0,7)在(x,y)點(diǎn)處分布概率的面密度。

/(x,y)=iimP(x<"x+Ax，y<、y+4y)

..露留心閑

2./(x,y)的性質(zhì)

(1)對比性

①與一維情況對比，/(蒼丁)相當(dāng)于/(幻；

②與離散情況對比，/(蒼丁)相當(dāng)于辦

(2)基本性質(zhì)

f+oop+oo

①于(x,y)20,②[ff(x,y)dxdy=1

J—00J—co

(3)設(shè)D為任何平面區(qū)域，則P[咯〃)€￡>]=JJ/(%/)“

D

(4)“fF)=/(x,y),(在/(x,y)的連續(xù)點(diǎn)處)

dxoy

3.邊緣分布

連續(xù)型二維(,〃)的邊緣分布為連續(xù)性的?？捎善渎?lián)合密度/(x,y)確定。

(1)關(guān)于4的邊緣分布密度/(x)=「"/(X,y)dy

J—00

(2)關(guān)于〃的邊緣分布密度力(y)=Pf+00f(x,y)dx

J-00

4.條件分布

(1)當(dāng)〃=丁固定時，&的條件密度為人(x|y)=今需

(1)當(dāng)&=X固定時，〃的條件密度為力(y|》)=號詈

5.二維均勻分布

設(shè)G為一個有界平面區(qū)域，若C，〃)的概率密度為

-----,(x,y)&G

/(x,y)=S(G)

、0，其他

則稱C，〃)服從G上的均勻分布。

注：二維均勻分布描述平面區(qū)域上的幾何型試驗(yàn)。

6.二維正態(tài)分布

如果c，〃)的概率密度為：

〃、11r(x-〃l)C(x——〃2),(丁—〃2)一

/(X,y)=--------r=^exp-—~~J-[A~~L-2P--------------+-~~d

2g皿也-p-[2(1一夕)b]/%

其中〃1，〃2，1〉o,%〉0,|。|<1是常數(shù)，則稱c，〃)服從二維正態(tài)分布，記作:

c，〃）~N（〃1,〃2;cr：,crf；p）

注：二維正態(tài)分布是常見的重要二維分布，其邊緣分布和條件分布都是正態(tài)分布。

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題三、4、5

第四節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性

教學(xué)目的：掌握隨機(jī)變量獨(dú)立性的意義、定義，判斷獨(dú)立性的充分必要條件，會用意

義和充分必要條件判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

教學(xué)重點(diǎn)：隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義，判斷獨(dú)立性的充分必要條件。

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解由獨(dú)立性意義所給出的獨(dú)立性定義。

教學(xué)內(nèi)容：

1.隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念

(1)定義1對于二維隨機(jī)變量C，〃)，設(shè)S］和$2為任何兩數(shù)集，若

P/eSwe凡)=P(Je$)P(〃eS2)

則稱J與〃相互獨(dú)立。

(2)意義

自與〃相互獨(dú)立的意義是自與〃的取值情況互不影響，可由此直接判斷J與〃的獨(dú)立

性。

(3)自與〃相互獨(dú)立。尸(x,y)=整(到4(丁),(-co<x,y<+oo)

2.離散型情況

C，〃)的聯(lián)合分布為尸(J=X"〃=X)=Pij,i,j=1,2,,

貝母與〃獨(dú)立=Pg=PiJ=L2，

3.連續(xù)型情況

的聯(lián)合概率密度為/(x,y),

則J與〃獨(dú)立O/(x,y)=/；(x)力(y),(-co<x,y<+co)

4.推廣

(1)以上二維隨機(jī)變量中自與〃獨(dú)立性的三個充分必要條件都可以推廣到“維

隨機(jī)變量(。，2，，&)中分量，,獨(dú)立性的情況。

(2)，,相互獨(dú)立的意義是4，，”的取值情況互相無任何影響，也可由

此判斷其獨(dú)立性。

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題三9、11

3.4兩個隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

教學(xué)目的：掌握離散型二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律，求連續(xù)型二維隨機(jī)變量的函數(shù)

的概率分布的一般方法。掌握和的分布、商的分布的求法。

教學(xué)重點(diǎn)：求離散型、連續(xù)型二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布的一般方法，和的分布，

商的分布。

教學(xué)難點(diǎn)：連續(xù)型二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容：

一、離散型二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律

聯(lián)合分布為：

P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,

z=g(x,y)是連續(xù)函數(shù)，隨機(jī)變量Z=g(X,y)的分布律為

P(z=zJ=ZP/j,k=1,2,

g(%力)=Z^

二、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布

(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為了(x,y),z=g(x,y)

(1)先求z的分布函數(shù)

Fz(z)=/(x,y)dxdy

g(x,y)<z

(2)人(z)=娉(z)(在/^z)的連續(xù)點(diǎn)處)

三、幾個常用函數(shù)的概率分布

1.z=x+y的概率分布

/z(z)=[p+oof(x,z-x)dx=\p+oof(z-y,y)dy

J-CDJ-00

X與y相互獨(dú)立時,有/z(z)=J;/(x)力,(z—x)dx=J：fx(z-Y)fy(Y)dy

2.z=x2+y2的概率分布

—ff（Vzcos0,VzsinO'）AO,z>0

1yz（z）=,2）。

0,z<0

一，工一、一c—[于x(5cos6)于Y(正sinz>0

X與y相互獨(dú)立時，有/z(z)=12J。x'"八

0,z<0

3.Z=X/F的概率分布

/z(z)=「8/(zy,y)|y@

J—00

1?4-00

x與y相互獨(dú)立時，有1/z(z)=]fx(zy)fY(y)\y\dy

J-00

作業(yè)：P93習(xí)題三20、28、30

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

教學(xué)目的：掌握數(shù)學(xué)期望的概念，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，掌握

常見分布的數(shù)學(xué)期望。

教學(xué)重點(diǎn)：隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計算。

教學(xué)難點(diǎn)：各種概念的正確理解。

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容：

一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義4.1設(shè)離散型隨機(jī)變量J的概率函數(shù)為尸(自=七)=0,，=1,2,…，若級數(shù)

800

EXR絕對收斂，則定義&的數(shù)學(xué)期望為EJ=￡xiPi

i=lz=l

二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

r+oo

定義4.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量J的概率密度函數(shù)為/(%),若積分fW(x)辦絕對收

J—00

斂，則定義J的數(shù)學(xué)期望為

J—00

2.講解常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1)0-1分布

2)泊松分布

3)二項(xiàng)分布

4)均勻分布

5)指數(shù)分布

6)正態(tài)分布

3.講解隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望及例題

(1)定理1：設(shè)〃=g(J),g(x)是連續(xù)函數(shù)

①當(dāng)4是離散型隨機(jī)變量，概率分布為pe=x,)=p,，=i,2,…，，且

0000

WJg(項(xiàng)M收斂，則有=Eg記)=Eg(x.Pi

i=li=l

②當(dāng)自是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為/(X),且(刈/(幻心;收斂，則有

r+co

E〃=Eg?=]g{x}f{x}dx

J—00

(2)定理2：設(shè)^二冢；〃)，g(%y)是連續(xù)函數(shù)

①當(dāng)(J,77)是二維離散型隨機(jī)變量，概率分布為尸?=天0=力)=口『

00000000

"=1,2,…，且22年(孫匕加收斂時，則有EG=EgC，〃)=XXg(x，〕X)Pi/

i=lj=lz=lj=l

②當(dāng)(J,〃)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為/(x,y),且

f|g(九,y)|/(x,y)辦辦收斂時,則有EG=E?C，〃)=ffg(x,y)f(x,y)dxdy

11

—00J—CDJ—COJ—00

4.講解數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)EC=C,C為常數(shù)

(2)E(C&)=CE&,C為常數(shù)

(3)%+〃)=唐+助

(4)若自與〃相互獨(dú)立，則成功)=布?

作業(yè)：習(xí)題四1、6、7

第五節(jié)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

教學(xué)目的：掌握離散型二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，求連續(xù)型二維隨即變量函數(shù)的一般

方法。和的分布，商的分布，掌握數(shù)理統(tǒng)計中的幾個常見分布。

教學(xué)重點(diǎn)：求離散型、連續(xù)型二維隨機(jī)變量函數(shù)分布的一般方法，和的分布，商的分

布，隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性。四個統(tǒng)計常用分布。

教學(xué)難點(diǎn)：連續(xù)型二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。

教學(xué)內(nèi)容：

1.離散型二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

聯(lián)合分布為：

PC=xi,i7=yj)=Pij,i,j=1,2,

G=gC，〃)的分布為

=zQ=EPi「k=12

gtXi，yj)=zk

2.連續(xù)型二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

c，n)的概率密度為于(X,y),G=g?7)

(1)先求G的分布函數(shù)

F人z)=JJ/(%,y)dxdy

g(x,y)<z

(2)于4z)=F；(z)(在4(z)的可微點(diǎn))

3.和的分布

p+oop+oo

fg+n(z)=1/(x，z-x)dx=［于(z-y,y)dy

4.商的分布

分7(z)=J：/(0,y)ly@

5.隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性

設(shè)有4+%++%個隨機(jī)變量幾當(dāng)；晶，&品，，加相互獨(dú)

立，①是“元連續(xù)函數(shù)，令5=叱(。1，，品)"=1,2,,k,則q,〃2，，隊(duì)相互獨(dú)

立。

6.數(shù)理統(tǒng)計中的幾個常用分布

(1)正態(tài)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

(2)/分布

(3)?分布

(4)F分布

注：以上分布主要記住其性質(zhì)，概率密度曲線。

教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時

作業(yè)：習(xí)題三14、7、16、18

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

教學(xué)目的：掌握數(shù)學(xué)期望的概念，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，同時

掌握常見隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望。

教學(xué)重點(diǎn)：隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計算。

教學(xué)難點(diǎn)：各種概念的正確理解。

教學(xué)內(nèi)容：

1.講解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1)定義1：設(shè)離散型隨機(jī)變量&的概率函數(shù)為==i=l,2,…，若級數(shù)

008

AR絕對收斂，則定義J的數(shù)學(xué)期望為=*Pi

Z=1

(?+00

2)定義2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量J的概率密度函數(shù)為/(x),若積分f比絕對

J—00

收斂，則定義&的數(shù)學(xué)期望為f2+00xf(x)dx

J—00

2.講解常見隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望

1)0-1分布

2)泊松分布

3)二項(xiàng)分布

4)均勻分布

5)指數(shù)分布

6)正態(tài)分布

3.講解隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望及例題

(1)定理1：設(shè)〃=g(J),g(x)是連續(xù)函數(shù)

①當(dāng)自是離散型隨機(jī)變量，概率分布為pe=xj