人教版九年級數(shù)學上冊重難點專題提升精講精練專題21圓中的計算與證明經(jīng)典綜合大題專訓(六大題型)(原卷版+解析)

第二十四章圓專題21圓中的計算與證明經(jīng)典綜合大題專訓（六大題型）【題型目錄】題型一圓的對稱性相關(guān)的綜合大題題型二確定圓的條件相關(guān)的綜合大題題型三圓周角的綜合大題題型四直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的綜合大題題型五正多邊形與圓相關(guān)的綜合大題題型六弧長及扇形面積綜合大題【經(jīng)典例題一圓的對稱性相關(guān)的綜合大題】1．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，C，D是直徑上的兩點，且，交于C、D，點E，G，F(xiàn)，H在上．(1)若，求半徑；(2)求證：；(3)若C，D分別為的中點，則成立嗎？請說明理由．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，是的弦，點C在外，連接、分別交于D、E，(1)求證：．(2)如圖2，過圓心O作，交于P、Q兩點，交、于M、N兩點，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，，求弦的長．3．（2023·全國·九年級專題練習）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1l2，點A，B在直線l2上，點C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關(guān)系？請說明理由?！净A(chǔ)鞏固】如圖1，正方形內(nèi)接于，直徑，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的中，，，，用含x的代數(shù)式表示；【拓展提高】如圖3，是的直徑，點P是上一點，過點P作弦于點P，點F是上的點，且滿足，連接交于點E，若，，求的半徑．4．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）已知，、是的兩條弦，，過圓心作于點．（1）如圖1，求證：．（2）如圖2：當、、三點在一條直線上時，求的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，點為劣弧上一點，，，連結(jié)、交于點，求和的長．5．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點，則從點M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．

這個定理有很多證明方法，下面是運用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接．∵M是的中點，∴．任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點，．于點E，，連接，求的周長．【經(jīng)典例題二確定圓的條件相關(guān)的綜合大題】6．（2023·陜西·模擬預(yù)測）新定義：如圖1（圖2，圖3），在中，把邊繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，把邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若，我們稱是的“旋補三角形”，的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．【特例感知】(1)①若是等邊三角形（如圖2），，則______________．②若（如圖3），，_____________．【猜想論證】(2)在圖1中，當是任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（提示：過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形）【拓展應(yīng)用】(3)如圖4，點A，B，C，D都在半徑為5的圓P上，且與不平行，，是的“旋補三角形”，點P是“旋補中心”，求BC的長．7．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）閱讀下列材料：已知實數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，，所以，因為，所?上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)已知實數(shù)x、y滿足，求值；(2)已知的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足，外接圓的半徑．8．（2023春·湖北武漢·九年級華中科技大學附屬中學?？茧A段練習）拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，3），點D（m，3）在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接BC、BD，點P在對稱軸左側(cè)的拋物線上，若∠PBC＝∠DBC，求點P的坐標；(3)如圖2，點Q為第四象限拋物線上一點，經(jīng)過C、D、Q三點作⊙M，⊙M的弦QF∥y軸，求證：點F在定直線上．9．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知等邊的邊長為8，點P是邊上的一個動點（與點A、B不重合）．（1）如圖1．當時，的面積為；（2）直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把沿直線l折疊，點B的對應(yīng)點是點．①如圖2，當時，若直線，求的長度；②如圖3，當時，在直線l變化過程中．請直接寫出面積的最大值．10．（2023春·八年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的點，AF=AD+FC，平行四邊形ABCD的面積為S，由A、E、F三點確定的圓的周長為t．（1）若△ABE的面積為30，直接寫出S的值；（2）求證：AE平分∠DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．【經(jīng)典例題三圓周角的綜合大題】11．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．12．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，⊙的直徑的長為16，為半圓的中點，為劣弧上的一動點，和的延長線交于點，過點作的垂線交的延長線于點．

(1)求證：．(2)以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立如圖2的平面直角坐標系，則點的坐標為，設(shè)點的坐標為，若，是方程的兩根，求的值．(3)若，求的值．13．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點，直線于點E，則．請證明此結(jié)論；(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．C是劣弧的中點，直線于點E，則．可以通過延長、相交于點F，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，，組成的一條折弦．C是優(yōu)弧的中點，直線于點E，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．14．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿拉伯（973年～1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵是的中點，∴…

任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖（3），已知等邊△ABC內(nèi)接于為圓上一點，，與點，則的周長是．15．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，內(nèi)接于，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點在上，連接，點是上一點，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點，連接，若，，，求的長．【經(jīng)典例題四直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的綜合大題】16．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，弦交于點E，且．(1)根據(jù)題干信息，請用尺規(guī)作圖作出點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：是的切線；(3)若的半徑為5，，且，求的長17．（2023·山東·九年級專題練習）已知：射線平分，為上一點，交射線于點，，交射線于點，，連接，，．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，過點作，交于點；過點作，交于點．求證：．18．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，且為的直徑，的平分線交于點，過點在左側(cè)作交的延長線于點，過點作于點．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求線段的長．19．（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯(lián)考階段練習）課本再現(xiàn)（1）在圓周角和圓心角的學習中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數(shù)學思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，則__________度，__________度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對角線不是的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點．點是線段的中點，連接，求證：是的切線．

20．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）等腰三角形中，且內(nèi)接于圓O，D、E為邊上兩點（D在F、E之間），分別延長、交圓O于B、C兩點（如圖1），記，．

(1)求的大?。ㄓ忙粒卤硎荆?；(2)連接，交于H（如圖2）．若，且．求證：；(3)在（2）的條件下，取中點M，連接、（如圖3），若，①求證：，；②請直接寫出的值．【經(jīng)典例題五正多邊形與圓的相關(guān)的綜合大題】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于________．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內(nèi)接正六邊形，__________．4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．5．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．6．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．【經(jīng)典例題六弧長及扇形的面積綜合大題】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，，，．(1)度數(shù)．（直接寫出答案）(2)求的長度．(3)是上一點（不與，，重合），連結(jié)．①若垂直的某一邊，求的長．②將點A繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，若恰好落在上，則的長度為．（直接寫出答案）2．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖所示，在中，，，在上取點，以為圓心，以為半徑作圓，與相切于點，并分別與，相交于點，（異于點）．(1)求證：平分；(2)若點恰好是的中點，求扇形的面積．3．（2023·江蘇無錫·校考二模）如圖，是半圓的直徑，是半圓上的一點不與，重合，連接，點為弧的中點，過點作，交的延長線于點．

(1)求證：是半圓的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點D在上，以為直徑的與相切于點E，與相交于點F，(1)求CF的長度；(2)求陰影部分的面積．．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？奸_學考試）正方形與扇形有公共頂點O，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．如圖所示．正方形兩個頂點C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動．設(shè)，，(1)當時，正方形與扇形不重合的面積是______；此時直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是______；(2)當直線與扇形相切時．求直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(3)當正方形有頂點恰好落在上時，求正方形與扇形不重合的面積．6．（2023·江蘇無錫·九年級專題練習）如圖，在中，，平分交于D點，O是上一點，經(jīng)過B、D兩點的分別交、于點E、F．(1)用尺規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：與相切：(3)當，時，求劣弧的長．【經(jīng)典例題七圓錐的側(cè)面積綜合大題】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學校考階段練習）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形EAF圍成圓錐時，AE、恰好重合，已知這種加工材料的頂角．(1)求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長的比值；(2)若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）2．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A（0，4），B（-4，4）、C（-6，2），請在網(wǎng)格圖中進行如下操作：（1）若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點坐標為_____________；（2）連接AD、CD，則的半徑長為______（結(jié)果保留根號），的度數(shù)為___________；（3）若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面圓的半徑長．（結(jié)果保留根號）3．（2023春·江蘇宿遷·九年級校考開學考試）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，請在網(wǎng)格圖中進行下列操作：（1）利用網(wǎng)格確定該圓弧所在圓的圓心D點的位置，則D點坐標為；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑為(結(jié)果保留根號)，∠ADC的度數(shù)為；（3）若扇形DAC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面半徑．(結(jié)果保留根號)．

4．（2023春·江蘇蘇州·九年級昆山市第二中學?？奸_學考試）如圖，在一個半徑為的圓形紙片中，剪一個圓心角為的扇形．（1）求這個扇形的面積（保留）；（2）用所剪的紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐的底面圓的半徑．5．（2023春·九年級單元測試）綜合與實踐問題情境：如圖1，將一個底面半徑為的圓錐側(cè)面展開，可得到一個半徑為，圓心角為的扇形.工人在制作圓錐形物品時，通常要先確定扇形圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料.(1)探索嘗試：圖1中，圓錐底面周長與其側(cè)面展開圖的弧長________；（填“相等”或“不相等”）若，，則________.(2)解決問題：為操作簡便，工人希望能簡潔求的值，請用含，的式子表示；(3)拓展延伸：圖2是一種紙質(zhì)圓錐形生日帽，，，是中點，現(xiàn)要從點到點再到點之間拉一裝飾彩帶，求彩帶長度的最小值.6．（2023·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖1，等腰三角形中，當頂角的大小確定時，它的對邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值也就確定了，我們把這個比值記作，即，當時，如．(1)，，的取值范圍是；(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）

第二十四章圓專題21圓中的計算與證明經(jīng)典綜合大題專訓（六大題型）【題型目錄】題型一圓的對稱性相關(guān)的綜合大題題型二確定圓的條件相關(guān)的綜合大題題型三圓周角的綜合大題題型四直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的綜合大題題型五正多邊形與圓相關(guān)的綜合大題題型六弧長及扇形面積綜合大題【經(jīng)典例題一圓的對稱性相關(guān)的綜合大題】1．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，C，D是直徑上的兩點，且，交于C、D，點E，G，F(xiàn)，H在上．(1)若，求半徑；(2)求證：；(3)若C，D分別為的中點，則成立嗎？請說明理由．【答案】(1)5(2)見解析(3)成立，證明見解析【分析】（1）連接，利用勾股定理即可求得；（2）通過證得，得到，即可根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到結(jié)論；（3）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，同理，進一步得到，即可根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到．【詳解】（1）如圖1，連接，設(shè)半徑為r，∵，∴．∵，∴，在中，，∴，解得，∴半徑為5；（2）如圖1，在（1）基礎(chǔ)上連接，∵，∴．∵，∴在和中，，∴，∴，∴；（3）成立，理由如下：∵C，D分別為的中點，∴，∴∴，同理，∴，∴．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形全等的判斷和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助性構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，是的弦，點C在外，連接、分別交于D、E，(1)求證：．(2)如圖2，過圓心O作，交于P、Q兩點，交、于M、N兩點，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，，求弦的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)13【分析】(1)連接，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個底角相等的性質(zhì)證明即可．(2)連接，證，得，得，可證明．(3)連接，證，，結(jié)合已知，得，等邊，，，作于點G，設(shè)，可得，，，，，中勾股得，計算即可．【詳解】（1）如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴；∵，∴；∴；∴．（2）連接，∵，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（3）連接，∵，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴等邊，，，作于點G，則，∵，，設(shè)，則，，∴，∴，，，中，根據(jù)勾股定理，得，解得，，

∵，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法，熟練掌握圓的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1l2，點A，B在直線l2上，點C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關(guān)系？請說明理由。【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，正方形內(nèi)接于，直徑，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的中，，，，用含x的代數(shù)式表示；【拓展提高】如圖3，是的直徑，點P是上一點，過點P作弦于點P，點F是上的點，且滿足，連接交于點E，若，，求的半徑．【答案】[教材呈現(xiàn)]：面積相等，理由見解析；[基礎(chǔ)鞏固]：；[嘗試應(yīng)用]：；[拓展提高]：6【分析】[教材呈現(xiàn)]根據(jù)平行線與三角形的面積公式解答即可；[基礎(chǔ)鞏固]連接，設(shè)的半徑為，利用正方形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形面積公式得，同理，，可得即可求出陰影面積與圓面積的比；[嘗試應(yīng)用]連接，過點O作于點H，由可得，得出，即可得，由可得，再由得出，從而可得，利用勾股定理求出，最后求得結(jié)果；[拓展提高]連接，先由垂徑定理得出，，從而可得，設(shè)，則，由勾股定理求出的長，最后求得結(jié)果．【詳解】∵，，，同底等高∴[基礎(chǔ)鞏固]連接∵∴同理，∴∴陰影面積與圓面積的比為；[嘗試應(yīng)用]連接，過點O作于點H∵∴∴∴∵∴∴∴，∴，，，∴[拓展提高]連接∵為直徑，于點P∴，又∵∴∴，∴，設(shè)，則∵∴∴，∵∴∴∴∴∴，在中，，設(shè)半徑為r，則解得∴的半徑為6【點睛】此題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形的面積公式，垂徑定理、弧、弦、圓心角的關(guān)系及勾股定理等知識點，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握兩條平行線之間的距離處處相等．4．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）已知，、是的兩條弦，，過圓心作于點．（1）如圖1，求證：．（2）如圖2：當、、三點在一條直線上時，求的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，點為劣弧上一點，，，連結(jié)、交于點，求和的長．【答案】（1）見詳解；（2）60°；（3）BC的長為14，BE的長為10．【分析】（1）過O作OH⊥AB，證明△BOH≌△COD即可證得∠B=∠C；（2）先證BD垂直平分AC,再證△ABC是正三角形，由正三角形的性質(zhì)可求得∠BAC的度數(shù)；（3）在圖3中過C作CG⊥BE交BE的延長線于G，先求出∠CEG=60°，再求出CG、EG長，最后用勾股定理求出BG長，用BG-EG可得BE長．【詳解】（1）如下圖1在⊙O中：過O作OH⊥AB于H，∵OD⊥AC于D，AB=AC∴OH=OD又∵OB=OC∴RT△OBH≌RT△OCD（HL）∴∠B=∠C．（２）如下圖2在⊙O中：∵OD⊥AC∴OD平分AC又∵B、O、D三點共線∴BD垂直平分AC∴AB=BC又∵AB=AC∴AB=AC=BC∴∠BAC=60°．（3）如下圖3在⊙O中過C作CG⊥BE交BE的延長線于G由（2）的解題過程知D是AC中點、BC=AC∴BC=AC=2CD=2×7=14由（2）的解題過程知∴∠BEC=∴∠CEG=60°在RT△CEG中在RT△CBG中，由勾股定理得∴BE=BG-EG=13-3=10．【點睛】本題綜合考查了與圓有關(guān)的基本性質(zhì)．熟悉圓的基本性質(zhì)及等邊三角形的相關(guān)知識和特殊角的三角函數(shù)等是解決此題之關(guān)鍵．5．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點，則從點M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．

這個定理有很多證明方法，下面是運用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接．∵M是的中點，∴．任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點，．于點E，，連接，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證，推出，．再證，推出，等量代換可得；（2）先利用等邊三角形的性質(zhì)證明，進而證明，，求出，再利用（1）中結(jié)論可得，通過等量代換可得．【詳解】（1）證明：如圖，，

∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．（2）解：如圖，

∵是等邊三角形，∴，．∵．∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴點C是的中點．∴由（1）的結(jié)論得，，∴的周長是．【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練運用等量代換思想．【經(jīng)典例題二確定圓的條件相關(guān)的綜合大題】6．（2023·陜西·模擬預(yù)測）新定義：如圖1（圖2，圖3），在中，把邊繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，把邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若，我們稱是的“旋補三角形”，的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．【特例感知】(1)①若是等邊三角形（如圖2），，則______________．②若（如圖3），，_____________．【猜想論證】(2)在圖1中，當是任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（提示：過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形）【拓展應(yīng)用】(3)如圖4，點A，B，C，D都在半徑為5的圓P上，且與不平行，，是的“旋補三角形”，點P是“旋補中心”，求BC的長．【答案】(1)①2；②3；(2)，證明見解析；(3)8【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，，結(jié)合“旋補三角形”的定義可得出，．利用等腰三角形的三線合一可得出，通過解直角三角形可求出AD的長度；②由“旋補三角形”的定義可得出、、，進而可得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出的長度；（2），過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合“旋補三角形”的定義可得出、、，進而可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出，由平行四邊形的對角線互相平分即可證；（3）作、的垂直平分線，交于點P，則點P為四邊形的外接圓圓心，過點P作于點F，由（2）的結(jié)論可求出的長度，在中，利用勾股定理可求出的長度，進而可求出的長度．【詳解】（1）解：①∵是等邊三角形，，∴，，∴，．∵為等腰的中線，∴，，∴．在中，，，，∴．②∵，∴．在和中，，∴，∴，∴．故答案為：①2；②3．（2），證明：在圖1中，過點作且，連接，則四邊形是平行四邊形，∵，，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（3）在圖4中，作、的垂直平分線，交于點P，則點P為四邊形的外接圓圓心，過點P作于點F．∵，，∴為的中位線，∴．在中，，，，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）①利用解含角的直角三角形求出；②牢記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形對角線互相平分找出；（3）利用（2）的結(jié)論結(jié)合勾股定理求出BF的長度．7．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）閱讀下列材料：已知實數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋淼?，，所以，因為，所?上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)已知實數(shù)x、y滿足，求值；(2)已知的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足，外接圓的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，解一元二次方程得到，根據(jù)，得到，即可得到答案；（2）設(shè)，解一元二次方程得到，根據(jù)勾股定理求出c，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程變形為，整理得：，解得，，∵，∴，∴；（2）解：設(shè)，則原方程變形為，整理得，解得：或，∵，∴，∴，∴外接圓的半徑．【點睛】本題考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·湖北武漢·九年級華中科技大學附屬中學?？茧A段練習）拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，3），點D（m，3）在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接BC、BD，點P在對稱軸左側(cè)的拋物線上，若∠PBC＝∠DBC，求點P的坐標；(3)如圖2，點Q為第四象限拋物線上一點，經(jīng)過C、D、Q三點作⊙M，⊙M的弦QF∥y軸，求證：點F在定直線上．【答案】(1)(2)P（，）(3)證明見解析【分析】（1）把A、C坐標代入可得關(guān)于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值即可得答案；（2）如圖，設(shè)BP與y軸交于點E，直線解析式為，根據(jù)（1）中解析式可知D、B兩點坐標，可得CD//AB，利用ASA可證明△DCB≌△ECB，可得CE=CD，即可得出點E坐標，利用待定系數(shù)法可得直線BP的解析式，聯(lián)立直線BP與拋物線解析式求出交點坐標即可得答案；（3）如圖，連接MD，MF，設(shè)Q（m，-m2+2m+3），F(xiàn)（m，t），根據(jù)CD、QF為⊙M的弦可得圓心M是CD、QF的垂直平分線的交點，即可表示出點M坐標，根據(jù)MD=MF，利用兩點間距離公式可得（）2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理可得t=2，即可得答案．【詳解】（1）∵A（﹣1，0）、C（0，3）在拋物線y＝ax2+2x+c圖象上，∴，解得：，∴拋物線解析式為：．（2）如圖，設(shè)BP與y軸交于點E，直線解析式為，∵點D（m，3）在拋物線上，∴，解得：，（與點C重合，舍去），∴D（2，3），∴CD//AB，CD=2，當y=0時，，解得：，，

∴B（3，0），∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，在△DCB和△ECB中，∵，∴△DCB≌△ECB，∴CE=CD=2，∴OE=OC-CE=1，∴E（0，1），∴，解得：，∴直線BP的解析式為，聯(lián)立直線BP與拋物線解析式得：，解得：（舍去），，∴P（，）．（3）如圖，連接MD，MF，設(shè)Q（m，-m2+2m+3），F(xiàn)（m，t），∵CD、QF為⊙M的弦，∴圓心M是CD、QF的垂直平分線的交點，∵C（0，3），D（2，3），QF//y軸，∴M（1，），∵MD=MF，∴2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理得：t=2，∴點F在定直線y=2上．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及圓的性質(zhì)，綜合性強，熟練掌握相關(guān)知識及定理是解題關(guān)鍵．9．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知等邊的邊長為8，點P是邊上的一個動點（與點A、B不重合）．（1）如圖1．當時，的面積為；（2）直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把沿直線l折疊，點B的對應(yīng)點是點．①如圖2，當時，若直線，求的長度；②如圖3，當時，在直線l變化過程中．請直接寫出面積的最大值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的邊長為8，計算等邊△ABC的面積，由同高三角形面積的比等于對應(yīng)底邊的比，可得△PBC的面積；（2）①如圖2中，設(shè)直線l交BC于點E．連接BB′交PE于O．證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問題；②如圖3中，過點P作PH垂直于AC，當B'、P、H共線時，△ACB′的面積最大，求出PH的長即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵等邊△ABC的邊長為8，∴等邊△ABC的面積=，∵PB=3AP，∴△BPC的面積為；故答案為：12；（2）①如圖2中，設(shè)直線l交BC于點E．連接BB′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等邊三角形，∵PB=5，且B，B′關(guān)于PE對稱，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴∠PBO=30°，∴OP=PB=，OB=，∴BB′=5；②如圖3中，過點P作PH垂直于AC，由題意可得：B'在以P為圓心半徑長為6的圓上運動，當HP的延長線交圓P于點B′時面積最大，在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，∵PA=2，∵∠PAH=60°，∴AH=1，PH=，∴BH=6+，∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱變換，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．10．（2023春·八年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的點，AF=AD+FC，平行四邊形ABCD的面積為S，由A、E、F三點確定的圓的周長為t．（1）若△ABE的面積為30，直接寫出S的值；（2）求證：AE平分∠DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．【答案】（1）平行四邊形ABCD的面積為60；（2）證明見解析；（3）△AEF的外接圓的周長t=π．【詳解】【分析】（1）作EG⊥AB于點G，由S△ABE=×AB×EG=30得AB?EG=60，即可得出答案；（2）延長AE交BC延長線于點H，先證△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，結(jié)合AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE，根據(jù)∠DAE=∠CHE即可得證；（3）先證∠ABF=90°，根據(jù)勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，據(jù)此求得FC的長，從而得出AF的長度，再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圓直徑，從而得出答案．【詳解】（1）如圖，作EG⊥AB于點G，則S△ABE=×AB×EG=30，則AB?EG=60，∴平行四邊形ABCD的面積為60；（2）如圖，延長AE交BC延長線于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，∵E為CD的中點，∴CE=ED，∴△ADE≌△HCE，∴AD=HC、AE=HE，∴AD+FC=HC+FC，由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，∴∠FAE=∠CHE，又∵∠DAE=∠CHE，∴∠DAE=∠FAE，∴AE平分∠DAF；（3）連接EF，∵AE=BE、AE=HE，∴AE=BE=HE，∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，∵∠DAE=∠CHE，∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，由四邊形ABCD是平行四邊形得∠DAB+∠CBA=180°，∴∠CBA=90°，∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，解得：FC=，∴AF=FC+CH=，∵AE=HE、AF=FH，∴FE⊥AH，∴AF是△AEF的外接圓直徑，∴△AEF的外接圓的周長t=π．【點睛】本題考查圓的綜合問題，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握和靈活運用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.【經(jīng)典例題三圓周角的綜合大題】11．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．【答案】(1)①；②；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）①根據(jù)，結(jié)合圓周角定理求的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；（2）只要說明點到圓上、和另一點的距離相等即可；（3）根據(jù)，構(gòu)造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．【詳解】（1）解：①，，，．②連接，過作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）證明：延長交圓于點，則，

，，，，，，，為該圓的圓心．（3）證明：過作的垂線交的延長線于點，連接，延長交圓于點，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個點的位置始終不變，點即為所求．【點睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識，對于（3）構(gòu)造一條線段等于是關(guān)鍵．12．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1，⊙的直徑的長為16，為半圓的中點，為劣弧上的一動點，和的延長線交于點，過點作的垂線交的延長線于點．

(1)求證：．(2)以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立如圖2的平面直角坐標系，則點的坐標為，設(shè)點的坐標為，若，是方程的兩根，求的值．(3)若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)(3)【分析】（1）若求，連接是顯然的，然后再討論和，而發(fā)現(xiàn)這兩個角都在圓外，而外部也無復雜圖象包含它們，所以常規(guī)作法顯然不好處理．故想到把它們也放在圓中，連接發(fā)現(xiàn)，，則若以為直徑畫圓，其圓必過、兩點，則利用圓周角、對頂角性質(zhì)可證恰與劣弧的圓周角相等，因為為中點，顯然為，則結(jié)論易證．（2）綜合題，后問往往要用前問的結(jié)論，前問中，本題利用可求出中，與的關(guān)系．在利用根與系數(shù)的關(guān)系列出方程即可討論，但要注意還有討論兩根存在的前提；（3）連接、，過點作，垂足為，由，，設(shè)，利用勾股定理可以求出，然后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：連接，，以為直徑畫圓．

，，、兩點必過以為直徑的圓，，．為劣弧的圓周角，且為半圓的中點，∵為半圓的中點，∴，為劣弧的圓周角，．在中，，，．（2）解：，，，，，．，、為方程的兩根，，，，∴，解得或．在第一象限，，舍去，即此時為．，綜上所述：（3）如圖3，連接、，過點作，垂足為，

由（1）可得，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴在中，，又∵在中，，∴，∴，∴．【點睛】本題難度較高，考查了圓、三角形、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系及用勾股定理解三角形等相關(guān)知識，其中（1）輔助線的作法并不易想到，需要特殊留意．總體來說，綜合性極高，學生一定要加強理解．13．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點，直線于點E，則．請證明此結(jié)論；(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．C是劣弧的中點，直線于點E，則．可以通過延長、相交于點F，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，，組成的一條折弦．C是優(yōu)弧的中點，直線于點E，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先證，再證為等腰三角形，進一步證得，從而證得結(jié)論．（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進而求得．【詳解】（1）如圖1，連接，，

∵C是劣弧的中點，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴；（2）如圖2，延長、相交于點F，再連接，

∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵C是劣弧的中點，∴，∵，∴∵∴∴∴，，∴，∴，∴（3）．理由如下：連接，，，與相交于點F，

∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，∴，

∴，，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了垂徑定理及其推論，全能三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，掌握并熟練運用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿拉伯（973年～1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵是的中點，∴…

任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖（3），已知等邊△ABC內(nèi)接于為圓上一點，，與點，則的周長是．【答案】(1)見解析(2)2+2【分析】（1）如圖2，在上截取，連接和，首先證明，進而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）如圖3，截取，連接．首先證明，進而得出，以及，進而求出的長即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵是的中點，∴．在和中∵，∴，∴，又，，；（2）如圖3，截取連接由題意可得：，在和中∵，∴，∴，∵，∴，則，∵∴＝，∴，∵是等邊三角形，∴，則的周長是2+2．故答案為2+2．

【點睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．15．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，內(nèi)接于，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點在上，連接，點是上一點，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點，連接，若，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）過點作，如圖所示，由垂徑定理可知：，再由得到，即可得證；（2）延長交于，如圖所示，由（1）知，從而由等腰三角形“三線合一”得到，且，從而得到，即可有，由內(nèi)錯角相等兩直線平行得到，進而，即；（3）連接，延長交于點，證明，利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：過點作，如圖所示：

由垂徑定理可知，，在和中，，，，；（2）證明：延長交于，如圖所示：

由（1）知，根據(jù)，從而由等腰三角形“三線合一”得到，且，，，，，，，，，即；（3）解：如圖，連接，延長交于點，

根據(jù)（2）中可得，，，，，，，，在與中，，，，，，，，，，且為直徑，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的綜合大題】16．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，弦交于點E，且．(1)根據(jù)題干信息，請用尺規(guī)作圖作出點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：是的切線；(3)若的半徑為5，，且，求的長【答案】(1)作圖見解析部分(2)證明見解析部分(3)【分析】（1）作交的延長線于點F．（2）證明即可；（3）利用勾股定理求出，再利用面積法求出，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：如圖，點F即為所求；（2）證明：∵都是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線；（3）解：過點D作于點H．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查作圖﹣復雜作圖、切線的判定、勾股定理等知識點，理解題意、靈活運用所學知識解決問題是解題的關(guān)鍵．17．（2023·山東·九年級專題練習）已知：射線平分，為上一點，交射線于點，，交射線于點，，連接，，．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，過點作，交于點；過點作，交于點．求證：．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，作于點，作于點，利用角平分線定義及性質(zhì)易得，，然后利用可證得，，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段的和差可證得，利用平行線性質(zhì)及等角對等邊可證得，最后利用有一組鄰邊相等的平行四邊形即可證得結(jié)論；（2）連接，結(jié)合（1）中所求及垂徑定理，利用易證得，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)及已知條件可證得，最后利用平行線分線段成比例即可證得結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：如圖，作于點，作于點，

平分，，，在與中，，，，在與中，，，，，即，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）證明：如圖，連接，

，，，，，，，，即，在與中，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查圓與全等三角形的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，平行線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，（1）作于點，作于點，（2）中連接分別構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，且為的直徑，的平分線交于點，過點在左側(cè)作交的延長線于點，過點作于點．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求線段的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（）由，，得，所以；（）連接，由，且，，得，由，得，即可證明是的切線；（）由是的直徑，得，所以，，由于點，得，所以，則，由，得，則，所以，由，，得，再證明，得，即可求得．【詳解】（1）∵，，∴，∴，（2）證明：如圖，連接，

∵的平分線交于點，∴，∵，，∴，∵，∴，∵是的半徑，且，∴是的切線．（3）解：∵是的直徑，，，∴，∴，，∵于點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴線段的長是．【點睛】此題考查了圓周角定理、平行線的判定、切線的判定定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點的應(yīng)用．19．（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯(lián)考階段練習）課本再現(xiàn)（1）在圓周角和圓心角的學習中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數(shù)學思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，則__________度，__________度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對角線不是的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點．點是線段的中點，連接，求證：是的切線．

【答案】（1），；（2）見詳解；（3）見詳解【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是以及四邊形內(nèi)角和為進行作答即可；（2）以圖2為例證明，連接，，根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍以及四邊形內(nèi)角和為進行作答；或者以圖3為例證明，連接，，根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍以及四邊形內(nèi)角和為進行作答即可；（3）連接，，根據(jù)等邊對等角，即，又，得，，，再結(jié)合四邊形是圓內(nèi)接四邊形，得，，進而知道，又因為是線段的中點，即可求證是的切線．【詳解】解：（1）∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，∴，那么，故答案為：90，180；（2）證明：以圖2為例證明，連接，，如圖所示：

∵弧弧，∴，，∵∴，∴，在四邊形，，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補；或者以圖3為例證明，連接，，如圖所示：

∵弧弧，∴，，∵,∴，∴，在四邊形，，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（3）證明：連接，，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，則，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，則，∴，∵是線段的中點，∴，則，∵是圓的半徑，∴是圓的切線．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形對角互補以及圓的基本性質(zhì)、切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識點內(nèi)容，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）等腰三角形中，且內(nèi)接于圓O，D、E為邊上兩點（D在F、E之間），分別延長、交圓O于B、C兩點（如圖1），記，．

(1)求的大?。ㄓ忙?，β表示）；(2)連接，交于H（如圖2）．若，且．求證：；(3)在（2）的條件下，取中點M，連接、（如圖3），若，①求證：，；②請直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)①見解析；②或【分析】（1）如圖1中，連接．利用圓周角定理求解；（2）證明，，可得結(jié)論；（3）①如圖3中，連接，延長交于點I．證明，推出，，再證明，可得結(jié)論；②連接，．設(shè)，則，，設(shè)，利用勾股定理求出m，n之間的關(guān)系，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1中，連接．

∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2中，

∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）①證明：如圖3中，連接，延長交于點I．∵，，∴，∵，∴，∴是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，，∵，∴，在中，，∴即，∴，又，∴，∵，，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∴，又，∴，；②解：連接，．∵，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，，設(shè)，∴，∴，∵，∴，整理得，∴或，∴或．

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形或全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．【經(jīng)典例題五正多邊形與圓的相關(guān)的綜合大題】21．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于________．【答案】(1)見解析(2)18【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理計算出即可；（2）得出以為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，再求出的長即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

，，，，，即，又是半徑，是的切線；（2）解：連接，

，以為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，，以為邊的圓內(nèi)接正六邊形的周長為．【點睛】本題考查切線的判定，圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，掌握切線的判定方法是正確解答的前提．22．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內(nèi)接正六邊形，__________．【答案】(1)圖見解析，32(2)圖見解析，【分析】（1）只需要作直徑、，并使得即可；（2）如圖所示，取格點B，C，D，E，F(xiàn)，然后順次連接A、B、C、D、E、F得到正六邊形，再求出求面積．【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形即為所求；，故答案為32；（2）解：如圖所示，正六邊形即為所求；過點O作于H，∵正六邊形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知正多邊形和圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為的中點，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．24．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．【答案】；；；；；以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，；根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：；根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：；根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正六邊形中，；根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正十邊形中，；根據(jù)以上所求得出在正n邊形中，類似的結(jié)論．【詳解】解：閱讀與思考:∵在正三角形中，點M，N是，上的點，且，∵在和中故答案為：；∵在正方形中，點M，N是，上的點，且在和中答案為：；∵在正五邊形中，點M，N是，上的點，且，則∵在和中，故答案為：；理解與運用：∵正三角形的內(nèi)角度數(shù)為：；正方形的內(nèi)角度數(shù)為：；正五邊形的內(nèi)角度數(shù)為：；∴同理可得：在正六邊形中，點M，N是，上的點，且，則，；故答案為：；同理可得：在正十邊形中，點M，N是，上的點，且，則，；故答案為：；歸納與總結(jié)：根據(jù)以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角，所以所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角故答案為：以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角【點睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練利用三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六弧長及扇形的面積綜合大題】26．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，，，．(1)度數(shù)．（直接寫出答案）(2)求的長度．(3)是上一點（不與，，重合），連結(jié)．①若垂直的某一邊，求的長．②將點A繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，若恰好落在上，則的長度為．（直接寫出答案）【答案】(1)(2)(3)①；②4【分析】（1）利用勾股定理求出，在根據(jù)等腰三角形的判定和三角形的內(nèi)角和定理解答即可；（2）連接，，利用圓周角定理求得圓心角的度數(shù)，再利用弧長公式解答即可；（3）①連接，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，利用全等三角形的判定與勾股定理求得，則可求；②連接，，設(shè)與交于點，通過證明，，，四點共圓，利用圓周角定理和垂徑定理得到經(jīng)過圓心，過點作于點，利用垂徑定理和勾股定理求得，連接，利用勾股定理求得圓的半徑，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，勾股定理求得，則．【詳解】（1）解：在中，，，，，∴，，，，，故答案為：；（2）連接，，如圖，

，，在中，，，，的長度；（3）①是上一點（不與，，重合），垂直的某一邊，點只能在上，連接，如圖，

由（1）知：，，為等腰直角三角形，．在和中，，，，．；②由題意知：點在上，連接，，設(shè)與交于點，如圖，

，，．，，，，，，，四點共圓，，平分，為等腰直角三角形，垂直平分，經(jīng)過圓心，過點作于點，則，，，，，，連接，，，．．，，，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的有關(guān)計算，充分利用圓周角定理添加恰當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖所示，在中，，，在上取點，以為圓心，以為半徑作圓，與相切于點，并分別與，相交于點，（異于點）．(1)求證：平分；(2)若點恰好是的中點，求扇形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，以此可得，在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行得，進而得到，由可得，因此，以此即可證明；（2）連接、、，易得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的，因此為等邊三角形，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，于是可證明為等邊三角形，再利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】（1）連接，如圖，

與相切于點，，，，，，，，，平分；（2）連接、、，如圖，

，是的中點，，在中，，，為等邊三角形，，，，，為等邊三角形，，．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、扇形的面積公式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．28．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，是半圓的直徑，是半圓上的一點不與，重合，連接，點為弧的中點，過點作，交的延長線于點．

(1)求證：是半圓的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)，可證，由此即可求證；（2）如圖所示，連接，在中根據(jù)余弦的計算方法可得，和都是等邊三角形，四邊形是菱形，可求出，的面積，再根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：點為弧的中點，∴，，，，，，，，交的延長線于點，，，是的半徑，且，是半圓的切線．（2）解：如圖所示，連接，

，，，，，，，，和都是等邊三角形，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，陰影部分的面積是．【點睛】本題主要考查圓與幾何圖形的綜合，掌握切線的證明方法，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積的方法是解題的關(guān)鍵．29．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點D在上，以為直徑的與相切于點E，與相交于點F，(1)求CF的長度；(2)求陰影部分的面積．【答案】(1)1(2)【分析】（1）過O作于G，連接，求出的半徑以及的長，再證明是等邊三角形，即可解答；（2）證明，得到陰影部分的面積等于扇形的面積，即可解答．【詳解】（1）解：∵與相切于點E，，，，，，如圖，過O作于G，連接，則，，，，，，是等邊三角形，，，；（2）解：，，，，，為等邊三角形，，在與中，，，∴陰影部分的面積=扇形的面積．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．30．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校?？奸_學考試）正方形與扇形有公共頂點O，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．如圖所示．正方形兩個頂點C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動．設(shè)，，(1)當時，正方形與扇形不重合的面積是______；此時直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是______；(2)當直線與扇形相切時．求直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(3)當正方形有頂點恰好落在上時，求正方形與扇形不重合的面積．【答案】(1)，(2)(3)或者【分析】（1）利用扇形面積減去正方形的面積即可得不重合的面積，利用待定系數(shù)法即可求出直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接，交于點F，先證明直線與扇形相切，切點為正方形對角線交點F，由，可得正方形的邊長，即有，，問題得解；（3）分點E在扇形上和點C、D在扇形上兩種情況討論即可作答．【詳解】（1）當時，即正方形的邊長為：，則正方形的對角線長為：，∴正方形在扇形內(nèi)部，∴正方形與扇形不重合的面積是：，即：，∵，∴，，設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是，∴，解得：，直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是，（2）連接，交于點F，如圖，∵正方形中，有，又∵直線與扇形相切，∴可知直線與扇形相切的切點為對角線交點F，∵，∴，∴利用勾股定理，可得正方形的邊長，∴，，同（1），利用待定系數(shù)法可得：直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況討論：當點E在扇形上時，連接，如圖，此時可知正方形對角線的長度與扇形所在圓的半徑相等，，∴利用勾股定理，可得正方形的邊長，∴正方形在扇形內(nèi)部，∴正方形與扇形不重合的面積是：，即：；當點C、D在扇形上時，如圖，即有正方形的邊長，∴正方形在扇形外部，∴正方形與扇形不重合的面積是：，即：；綜上：正方形與扇形不重合的面積為：或者．【點睛】本題考查了圖形與坐標，一次函數(shù)，正方形的性質(zhì)，扇形的面積計算，圓切線的性質(zhì)，注意分類討論的思想，是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七圓錐的