蘇科版九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍專題1.8圖形的相似(知識梳理+典例剖析+變式訓練)特訓(原卷版+解析)

2022-2023學年九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍【蘇科版】專題1.8圖形的相似精講精練【目標導航】【知識梳理】1.比例的性質（1）比例的基本性質：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項．

（2）常用的性質有：

①內項之積等于外項之積．若ab=cd,則ad=bc．

②合比性質．若③分比性質．若ab=cd,則a?bb=c?dd.

④合分比性質．若ab2.比例線段（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如

ab=cd（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．

（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．3.平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．

（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．

（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．4.相似圖形（1）相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．

（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．

（3）相似三角形

對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．5.相似多邊形的性質（1）如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．

（2）相似多邊形對應邊的比叫做相似比．

（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．

（4）相似多邊形的性質為：

①對應角相等；

②對應邊的比相等．6.相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．

（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．7.相似三角形的判定與性質（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．8.相似三角形的應用（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．

（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度．

（3）借助標桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度．9.作圖—相似變換（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．

（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的相似變換作圖．如圖所示：

（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應的縮小或放大一定的比例即可得到對應的相似圖形．10.相似三角形的性質相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應邊的比相等，對應角相等，那么這兩個三角形相似．

（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．

（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；

相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．

由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．11.位似變換（1）位似圖形的定義：

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．

注意：①兩個圖形必須是相似形；

②對應點的連線都經過同一點；

③對應邊平行．

（2）位似圖形與坐標

在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．12.作圖-位似變換（1）畫位似圖形的一般步驟為：

①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．

借助橡皮筋、方格紙、格點圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計算機也很好地將一個圖形放大或縮?。?/p>

（2）注意：①畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的內部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位似圖形的結果是不唯一的．【典例剖析】【考點1】比例【例1】（2022秋?邗江區(qū)月考）若＝，則下列式子正確的是（）A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝【變式1.1】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）已知，則的值為（）A．2 B． C．4 D．【變式1.2】（2022秋?高郵市期中）已知三條線段長分別是3，4，12，若再添加一條新線段，使這四條線段能成比例，則這條新線段長不可能是（）A．1 B．9 C．20 D．16【變式1.3】（2022秋?相城區(qū)校級月考）已知A、B兩地相距10km，在地圖上相距10cm，則這張地圖的比例尺為（）A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000【考點2】黃金分割【例2】（2022秋?常州期中）大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），如果AB的長度為8cm，那么AP的長度是（）A． B． C． D．【變式2.1】（2022春?高新區(qū)校級期末）已知線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），則線段AP的長為（）A． B． C．3﹣ D．﹣1【變式2.2】（2022秋?邗江區(qū)月考）P是線段AB上一點（AP＞BP），且滿足＝，則稱點P是線段AB的黃金分割點．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割點”．如圖，一片樹葉的葉脈AB長度為10cm，P為AB的黃金分割點（AP＞BP），求葉柄BP的長度．設BP＝xcm，則符合題意的方程是（）A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x） C．x（10﹣x）＝102 D．10（1﹣x）2＝10﹣x【變式2.3】（2022秋?宜興市月考）如圖，已知點C是線段AB的黃金分割點，且BC＞AC．若S1表示以BC為邊的正方形的面積，S2表示長為AD（AD＝AB）、寬為AC的矩形的面積，則S1與S2的大小關系為（）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．無法確定【考點3】相似圖形【例3】（2022秋?靖江市期中）下列圖形中，不一定是相似圖形的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個等腰直角三角形 C．兩個長方形 D．兩個圓【變式3.1】（2021秋?溧水區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，則∠H等于（）A．70° B．80° C．110° D．120°【變式3.2】（2020秋?如皋市期末）如圖，一塊矩形ABCD綢布的長AB＝a，寬AD＝3，按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形ABCD綢布相似，則a的值等于（）A．3 B．2 C．3 D．2【變式3.3】（2022春?吳江區(qū)期末）如圖，將一張矩形紙片沿兩長邊中點所在的直線對折，如果得到的兩個矩形都與原矩形相似，則原矩形長與寬的比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．：1【考點4】平行線分線段成比例【例4】（2022秋?濱湖區(qū)校級期中）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（）A． B． C． D．【變式4.1】（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，AE＝6cm，則AC的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm【變式4.2】（2022秋?天寧區(qū)校級月考）如圖，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，則DE等于（）A．5 B．6 C．7 D．9【變式4.3】（2022秋?江陰市校級月考）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結論正確的是（）A． B． C． D．【考點5】相似三角形的判定條件【例5】（2022秋?海陵區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，P為AB上一點，在下列四個條件中，不能判定△APC和△ACB相似的條件是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP?AB D．AC?CP＝AP?CB【變式5.1】（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，不能說明△ABC∽△ACD的一組條件是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD?AB D．＝【變式5.2】（2022秋?海陵區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，點P在邊AB上，則在下列四個條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④CP?AB＝AP?CB，能滿足△APC與△ABC相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【變式5.3】（2022?宿豫區(qū)校級開學）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在線段BD上有一點P，使得△PAB和△PCD相似，則滿足條件的點P的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【考點6】相似三角形的性質【例6】（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．21【變式6.1】（2022?沈陽模擬）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對應角平分線，若AD＝8，A'D'＝12，則△ABC與△A'B'C'的面積比是（）A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9；4【變式6.2】（2022秋?蘇州期中）如圖，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，則AB的長度為（）A．1 B．2 C．8 D．16【變式6.3】（2022?泗陽縣一模）如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若內接正方形DEFG的邊長是x，則h、c、x的數(shù)量關系為（）A．x2+h2＝c2 B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+【考點7】位似【例7】（2021秋?丹陽市期末）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角△A'B'C'是等腰直角△ABC以原點O為位似中心的位似圖形，且位似比為2：1，點A（1，0），B（1，2），C在A'B'上，則C'點坐標為（）A．（2，4） B．（2，2） C．（4，2） D．（4，4）【變式7.1】（2022春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似中心，其中OA：OD＝2：1，若DE＝4，則AB的長為（）A．1 B．2 C．8 D．16【變式7.2】（2022秋?邗江區(qū)校級月考）如圖，O是位似中心，點A，B的對應點分別為點D、E，相似比為2：1，若AB＝8，則DE的長為（）A．8 B．10 C．12 D．16【變式7.3】（2021春?蘇州期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在第二象限，點B坐標為（﹣2，0），點C坐標為（﹣1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C．若點A的對應點A′的坐標為（2，﹣3），點B的對應點B′的坐標為（1，0），則點A坐標為（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（﹣，） D．（﹣，2）【考點8】作圖：相似變換【例8】（2022秋?江陰市校級月考）在4×6的網格中，格點△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：△ABC的面積為．（2）請利用網格再畫一個格點△DEF∽△ABC且面積最小，并將此三角形涂上陰影．（注：標上字母）【變式8.1】（2022春?惠山區(qū)期末）按要求作圖，無需寫作法：（1）如圖①，已知∠AOB，OA＝OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．（2）如圖②，在邊長為1個單位的方格紙上，有△ABC，請作一個格點△DEF，使它與△ABC相似，但相似比不能為1．【變式8.2】（2021秋?常州期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點A、B、C的坐標分別為（0，3）、（2，1）、（4，1）．（1）以原點O為位似中心，在第一象限畫出△ABC的位似圖形△ABC，使△A1B1C1與△ABC的相似比為2：1；（2）借助網格，在圖中畫出△ABC的外接圓⊙P，并寫出圓心P的坐標；（3）將△ABC繞（2）中的點P（3）將△ABC繞點P順時針旋轉90°，則點A運動的路線長是．【變式8.3】（2021秋?靖江市月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）在AC邊上求作一點D，使得△BDC∽△ABC；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若AC＝2，求AD的長．【考點9】作圖：位似變換【例9】（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，1）、B（3，1）、C（0，2）．（1）①以點O為位似中心，在網格區(qū)域內畫出△DEF，使得△DEF與△ABC位似，且點D與點A對應，位似比為2：1；②點D坐標為；③△DEF的面積為個平方單位；（2）△ABC的外接圓圓心M的坐標為．【變式9.1】（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，格點圖形中每一個最小正方形的邊長為1單位長度，△ABC的頂點都在格點上．（1）在圖中建立平面直角坐標系，使得原點為點O，點A、B坐標分別為（﹣3，﹣1）、（1，﹣3）；（2）以點O為位似中心，畫出△ABC的位似三角形△A′B′C′，使得△A′B′C′與△ABC相似比為2：1；（3）在邊AB上求作M、N兩點，使得CM、CN將△ABC面積三等分．【變式9.2】（2022秋?靖江市期中）如圖是6×6的網格，每個小正方形的頂點稱為格點．ABC頂點AB、C均在格點上，僅用沒有刻度的直尺在給定網格中按要求作圖，并保留作圖痕跡．（1）在圖中畫出△ABC中BC邊上的中線AD；（2）在圖中畫出△BMN，使得△BMN與△BAC是位似圖形，且點B為位似中心，點M、N分別在AB、BC邊上，位似比為；（3）若每個小正方形的邊長為1，則四邊形AMND的面積是．【變式9.3】（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）△ABC外接圓的圓心坐標為，外接圓⊙P的半徑是．（2）以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的得到△A1B1C1，請在y軸左側畫出△A1B1C1；點P（a，b）為△ABC內的一點，則點P在△A1B1C1內部的對應點P1的坐標為．【考點10】相似三角形的性質與判定【例10】（2022秋?高郵市期中）如圖，點P在△ABC的外部，連結AP、BP，在△ABC的外部分別作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，連結PQ．（1）求證：AC?AP＝AB?AQ；（2）判斷∠PQA與∠ACB的數(shù)量關系，并說明理由．【變式10.1】（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，E在AD邊上，DE＝2AE，CE∥AB，BE∥CD．（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）已知△ABE面積為3，求四邊形ABCD的面積．【變式10.2】（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的角平分線，且交AB于點E，DB與CE相交于點O．（1）求證：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB＝7，BC＝5，求的值．【變式10.3】（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖①，E是矩形ABCD的邊CB上的一點，AF⊥DE于點F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．（1）證明△AFD∽△DCE，并計算點A到直線DE的距離（結果保留根號）．（2）在圖①的基礎上，延長線段AF交邊CD于點G，如圖②，則FG的長為．【考點11】相似三角形的應用【例11】（2022秋?濱湖區(qū)校級期中）為了測量學校旗桿上旗幟的寬度MN，如圖，點P、G、C、A在同一水平直線上，MG⊥PA，先是小紅在C處豎立一根標桿BC（BC⊥PA），地面上的點A、標桿頂端B和點N在一條直線上（N在MG上），BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；后是賀小明在P處手持自制直角三角紙板DEF（DP⊥PA），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使長直角邊DF與水平地面平行，調整位置，恰好在P點時點D、E、M在一條直線上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，請你根據(jù)兩次測量的結果，求出旗幟的寬度MN．【變式11.1】（2022秋?海陵區(qū)校級月考）甲乙兩位同學利用燈光下的影子來測量一路燈A的高度，如圖，當甲走到點C處時乙測得甲直立身高CD與其影子長CE正好相等，接著甲沿BC方向繼續(xù)向前走，走到點E處時，甲直立身高EF的影子恰好是線段EG，并測得EG＝2.5m．已知甲直立時的身高為1.5m，求路燈的高AB的長．【變式11.2】（2022秋?寶應縣校級月考）一天晚上，東升和朝陽利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度，如圖，當朝陽走到點A處時，東升測得朝陽直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著朝陽沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，朝陽直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1m．已知朝陽直立時的身高為1.5m，求路燈的高CD的長．【變式11.3】（2022秋?宜興市月考）有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設HE的長為ycm、EF的長為xcm．（1）寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）當x取多少時，EFGH是正方形．【考點12】相似綜合問題【例12】（2022秋?高郵市期中）【模型建立】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點D、E分別在BC、AC邊上，∠ADE＝60°，求證：AB?CE＝BD?DC；【模型應用】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于點D，點E在AC邊上，AE＝AD，點F在DC邊上，∠EFD＝60°，則的值為；【模型拓展】（3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠ABC＝60°，點D、E分別在BC、AC邊上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的長．【變式12.1】（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，面積為15，點E從點B出發(fā)沿折線B﹣C﹣D向終點D運動．過點E作點E所在的邊（BC或CD）的垂線，交菱形其它的邊于點F，在EF的右側作矩形EFGH．（1）則菱形的高為；（2）若EF＝FG，當EF過AC中點時，求AG的長；（3）已知FG＝4，設點E的運動路程為s．當s滿足什么條件時，以G，C，H為頂點的三角形與△BEF相似（包括全等）？請直接寫出答案．【變式12.2】（2022秋?蘇州期中）如圖1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中點，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求證：DE∥AB；（2）如圖2，將△DEC繞點C順時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三點共線，求∠DEB的度數(shù)．【變式12.3】（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點D，DE∥AC，交BC于點E．①若DE＝2，BD＝3，求BC的長；②試探究﹣是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2個外角，∠BCE＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延長線于點D，DE∥BC，交AC的延長線于點E．記△ACD的面積為S1，△CDE的面積為S2，△BCD的面積為S3．若S1?（S2﹣S3）＝S22，求cos∠CBD的值．2022-2023學年九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍【蘇科版】專題1.8圖形的相似精講精練【目標導航】【知識梳理】1.比例的性質（1）比例的基本性質：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項．

（2）常用的性質有：

①內項之積等于外項之積．若ab=cd,則ad=bc．

②合比性質．若③分比性質．若ab=cd,則a?bb=c?dd.

④合分比性質．若ab2.比例線段（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如

ab=cd（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．

（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．3.平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．

（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．

（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．4.相似圖形（1）相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．

（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．

（3）相似三角形

對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．5.相似多邊形的性質（1）如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．

（2）相似多邊形對應邊的比叫做相似比．

（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．

（4）相似多邊形的性質為：

①對應角相等；

②對應邊的比相等．6.相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．

（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．7.相似三角形的判定與性質（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．8.相似三角形的應用（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．

（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度．

（3）借助標桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度．9.作圖—相似變換（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．

（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的相似變換作圖．如圖所示：

（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應的縮小或放大一定的比例即可得到對應的相似圖形．10.相似三角形的性質相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應邊的比相等，對應角相等，那么這兩個三角形相似．

（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．

（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；

相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．

由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．11.位似變換（1）位似圖形的定義：

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．

注意：①兩個圖形必須是相似形；

②對應點的連線都經過同一點；

③對應邊平行．

（2）位似圖形與坐標

在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．12.作圖-位似變換（1）畫位似圖形的一般步驟為：

①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．

借助橡皮筋、方格紙、格點圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計算機也很好地將一個圖形放大或縮?。?/p>

（2）注意：①畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的內部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位似圖形的結果是不唯一的．【典例剖析】【考點1】比例【例1】（2022秋?邗江區(qū)月考）若＝，則下列式子正確的是（）A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝【分析】根據(jù)比例的性質，進行計算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴＝+1＝，故A不符合題意；B、∵＝，∴≠，故B不符合題意；C、∵＝，∴＝﹣1＝﹣∴＝﹣4，故C不符合題意；D、∵＝，∴＝，故D符合題意；故選：D．【變式1.1】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）已知，則的值為（）A．2 B． C．4 D．【分析】利用設k法，進行計算即可解答．【解答】解：∵，∴設a＝3k，b＝5k，∴＝＝＝4，故選：C．【變式1.2】（2022秋?高郵市期中）已知三條線段長分別是3，4，12，若再添加一條新線段，使這四條線段能成比例，則這條新線段長不可能是（）A．1 B．9 C．20 D．16【分析】根據(jù)比例線段的概念：如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．【解答】解：A、∵1×12＝3×4，∴這四條線段能成比例，故本選項不符合題意；B、∵3×12＝9×4，∴這四條線段能成比例，故本選項不符合題意；C、∵4×12≠3×20，∴這四條線段不能成比例，故本選項符合題意；D、∵4×12＝3×16，∴這四條線段能成比例，故本選項不符合題意．故選：C．【變式1.3】（2022秋?相城區(qū)校級月考）已知A、B兩地相距10km，在地圖上相距10cm，則這張地圖的比例尺為（）A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，直接求出即可．【解答】解：∵10km＝100000厘米，∴比例尺＝10：1000000＝1：100000；故選：C．【考點2】黃金分割【例2】（2022秋?常州期中）大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），如果AB的長度為8cm，那么AP的長度是（）A． B． C． D．【分析】利用黃金分割的定義，進行計算即可解答．【解答】解：∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），AB＝8cm，∴AP＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故選：D．【變式2.1】（2022春?高新區(qū)校級期末）已知線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），則線段AP的長為（）A． B． C．3﹣ D．﹣1【分析】根據(jù)黃金比值為計算即可．【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故選：D．【變式2.2】（2022秋?邗江區(qū)月考）P是線段AB上一點（AP＞BP），且滿足＝，則稱點P是線段AB的黃金分割點．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割點”．如圖，一片樹葉的葉脈AB長度為10cm，P為AB的黃金分割點（AP＞BP），求葉柄BP的長度．設BP＝xcm，則符合題意的方程是（）A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x） C．x（10﹣x）＝102 D．10（1﹣x）2＝10﹣x【分析】先利用黃金分割的定義即可得到AP是AB和BP的比例中項，再代入數(shù)據(jù)即可得到方程．【解答】解：∵AB＝10cm，BP＝xcm，∴AP＝（10﹣x）cm，∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），∴AP2＝BP×AB，即（10﹣x）2＝10x，故選：A．【變式2.3】（2022秋?宜興市月考）如圖，已知點C是線段AB的黃金分割點，且BC＞AC．若S1表示以BC為邊的正方形的面積，S2表示長為AD（AD＝AB）、寬為AC的矩形的面積，則S1與S2的大小關系為（）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．無法確定【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到BC2＝AC?AB，再利用正方形和矩形的面積公式有S1＝BC2，S2＝AC?AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵C是線段AB的黃金分割點，且BC＞AC，∴BC2＝AC?AB，∵S1表示以BC為邊的正方形面積，S2表示長為AB、寬為AC的矩形面積，∴S1＝BC2，S2＝AC?AB，∴S1＝S2．故選：A．【考點3】相似圖形【例3】（2022秋?靖江市期中）下列圖形中，不一定是相似圖形的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個等腰直角三角形 C．兩個長方形 D．兩個圓【分析】利用相似圖形的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、兩個等邊三角形一定相似，不符合題意；B、兩個等腰直角三角形一定相似，不符合題意；C、兩個長方形的對應角相等但對應邊的比不一定相等，故不一定相似，符合題意；D、兩個圓一定相似，不符合題意．故選：C．【變式3.1】（2021秋?溧水區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，則∠H等于（）A．70° B．80° C．110° D．120°【分析】利用相似多邊形的對應角相等求得答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，故選：D．【變式3.2】（2020秋?如皋市期末）如圖，一塊矩形ABCD綢布的長AB＝a，寬AD＝3，按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形ABCD綢布相似，則a的值等于（）A．3 B．2 C．3 D．2【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，構建方程求解即可．【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，∴，解得a＝3或﹣3（舍棄），∴a＝3，故選：C．【變式3.3】（2022春?吳江區(qū)期末）如圖，將一張矩形紙片沿兩長邊中點所在的直線對折，如果得到的兩個矩形都與原矩形相似，則原矩形長與寬的比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．：1【分析】表示出對折后的矩形的長和寬，再根據(jù)相似矩形對應邊成比例列出比例式，然后求解．【解答】解：設原來矩形的長為x，寬為y，則對折后的矩形的長為y，寬為，∵得到的兩個矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y(tǒng)：，解得x：y＝：1．故選：D．【考點4】平行線分線段成比例【例4】（2022秋?濱湖區(qū)校級期中）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（）A． B． C． D．【分析】由AD為△ABC的角平分線，DE∥AB，易得△ADE是等腰三角形，△CDE∽△CBA，又由＝，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∵AD為△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵＝，∴＝，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴＝＝．故選：B．【變式4.1】（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，AE＝6cm，則AC的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求出求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD：DB＝3：2，AE＝6cm，∴＝，∴EC＝4cm．∴AC＝AE+CE＝10（cm），故選：D．【變式4.2】（2022秋?天寧區(qū)校級月考）如圖，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，則DE等于（）A．5 B．6 C．7 D．9【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到DE、EF的關系，根據(jù)DF＝15，得到答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，，∴＝＝，∴，∴DE＝6，故選：B．【變式4.3】（2022秋?江陰市校級月考）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結論正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個判斷即可．【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，∴＝≠，故本選項不符合題意；B．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項不符合題意；C．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項不符合題意；D．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項符合題意；故選：D．【考點5】相似三角形的判定條件【例5】（2022秋?海陵區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，P為AB上一點，在下列四個條件中，不能判定△APC和△ACB相似的條件是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP?AB D．AC?CP＝AP?CB【分析】根據(jù)三角形相似的判定方法逐一進行判斷．【解答】解：當∠ACP＝∠B時，∵∠A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；當∠APC＝∠ACB時，∵∠A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；當AC2＝AP?AB時，即，∵A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；當AB?CP＝AP?CB時，即，∵A＝∠A，∴不能判定△APC和△ACB相似，故選：D．【變式5.1】（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，不能說明△ABC∽△ACD的一組條件是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD?AB D．＝【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法主要分析判斷即可．【解答】解：A、∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故選項A不符合題意；B、∠ADC＝∠ACB，∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故選項B不符合題意；C、∵AC2＝AD?AB，∴，又∵∠BAC＝∠CAD，故△ABC∽△ACD，故選項C不符合題意；D、∵根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，∴不能判斷△ABC∽△ACD，故選項D符合題意．故選：D．【變式5.2】（2022秋?海陵區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，點P在邊AB上，則在下列四個條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④CP?AB＝AP?CB，能滿足△APC與△ABC相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【分析】根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對①②進行判斷；根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可對③④進行判斷．【解答】解：當∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故①符合題意；當∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故②符合題意；當AC2＝AP?AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB；故③符合題意；當CP?AB＝AP?CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判斷△APC和△ACB相似．故④不符合題意；故選：D．【變式5.3】（2022?宿豫區(qū)校級開學）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在線段BD上有一點P，使得△PAB和△PCD相似，則滿足條件的點P的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【分析】分兩種情況討論，由三角形的性質可列出等式，可求解．【解答】解：設BP＝x，則PD＝17﹣x，∵∠B＝∠D＝90°，∴當或時，△PAB和△PCD相似，當時，則，解得：x＝，當時，則，解得：x＝，∴BP的值有三個，故選：C．【考點6】相似三角形的性質【例6】（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．21【分析】（1）方法一：設2對應的邊是x，3對應的邊是y，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等列等式，解出即可；方式二：根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比，列出等式計算．【解答】解：方法一：設2對應的邊是x，3對應的邊是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周長是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故選：C．【變式6.1】（2022?沈陽模擬）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對應角平分線，若AD＝8，A'D'＝12，則△ABC與△A'B'C'的面積比是（）A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9；4【分析】根據(jù)相似三角形的性質：對應角平分線的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對應角平分線，AD＝8，A'D'＝12，∴兩三角形的相似比為：8：12＝2：3，則△ABC與△A'B'C'的面積比是：4：9．故選：B．【變式6.2】（2022秋?蘇州期中）如圖，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，則AB的長度為（）A．1 B．2 C．8 D．16【分析】利用相似三角形的面積間的關系確定相似比，從而求得結論．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，∴面積比為4：1，∴相似比為2：1，∵A1B1＝4，∴AB＝2A1B1＝8，故選：C．【變式6.3】（2022?泗陽縣一模）如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若內接正方形DEFG的邊長是x，則h、c、x的數(shù)量關系為（）A．x2+h2＝c2 B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+【分析】先根據(jù)正方形的性質得到GF∥DE，從而證明△CGF∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質可列出比例式，再通過證明四邊形DHMG是矩形表示出CM的長度，即可求解．【解答】解：如圖，設CH與GF交于點M，∵四邊形DEFG是正方形，∴GF∥DE，∠GDE＝∠DGF＝90°，∴△CGF∽△CAB，∴＝，∵CH⊥AB，∴∠DHM＝90°，∴四邊形DHMG是矩形，∴DG＝MH，∵CH＝h，AB＝c，正方形DEFG的邊長是x，∴MH＝x，∴CM＝CH﹣MH＝h﹣x，∴＝，∴＝1﹣，∴＝﹣，∴＝+，故選：D．【考點7】位似【例7】（2021秋?丹陽市期末）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角△A'B'C'是等腰直角△ABC以原點O為位似中心的位似圖形，且位似比為2：1，點A（1，0），B（1，2），C在A'B'上，則C'點坐標為（）A．（2，4） B．（2，2） C．（4，2） D．（4，4）【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質求出點C的坐標，根據(jù)位似變換的性質計算即可．【解答】解：∵點A（1，0），B（1，2），∴AB＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∴點C的坐標為（2，1），∵△A'B'C'與△ABC位似，位似比為2：1，∴C'點坐標為（2×2，1×2），即C'點坐標為（4，2），故選：C．【變式7.1】（2022春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似中心，其中OA：OD＝2：1，若DE＝4，則AB的長為（）A．1 B．2 C．8 D．16【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根據(jù)相似三角形的性質計算即可．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，∴AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AB：DE＝OA：OD＝2：1，∵DE＝4，∴AB＝8，故選：C．【變式7.2】（2022秋?邗江區(qū)校級月考）如圖，O是位似中心，點A，B的對應點分別為點D、E，相似比為2：1，若AB＝8，則DE的長為（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】利用相似三角形的性質求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為2：1，∴＝2，∵AB＝8，∴DE＝16，故選：D．【變式7.3】（2021春?蘇州期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在第二象限，點B坐標為（﹣2，0），點C坐標為（﹣1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C．若點A的對應點A′的坐標為（2，﹣3），點B的對應點B′的坐標為（1，0），則點A坐標為（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（﹣，） D．（﹣，2）【分析】如圖，過點A作AE⊥x軸于E，過點A′作A′F⊥x軸于F．利用相似三角形的性質求出AE，OE，可得結論．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥x軸于E，過點A′作A′F⊥x軸于F．∵B（﹣2，0），C（﹣1，0），B′（1，0），A′（2，﹣3）∴OB＝2，OC＝OB′＝1，OF＝2，A′F＝3，∴BC＝1，CB′＝2，CF＝3，∵△ABC∽△A′B′C，∴＝＝，∴AE＝，∵∠ACE＝∠A′CF，∠AEC＝∠A′FC＝90°，∴△AEC∽△A′FC，∴＝＝，∴EC＝，∴OE＝EC+OC＝，∴A（﹣，），故選：C．【考點8】作圖：相似變換【例8】（2022秋?江陰市校級月考）在4×6的網格中，格點△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：△ABC的面積為4．（2）請利用網格再畫一個格點△DEF∽△ABC且面積最小，并將此三角形涂上陰影．（注：標上字母）【分析】（1）利用三角形面積公式可得答案．（2）根據(jù)相似三角形的性質即可畫出△DEF．【解答】解：（1）△ABC的面積為＝4．故答案為：4．（2）如圖，△DEF即為所求．【變式8.1】（2022春?惠山區(qū)期末）按要求作圖，無需寫作法：（1）如圖①，已知∠AOB，OA＝OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．（2）如圖②，在邊長為1個單位的方格紙上，有△ABC，請作一個格點△DEF，使它與△ABC相似，但相似比不能為1．【分析】（1）連結AB，EF交于點T，作射線OC，所以OC即為所求．（2）根據(jù)相似比等于，畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖①中，射線OT即為所求；（2）如圖②中，△DEF即為所求．【變式8.2】（2021秋?常州期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點A、B、C的坐標分別為（0，3）、（2，1）、（4，1）．（1）以原點O為位似中心，在第一象限畫出△ABC的位似圖形△ABC，使△A1B1C1與△ABC的相似比為2：1；（2）借助網格，在圖中畫出△ABC的外接圓⊙P，并寫出圓心P的坐標（3，4）；（3）將△ABC繞（2）中的點P（3）將△ABC繞點P順時針旋轉90°，則點A運動的路線長是π．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）三角形的外接圓的圓心是三角形各邊的垂直平分線的交點；（3）利用弧長公式求解．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，點P即為所求，P（3，4），故答案為：（3，4）；（3）∵PA＝＝，∴的長＝＝π．故答案為：π．【變式8.3】（2021秋?靖江市月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）在AC邊上求作一點D，使得△BDC∽△ABC；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若AC＝2，求AD的長．【分析】（1）作∠ABC的角平分線BD交AC于點D．（2）首先證明AD＝DB＝BC，利用相似三角形的性質，構建方程求解．【解答】解：（1）如圖，點D即為所求．（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC＝72°，∴AD＝DB＝BC，設AD＝x，∵△CBD∽△CAB，∴＝，∴CB2＝CD?CA，∴x2＝（2﹣x）?2，∴x2+2x﹣4＝0，解得x＝﹣1+或﹣1﹣（舍棄負根），∴AD＝﹣1．【考點9】作圖：位似變換【例9】（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，1）、B（3，1）、C（0，2）．（1）①以點O為位似中心，在網格區(qū)域內畫出△DEF，使得△DEF與△ABC位似，且點D與點A對應，位似比為2：1；②點D坐標為（2，2）；③△DEF的面積為4個平方單位；（2）△ABC的外接圓圓心M的坐標為（2，3）．【分析】（1）①利用位似圖形的性質得出對應點位置進而得出答案；②根據(jù)圖形即可得到結論；③利用三角形面積求法得出答案；（2）線段AB，AC的垂直平分線的交點即為所求．【解答】解：（1）①如圖所示：△DEF即為所求；②D（2，2）；故答案為：（2，2）；③△DEF的面積為：×4×2＝4．故答案為：4；（2）如圖2，點M即為△ABC的外接圓的圓心．△ABC的外接圓圓心M的坐標為（2，3），故答案為：（2，3）．【變式9.1】（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，格點圖形中每一個最小正方形的邊長為1單位長度，△ABC的頂點都在格點上．（1）在圖中建立平面直角坐標系，使得原點為點O，點A、B坐標分別為（﹣3，﹣1）、（1，﹣3）；（2）以點O為位似中心，畫出△ABC的位似三角形△A′B′C′，使得△A′B′C′與△ABC相似比為2：1；（3）在邊AB上求作M、N兩點，使得CM、CN將△ABC面積三等分．【分析】（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形即可；（3）根據(jù)平行線等分線段定理即可得到結論．【解答】解：（1）建立平面直角坐標系如圖所示；（2）△A′B′C′即為所求；（3）如圖，點M、N即為所求．【變式9.2】（2022秋?靖江市期中）如圖是6×6的網格，每個小正方形的頂點稱為格點．ABC頂點AB、C均在格點上，僅用沒有刻度的直尺在給定網格中按要求作圖，并保留作圖痕跡．（1）在圖中畫出△ABC中BC邊上的中線AD；（2）在圖中畫出△BMN，使得△BMN與△BAC是位似圖形，且點B為位似中心，點M、N分別在AB、BC邊上，位似比為；（3）若每個小正方形的邊長為1，則四邊形AMND的面積是．【分析】（1）根據(jù)三角形的中線作出圖形即可；（2）取格點T，N，使得BN＝2，連接NT交AN于點M，△BMN即為所求；（3）分別求出△ABD，△BMN的面積，可得結論．【解答】解：（1）線段AD即為所求；（2）如圖，△BMN即為所求；（3）∵△ABC的面積＝×6×4＝12，BD＝CD，∴△ABD的面積＝×12＝6，∵△BMN∽△BAC，相似比為1：3，∴△BMN的面積＝×12＝，∴四邊形AMND的面積＝6﹣＝．故答案為：．【變式9.3】（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）△ABC外接圓的圓心坐標為（0，﹣2），外接圓⊙P的半徑是2．（2）以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的得到△A1B1C1，請在y軸左側畫出△A1B1C1；點P（a，b）為△ABC內的一點，則點P在△A1B1C1內部的對應點P1的坐標為（a，b）．【分析】（1）線段AB，BC的垂直平分線的交點即為所求；（2）利用位似變換的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可，再利用位似變換的性質求出P1坐標．【解答】解：（1）如圖，⊙P即為△ABC的外接圓，P（0，﹣2），PA＝＝2；故答案為：（0，﹣2），；（2）如圖，△A1B1C1即為所求，P1（﹣a，﹣b）．故答案為：【考點10】相似三角形的性質與判定【例10】（2022秋?高郵市期中）如圖，點P在△ABC的外部，連結AP、BP，在△ABC的外部分別作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，連結PQ．（1）求證：AC?AP＝AB?AQ；（2）判斷∠PQA與∠ACB的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）由∠1＝∠BAC，得∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，則∠CAQ＝∠BAP，而∠2＝∠ABP，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△CAQ∽△BAP，則＝，所以AC?AP＝AB?AQ；（2）由AC?AP＝AB?AQ，變形為＝，而∠1＝∠BAC，即可由“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明△APQ∽△ABC，得∠PQA＝∠ACB．【解答】（1）證明：∵∠1＝∠BAC，∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵∠2＝∠ABP，∴△CAQ∽△BAP，∴＝，∴AC?AP＝AB?AQ．（2）解：∠PQA＝∠ACB，理由：∵AC?AP＝AB?AQ，∴＝，∵∠1＝∠BAC，∴△APQ∽△ABC，∴∠PQA＝∠ACB．【變式10.1】（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，E在AD邊上，DE＝2AE，CE∥AB，BE∥CD．（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）已知△ABE面積為3，求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由平行線的性質可得∠AEB＝∠D，∠ABE＝∠ECD，可得結論；（2）由相似三角形的性質可求S△CDE＝12，即可求解．【解答】（1）證明：∵CE∥AB，BE∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∠AEB＝∠D，∠BEC＝∠ECD，∴∠ABE＝∠ECD，∴△ABE∽△ECD；（2）解：如圖，過點A作AH⊥BE于H，過點E作EN⊥CD于N，∵△ABE∽△ECD，∴＝（）2，，∵△ABE面積為3，DE＝2AE，∴S△CDE＝12，＝，∴S△CBE＝6，∴S四邊形ABCD＝21．【變式10.2】（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的角平分線，且交AB于點E，DB與CE相交于點O．（1）求證：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB＝7，BC＝5，求的值．【分析】（1）欲證明△EBC是等腰三角形，只需推知BC＝BE即可，可以由∠2＝∠3得到BC＝BE；（2）通過相似三角形（△COD∽△EOB）的對應邊成比例得到＝＝．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，AD∥CB，∴∠1＝∠2．∠4＝∠5，∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴BC＝BE，∴△EBC是等腰三角形；（2）解：∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴△COD∽△EOB，∴＝．∵平行四邊形ABCD，∴CD＝AB＝7．∵BE＝BC＝5，∴＝＝，∴＝．【變式10.3】（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖①，E是矩形ABCD的邊CB上的一點，AF⊥DE于點F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．（1）證明△AFD∽△DCE，并計算點A到直線DE的距離（結果保留根號）．（2）在圖①的基礎上，延長線段AF交邊CD于點G，如圖②，則FG的長為．【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，得到∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，根據(jù)勾股定理得到DE＝＝，通過△ADF∽△DCE，得到＝，列方程即可得到結果；（2）證明△ADG∽△DCE，得到＝，求出AG，由FG＝AG﹣AF即可求解．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∴DE＝＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠C＝90°，∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴△ADF∽△DCE，∴＝，即＝，∴點A到直線DE的距離AF＝；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∴DE＝＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠CDA＝90°，∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG∽△DCE，得∴＝，即＝，∴AG＝，∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；故答案為：；【考點11】相似三角形的應用【例11】（2022秋?濱湖區(qū)校級期中）為了測量學校旗桿上旗幟的寬度MN，如圖，點P、G、C、A在同一水平直線上，MG⊥PA，先是小紅在C處豎立一根標桿BC（BC⊥PA），地面上的點A、標桿頂端B和點N在一條直線上（N在MG上），BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；后是賀小明在P處手持自制直角三角紙板DEF（DP⊥PA），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使長直角邊DF與水平地面平行，調整位置，恰好在P點時點D、E、M在一條直線上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，請你根據(jù)兩次測量的結果，求出旗幟的寬度MN．【分析】如圖，延長DF交MG于Q，則DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6，證明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由線段的和差可得結論．【解答】解：如圖，延長DF交MG于Q，則DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6，∵BC⊥AP，MG⊥AP，∴BC∥MG，∴△ABC∽△ANG，∴＝，即＝，∴NG＝12，同理得：△DEF∽△DMQ，∴＝，∵EF＝0.1米，DF＝0.2米，∴DF＝2EF，∴MQ＝DQ＝×23.6＝11.8（米），∴MN＝MQ+QG﹣GN＝11.8+1.5﹣12＝1.3（米）．答：旗幟的寬度MN是1.3米．【變式11.1】（2022秋?海陵區(qū)校級月考）甲乙兩位同學利用燈光下的影子來測量一路燈A的高度，如圖，當甲走到點C處時乙測得甲直立身高CD與其影子長CE正好相等，接著甲沿BC方向繼續(xù)向前走，走到點E處時，甲直立身高EF的影子恰好是線段EG，并測得EG＝2.5m．已知甲直立時的身高為1.5m，求路燈的高AB的長．【分析】根據(jù)AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)E⊥BG，CD＝CE得到AB∥CD∥EF，從而得到△ABG∽△FEG，利用相似三角形對應邊的比相等列出比例式求解即可．【解答】解：如圖，設AB＝xm，由題意知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)E⊥BG，CD＝CE，∴AB∥CD∥EF，∴BE＝AB＝x，∴△ABG∽△FEG，∴，即，解得：x＝答：路燈高AB約為米．【變式11.2】（2022秋?寶應縣校級月考）一天晚上，東升和朝陽利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度，如圖，當朝陽走到點A處時，東升測得朝陽直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著朝陽沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，朝陽直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1m．已知朝陽直立時的身高為1.5m，求路燈的高CD的長．【分析】根據(jù)AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，MA∥CD∥BN，得到△ABN∽△ACD，根據(jù)EA＝MA，D得到∠E＝45°，故△ECD為等腰直角三角形，得EC＝CD，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可．【解答】解：設CD長為xm，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD∥BN，且△AME為等腰直角三角形，∴∠E＝45°，∴△ECD為等腰直角三角形，∴EC＝CD＝xm，AC＝EC﹣AE＝EC﹣AM＝（x﹣1.5）m，∵BN∥CD，∴∠ANB＝∠ADC，∠ABN＝∠ACD＝90°，∴△ABN∽△ACD，∴＝，∴＝，解得：x＝4.5，∴路燈CD的高度為4.5m．【變式11.3】（2022秋?宜興市月考）有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設HE的長為ycm、EF的長為xcm．（1）寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）當x取多少時，EFGH是正方形．【分析】（1）先由BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的長為ycm、EF的長為xcm可知，AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，再根據(jù)HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)正方形的性質可知y＝x，再代入（1）中所求的代數(shù)式即可得出結論．【解答】解：（1）∵BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的長為ycm、EF的長為xcm，四邊形EFGH是矩形，∴AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x；（2）由（1）可知，y與x的函數(shù)關系式為y＝8﹣x，∵四邊形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y(tǒng)，∴x＝8﹣x，解得x＝，答：當x＝時，四邊形EFGH是正方形．【考點12】相似綜合問題【例12】（2022秋?高郵市期中）【模型建立】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點D、E分別在BC、AC邊上，∠ADE＝60°，求證：AB?CE＝BD?DC；【模型應用】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于點D，點E在AC邊上，AE＝AD，點F在DC邊上，∠EFD＝60°，則的值為2；【模型拓展】（3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠ABC＝60°，點D、E分別在BC、AC邊上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的長．【分析】（1）利用等邊三角形的性質，三角形的內角和定理和相似三角形的判定與性質解答即可；（2）利用直角三角形的性質，三角形的內角和定理判定△ADE為等邊三角形，利用等腰三角形的判定和三角形的外角的性質求得∠EDC＝∠C＝30°，∠FEC＝∠C＝30°；再利用含30°角的直角三角形的性質和等量代換的性質即可得出結論；（3）在DC上截取DF＝BA，連接EF，利用全等三角形的判定與性質得到∠B＝∠EFD＝60°，則∠EFC＝120°，利用相似三角形的判定與性質得到關于CF的方程，解方程求得CF，則DC＝DF+CF．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形；，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴，∴AB?CE＝BD?DC；（2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠C＝30°．∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠DAE＝60°．∵AE＝AD，∴△ADE為等邊三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°．∵∠AED＝∠C+∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠C＝30°，∴DE＝EC．∵∠EFD＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDC＝90°，∴DF＝2EF．∵∠DFE＝∠C+∠FEC＝60°，∴∠FEC＝∠C＝30°，∴EF＝FC，∴DF＝2FC，即＝2，故答案為：2；（3）解：在DC上截取DF＝BA，連接EF，如圖，∵∠DAE＝∠ADE＝60°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE為等邊三角形，∴AD＝DE．∵∠ABC＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∠ADB+∠EDF＝120°，∴∠BAD＝∠EDF，在△BAD和△FDE中，，∴△BAD≌△FDE（SAS），∴∠B＝∠EFD＝60°，∴∠EFC＝120°．∵∠AED＝60°，∴∠DEC＝120°，∴∠EFC＝∠DEC，∵∠C＝∠C，∴△EFC∽△DEC，∴，∴，∴CF2+5CF﹣36＝0，∵CF＞0，∴CF＝4．∴DC＝DF+CF＝5+4＝9．【變式12.1】（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABC