第五講 二次函數(shù)壓軸題型（專項(xiàng)練習(xí)）（解析版）

2023年中考數(shù)學(xué)典型例題系列之函數(shù)篇第五講二次函數(shù)壓軸題型（解析版）【考點(diǎn)一】二次函數(shù)與線段最值問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】一、平面內(nèi)任意兩點(diǎn)距離公式。若則或二、平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造相似。借助平面直角坐標(biāo)系的直角特點(diǎn)，作平行線或垂線，構(gòu)造出“A”“X”型相似或“一線三垂直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比轉(zhuǎn)化，列出數(shù)量關(guān)系求解。三、鉛垂線法求最值。1.圖形示例：圖1圖2CD為△ABC的鉛垂高，BG為△ABC的水平寬2.鉛垂線最值一般解法為：一設(shè)（設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)并表示出D點(diǎn)）；二列（表示出PD長(zhǎng)度）；三配（把PD的長(zhǎng)度看做關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，配方求最值）。【典型例題】（2022·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再令，可得，求解即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的解析式，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)論；【詳解】（1）解：由題意，將點(diǎn)、代入，可得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，可有，解得，，∴；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、代入，可得，解得，∴，設(shè)點(diǎn)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，有；【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，拋物線y＝x2+5x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)P在線段AC上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，則線段PQ長(zhǎng)的最大值為多少？【解題思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再確定C（0，4），則可利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y＝x+4，設(shè)P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：當(dāng)y＝0時(shí)，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，則A（﹣4，0），B（﹣1，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2+5x+4＝4，則C（0，4），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得?4k+b=0b=4，解得k=1∴直線AC的解析式為y＝x+4，設(shè)P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），則Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴當(dāng)t＝﹣2時(shí)，PQ有最大值，最大值為4．故答案為4．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，直線y=?34x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=?38x2+34x+3經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作y【解題思路】設(shè)出E的坐標(biāo)，表示出M坐標(biāo)，進(jìn)而表示出EM，化成頂點(diǎn)式即可求得EM的最大值．【解答過(guò)程】解：∵點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（m，?38m2+34m+3），點(diǎn)M的坐標(biāo)是（m∴EM=?38m2+34m+3﹣（?34m+3）=?38m2+32m=?38（∴當(dāng)m＝2時(shí)，EM有最大值為32故答案為32【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝x2+bx+c，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)。（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值?！窘忸}思路】（1）利用二次函數(shù)對(duì)稱性即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）首先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出直線AC的解析式，再利用QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）進(jìn)而求出最值．【解答過(guò)程】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣3，0）與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．（2）∵a＝1，∴y＝x2+bx+c．∵拋物線過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），且對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴9?3b+c=0∴解得：b=2c=?3∴y＝x2+2x﹣3，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，則?3m+n=0n=?3解得：m=?1n=?3∴y＝﹣x﹣3如圖，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x．y），﹣3≤x≤0．則有QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）∵﹣3≤?32≤0，∴當(dāng)x=?32∴線段QD長(zhǎng)度的最大值為94【考點(diǎn)二】二次函數(shù)與將軍飲馬模型（線段周長(zhǎng)問(wèn)題）。【方法點(diǎn)撥】將軍飲馬模型1.【兩定一動(dòng)模型】如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最小。作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A/、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA/+PB=A/B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）2.【一定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)模型】在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長(zhǎng)最小。此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對(duì)稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P/M+MN+NP//，當(dāng)P/、M、N、P//共線時(shí)，△PMN周長(zhǎng)最小。3.【兩定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)模型】在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小?？紤]PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB對(duì)稱，化折線段PM+MN+NQ為P/M+MN+NQ/，當(dāng)P/、M、N、Q/共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。4.【一定兩動(dòng)之點(diǎn)線】在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)P/，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P/M+MN，即過(guò)點(diǎn)P/作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）。5.模型拓展：【將軍過(guò)橋模型】已知將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可，問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A/位置。問(wèn)題化為求A/N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置?！镜湫屠}1】（2021·四川眉山·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y＝x+m與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，當(dāng)PE+EF有最大值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)y＝x2﹣4x+3(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1）【分析】（1）利用待定系數(shù)法解得即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥FC，交直線BC與點(diǎn)Q，設(shè)直線EF交x軸于點(diǎn)K，由已知易得△EPQ和△EFC是等腰直角三角形；設(shè)P（t，t2-4t+3），則Q（t，-t+3），利用已知條件得出用字母t表示PE+EF的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得符合條件的t值，結(jié)論可求；（1）解：由題意得：，解得：；∴拋物線的解析式為：y=x2-4x+3；（2）解：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥FC，交直線BC與點(diǎn)Q，設(shè)直線EF交x軸于點(diǎn)K，如圖，由題意：F（0，m），K（-m，0），∴OF=OK=-m．∴∠OFP=∠OKF=45°．∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°．∴∠ECF=∠EFC=45°．∵PQ∥FC，∴△EPQ和△EFC都是等腰直角三角形．∴PE=PQ，EF=FC．∵FC=OF+OC，∴FC=3-m．∴EF=（3-m）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，∴，解得：．∴直線BC的解析式為：y=-x+3．設(shè)P（t，t2-4t+3），1＜t＜3，則Q（t，-t+3），∴PQ=（-t+3）-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴PE=（-t2+3t）．∵拋物線y=x2-4x+3與直線y=x+m相交于點(diǎn)P，∴t2-4t+3=t+m，∴t2-5t=m-3．∴PE+EF=（-t2+3t）+（3-m）=-（t2-4t）=-（t-2）2+4．∵-＜0，∴當(dāng)t=2時(shí)，PE+EF取得最大值為4．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）；【典型例題2】（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；(2)當(dāng)a＝時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAB周長(zhǎng)的最小值；(3)當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周長(zhǎng)最小值是2+2；(3)此時(shí)Q（-1，-2），DQ最大值為．【分析】（1）先求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先利用對(duì)稱性找出△PAB周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的位置，此時(shí)AP=CP，△PAB的周長(zhǎng)最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，根據(jù)勾股定理求出AB、BC的長(zhǎng)即可求出△PAB最小值；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，-2)，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，∴，∴2a=b+1，c=-2；（2）解：當(dāng)a=時(shí)，則b=-，∴拋物線的解析式為y=x2-x-2，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)，△PAB的周長(zhǎng)為：PB+PA+AB，且AB是定值，∴當(dāng)PB+PA最小時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)A、C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴連接BC交直線x=1于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周長(zhǎng)最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周長(zhǎng)最小值是：2+2．（3）解：當(dāng)a=1時(shí)，b=1，∴拋物線的解析式為y=x2+x-2，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，當(dāng)t=-1時(shí)，DQ有最大值，此時(shí)Q（-1，-2）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·四川遂寧·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線l為，且直線直線AC，垂足為點(diǎn)D，拋物線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)．(1)求a、b、c的值．(2)點(diǎn)E在拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作軸，交直線AC于點(diǎn)F，若點(diǎn)E由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，求線段EF的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再求出D點(diǎn)坐標(biāo)，最后再用待定系數(shù)法求出a、b、c；（2）設(shè)E，則F，則EF=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可；（1）解：設(shè)直線AC為y=kx+b，則，解得∴直線AC的解析式為：∴，解得

∴D．∵拋物線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)，∴，解得．（2）解：設(shè)E，則F，∴EF=，∵a=，∴EF有最大值，當(dāng)x=時(shí)，EF的最大值為．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)（1，-2）(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸，如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，EQ，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3），根據(jù)軸對(duì)稱最短路徑可知AE與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q；（3）分兩種情況當(dāng)∠BPM=90°和當(dāng)∠PBM=90°兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：∵拋物線解析式為，與y軸交于點(diǎn)C，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，EQ，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3），

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知CQ=EQ，∴△ACQ的周長(zhǎng)=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周長(zhǎng)最小，則AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，∴當(dāng)A、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+QE最小，設(shè)直線AE的解析式為，∴，∴，∴直線AE的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）；【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，拋物線y=53x2?203x+5與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C，在其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接MA、MC、AC，則當(dāng)△MAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)【解題思路】點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接CB交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求點(diǎn)，即可求解．【解答過(guò)程】解：點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接CB交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求點(diǎn)，理由：連接AC，由點(diǎn)的對(duì)稱性知，MA＝MB，△MAC的周長(zhǎng)＝AC+MA+MC＝AC+MB+MC＝CA+BC為最小，令y=53x2?203x+5＝0，解得x＝1或3，令故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（3，0）、（0，5），則函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+b，則0=3k+bb=5，解得k=?故直線BC的表達(dá)式為y=?53當(dāng)x＝2時(shí)，y=?53x+5故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，53【考點(diǎn)三】二次函數(shù)與三角形面積最值問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】三角形面積的常見(jiàn)求法。一、公式法。二、割補(bǔ)法。三、鉛錘法：“鉛垂高、水平寬”。1.圖形示例：歪三角形（沒(méi)有邊與對(duì)稱軸平行）圖1圖2S△ABC=S△ACD+S△BCDS△ABC=S△ACD－S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·AE－CD·BF=CD（AE+BF）=CD·BG=CD·BGCD為△ABC的鉛垂高，BG為△ABC的水平寬，S△ABC=ah2.解題步驟：（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．【典型例題】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)（-2，-4）【分析】（1）直接將B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直線AB關(guān)系式為：，直線AB平移后的關(guān)系式為：，當(dāng)其與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D距AB最大，此時(shí)△ABD的面積最大，由此即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；【詳解】（1）解：將B（0，-4），C（2，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為：．（2）向下平移直線AB，使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點(diǎn)D時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D到直線AB的距離最大，此時(shí)△ABD的面積最大，∵時(shí)，，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4,0），設(shè)直線AB關(guān)系式為：，將A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直線AB關(guān)系式為：，設(shè)直線AB平移后的關(guān)系式為：，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即的解為：x=-2，將x=-2代入拋物線解析式得，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-2，-4）時(shí)，△ABD的面積最大；【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022春·四川瀘州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)有一個(gè)點(diǎn)M在線段CB上運(yùn)動(dòng)，作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N，問(wèn)當(dāng)M、N點(diǎn)位于何處時(shí)，△BCN的面積最大，求最大面積.【答案】(1)(2)當(dāng)，時(shí)，△BCN的面積最大，最大面積為【分析】（1）根據(jù)題中所給的解析式及A（1，0）和C（0，3）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）平面直角坐標(biāo)系中三角形面積問(wèn)題，找平行于坐標(biāo)軸的邊為底，然后表示出面積即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），，解得，二次函數(shù)的解析式為（2）解：設(shè)直線，把C（3，0）代入得，解得，∴直線BC的解析式為，設(shè)，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴綜上所述，當(dāng)，時(shí)，△BCN的面積最大，最大面積為．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·四川遂寧·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線與x軸交于點(diǎn)C，且(1)求拋物線和直線的解析式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），則是否存在一點(diǎn)P，使的面積最大？若存在求出的最大面積；若不存在，試說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2）存在，8（1）解：∵拋物線過(guò)，解得∴拋物線的解析式為∴拋物線與y軸的交點(diǎn)又∵直線過(guò)∴，∴∴直線的解析式為：（2）解：如圖連接，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸，交直線于D，設(shè)點(diǎn)，則∴∴∵∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為8．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)求最值問(wèn)題，以及二次函數(shù)與等腰三角形、三角形面積有關(guān)的問(wèn)題．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2023·陜西咸陽(yáng)·校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，，對(duì)稱軸為直線．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接和，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由得，結(jié)合對(duì)稱軸建立方程組求解即可；（2）如圖，由（1）求出即，即設(shè)是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)，用坐標(biāo)表示三角形面積即可求解．【詳解】（1）解：，，對(duì)稱軸為，，解得：，拋物線解析式為：；（2）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為，即，拋物線解析式為：，,即，設(shè)是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則且，，開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)有最大值，面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了代入法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求三角形最大面積；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．【考點(diǎn)四】二次函數(shù)與直角三角形存在問(wèn)題。【典型例題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，對(duì)稱軸為，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、C、P為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)?！窘馕觥拷猓海?）∵拋物線y=ax2+2x+c的對(duì)稱軸為x==2，∴a=，即y=x2+2x+c，∵OA=1，A在拋物線上，則將A（－1,0）代入y=x2+2x+c得：c=，即拋物線的解析式為：y=x2+2x+.（2）由（1）知，拋物線對(duì)稱軸為x=2，設(shè)P（2，m）△BCP為直角三角形在y=x2+2x+中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，x=5；當(dāng)x=0時(shí)，y=，即B（5,0），C（0，），方法一：勾股定理分類討論：①當(dāng)BC2=BP2+PC2，即25+=32+m2+22+（m-）2解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②當(dāng)BP2=BC2+PC2，即32+m2=25++22+（m-）2解得：m=，即P（2，），③當(dāng)PC2=BC2+BP2即22+（m-）2=25++32+m2解得：m=-6，即P（2，-6），方法二：相似三角形分類討論①當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，如圖，過(guò)P作x軸的平行線，交y軸于N，過(guò)B作BM⊥PN于M易證：△PNC∽△BMP∴即，解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②如圖，當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，過(guò)P作PH⊥y軸于H，同理可得：,即，解得：m=即P（2，）③當(dāng)∠CBP=90°時(shí)，如圖所示，同理知，,即，解得：m=-6，即P（2，-6）方法三：三角函數(shù)分類討論①當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，易知∠NCP=∠BPM，∴tan∠NCP=tan∠BPM即即，解得：m=4或m=，即P（2，4）或（2，），②如圖，當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，同理可得：tan∠PCH=tan∠CBO，即,即，解得：m=即P（2，）③當(dāng)∠CBP=90°時(shí)，同理知，,即，解得：m=-6，即P（2，-6）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，點(diǎn)P為第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求a、b、c的值；（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)成拋物線解析式，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論；（2）先求出直線AC的解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再用三角形的面積公式，得出函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；（3）運(yùn)用配方法求出拋物線對(duì)稱軸，設(shè)點(diǎn)Q（﹣1，n），根據(jù)A（﹣3，0），C（0，3），可運(yùn)用勾股定理分別求出：AC2，CQ2，AQ2，由于△QAC為直角三角形，可以分三種情況：∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，對(duì)每種情況運(yùn)用勾股定理列方程求解即可．【解答過(guò)程】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)∴9a?3b+c=0a+b+c=0解得：a=?1∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為y＝x+3，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣2m+3），則E（m，m+3），∴S△ACP=12PE?（xC﹣xA）=12×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）=?32（m2﹣3m）=?∴當(dāng)m=?32時(shí)，S△PAC最大（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，如圖2，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線對(duì)稱軸為x＝﹣1，設(shè)點(diǎn)Q（﹣1，n），則AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC為直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，①當(dāng)∠CAQ＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②當(dāng)∠ACQ＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，解得：n＝4，∴Q2（﹣1，4）；③當(dāng)∠AQC＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，解得：n1=3+172，n∴Q3（﹣1，3+172），Q4（﹣1，綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B（3，0）．C（0，3），點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，若OD＝m．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)△PCD的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在MB上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）將B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，列方程組求出b、c的值即可；（2）先求BM所在直線的解析式，用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PCD的面積，求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，用函數(shù)的性質(zhì)判斷并求出S的最值；（3）存在符合條件的點(diǎn)P，分三種情況根據(jù)點(diǎn)P的位置或勾股定理列方程求出m的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答過(guò)程】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得?9+3b+c=0c=3，解得b=2∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）S有最大值．如圖1，設(shè)直線BM的解析式為y＝kx+a，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴該拋物的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得k+a=43k+a=0，解得k=?2∴y＝﹣2x+6，∵D（m，0），∴P（m，﹣2m+6）；由S△PCD=12PD?得S=12m（﹣2m+6）＝﹣m2+3∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，不存在以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形，∴1≤m＜3，∴S不存在最小值；∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m?32）2∴當(dāng)m=32時(shí)，S最大∴S的最大值為94（3）存在．若∠DPC＝90°，如圖2，則PC∥x軸，∴P（m，3），且在直線y＝﹣2x+6上，∴﹣2m+6＝3，解得m=3∴P（32若∠PCD＝90°，如圖3，則PC2+CD2＝PD2，∴m2+（﹣2m+6﹣3）2+m2+32＝（﹣2m+6）2，整理得m2+6m﹣9＝0，解得m1＝（32?3，m2∴P（32?3，若∠PDC＝90°，則CD2+PD2＝PC2，∴m2+32+（﹣2m+6）2＝m2+（﹣2m+6﹣3）2，整理得12m＝36，解得m＝3，此時(shí)不存在以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形，∴m＝3舍去．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（32，3）或（32?3【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·四川遂寧·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線l為，且直線直線AC，垂足為點(diǎn)D，拋物線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)．(1)求a、b、c的值．(2)點(diǎn)P、Q分別在線段AB、AD上，連接PQ、BQ，若點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，是否存在和中一個(gè)是等腰三角形另一個(gè)是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)P或P（2，0）或P【分析】（1）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再求出D點(diǎn)坐標(biāo)，最后再用待定系數(shù)法求出a、b、c；（3）分①AP=PQ，∠PQB=90°，②PB=PQ，∠APQ=90°，③PQ=BP，∠PQA=90°，設(shè)PQ=a，分別表示出AP和BP，再根據(jù)AB=AP+BP=6，求出a的值，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．（1）解：設(shè)直線AC為y=kx+b，則，解得∴直線AC的解析式為：∴，解得

∴D．∵拋物線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)，∴，解得．（2）解：①當(dāng)AP=PQ，∠PQB=90°時(shí)，作QH⊥AB于H，如圖，設(shè)QH=a，則AH=2a，設(shè)AP=PQ=x，則PH=2a-x，∵，∴，∴，∴PH=．∵QH⊥AB，PQ⊥BQ，∴∠QBP=∠PQH，∴tan∠QBP=tan∠PQH，∴，即∴BH=．∵AH+BH=AB=6，∴，∴，∵OP=AP-OA=∴P；②當(dāng)PB=PQ，∠APQ=90°時(shí)，如圖，設(shè)QP=a，則AP=2a，PB=a，∴AB=AP+PB=3a=6，∴a=2，∴P（2，0）；③當(dāng)PQ=BP，∠PQA=90°時(shí)，如圖，設(shè)PQ=a，則PB=a，∵tan∠QAP=，∴AQ=2a，，∴AB=，∴，∴OP=AP-OA=，∴P綜上所述，P或P（2，0）或P．【考點(diǎn)五】二次函數(shù)與等腰三角形存在問(wèn)題?！镜湫屠}】如圖，直線y=?12x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C和點(diǎn)（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求該二次函數(shù)的解析式。（3）若拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘忸}思路】（1）令直線y=?12x+2的x＝0，y＝0，求出對(duì)應(yīng)的y和x的值，得到點(diǎn)C、（2）用待定系數(shù)法設(shè)二次函數(shù)解析式，代入點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求出解析式；（3）利用“兩圓一中垂”找到對(duì)應(yīng)的等腰三角形，結(jié)合勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答過(guò)程】解：（1）對(duì)直線y=?12x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，y＝0時(shí)，∴B（4，0），C（0，2）．（2）設(shè)二次函數(shù)為y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)B（4，0），A（﹣1，0），∴y＝a（x﹣4）（x+1），把點(diǎn)C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：a（0﹣4）（0+1）＝2，解得：a=?1∴y=?12（x﹣4）（x+1）=?12x（3）∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)B（4，0），A（﹣1，0），∴對(duì)稱軸為x=4?1∴D（32∵C（0，2），∴CD=2①如圖1，當(dāng)CD＝PD時(shí)，PD=5∴P1（32，52），P②如圖2，當(dāng)CD＝CP3時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DP3于點(diǎn)H，∵CD＝CP3，CH⊥DP3，∴DH＝P3H，∵C（0，2），∴DH＝2，∴P3H＝2，∴P3D＝4，∴P3（32綜上所述：存在P1（32，52），P2（32，?52），P【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)為；(1)求拋物線及直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)，，，；(3)或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題即可；（2）先求出AF長(zhǎng)，再根據(jù)AF為腰或底邊分三種情況進(jìn)行討論，即可解答；（3）如圖2中，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，分別求出直線，直線的解析式即可解決問(wèn)題．(1)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，在拋物線上，，解得，拋物線的解析式為，直線經(jīng)過(guò)、，設(shè)直線的解析式為，則，解得，，直線的解析式為；(2)∵拋物線，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)，AF為腰時(shí)，AF=AG，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)F是關(guān)于x軸的對(duì)稱，故此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F為頂點(diǎn)，AF為腰時(shí)，F(xiàn)A=FG，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)G為頂點(diǎn)，AF為底時(shí)，設(shè)，，解得，綜上所述：(3)如圖，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，，直線的解析式為，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，則直線的解析式為，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)M（﹣2，），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+；（2）當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，），（﹣1，），（﹣1，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；（3）在直線AC上存在一點(diǎn)Q（﹣，），使△QBM的周長(zhǎng)最?。窘馕觥俊驹斀狻糠治觯海?）先由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+，再將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式；（2）先求出拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交點(diǎn)A、B，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC==2．設(shè)P（﹣1，m），當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最小，由B（﹣3，0），C（0，），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B′（3，2），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y=x+，直線AC的解析式為y=﹣x+，然后解方程組，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．本題解析：（1）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+，將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解得a=﹣，故所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+；（2）∵y=﹣x2﹣x+，∴x=0時(shí)，y=，∴C（0，）．y=0時(shí)，﹣x2﹣x+=0，解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC==2．設(shè)P（﹣1，m），當(dāng)CP=CB時(shí)，有CP==2，解得m=±；當(dāng)BP=BC時(shí)，有BP==2，解得m=±2；當(dāng)PB=PC時(shí)，=，解得m=0，綜上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，），（﹣1，），（﹣1，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，∵B、B′關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴QB=QB′，∴QB+QM=QB′+QM=MB′，所以此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最小．由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．設(shè)直線MB′的解析式為y=kx+n，將M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直線MB′的解析式為y=x+．同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+．由，解得，即Q（﹣，）．所以在直線AC上存在一點(diǎn)Q（﹣，），使△QBM的周長(zhǎng)最?。c(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六】二次函數(shù)與等腰直角三角形存在問(wèn)題?！镜湫屠}】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求B，C，D三點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，拋物線上有E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且EF//x軸，當(dāng)△DEF是等腰直角三角形時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度；(3)如圖2，連接BC，在直線BC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】(1)、、；(2)；(3)，．【解析】【分析】（1）對(duì)于，令，解得x=3或-1，令x=0，則y=3，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)、(3，0)、(0，3),，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，當(dāng)x=1時(shí)，=4，即可求解；（2）△DEF是等腰直角三角形，EF∥x軸軸，則根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，只有∠EDF為直角一種情況，即HF=DH，即可求解；（3）由△PBC面積，即可求解．(1)解：對(duì)于，令=0，解得x=3或-1，令x=0，則y=3，故點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、，函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，，三點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、；(2)是等腰直角三角形，軸，則根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，只有為直角一種情況，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱，故點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，是等腰直角三角形，故為等腰直角三角形，故，即，則，解得（舍去）或0，故，則；(3)過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，則面積，，故面積存在最大值，此時(shí)，故點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】將拋物線C：y＝（x﹣2）2向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2(1)直接寫(xiě)出拋物線C1，C2的解析式；(2)如圖（1），點(diǎn)A在拋物線C1（對(duì)稱軸l右側(cè)）上，點(diǎn)B在對(duì)稱軸l上，△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)如圖（2），直線y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)；直線yx與拋物線C2交于G，H兩點(diǎn)，N為線段GH的中點(diǎn)．求證：直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．【答案】(1)C1：y＝（x﹣2）2﹣6，C2：y＝x2﹣6(2)A（4，﹣2）或（5，3）(3)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，可證得△ABD≌△OAC，可得BD＝AC，然后設(shè)A（a，（a﹣2）2﹣6），則BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，從而得到a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，即可求解；（3）根據(jù)直線y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，可得xE+xF＝k，從而得到M（），同理得到N（，），然后求出直線MN的解析式，即可求解．(1)解：∵拋物線C：y＝（x﹣2）2向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C1，∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，∵將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2．∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；(2)解：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，如圖1，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC（AAS），∴BD＝AC，∵C1：y＝（x﹣2）2﹣6，∴對(duì)稱軸l為直線，設(shè)A（a，（a﹣2）2﹣6），則BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，∴A（4，﹣2）或（5，3）；(3)解：∵直線y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∴把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，∴xE+xF＝k，∵M(jìn)為線段EF的中點(diǎn)，∴M（），∵直線yx與拋物線C2交于G，H兩點(diǎn)，∴把yx代入y＝x2﹣6中得，x2x﹣6＝0，∴，∵N為線段GH的中點(diǎn)．∴N（，），設(shè)MN的解析式為y＝mx+n（m≠0），則，解得，，∴直線MN的解析式為：，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴直線MN：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，2），即直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】已知：如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），C（﹣2，0），tan∠ABO＝1，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？(3)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+6(2)P（3，）(3)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)（4，6）或（5﹣，3﹣5）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；（2）作PM⊥OB于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM，先求出直線AB解析式為y=-x+6，設(shè)P（t，-t2+2t+6），則N（t，-t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?OB列出關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得；（3）若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，表示出PD、PE的長(zhǎng)，列出關(guān)于a的方程，解之可得答案．(1)解：（1）∵點(diǎn)A（0，6），∴OA＝6，∵tan∠ABO＝1，∴OB＝6，∴B（6，0），將點(diǎn)A（0，6），C（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+c，得∴∴y＝﹣x2+2x+6；(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴∴∴y＝﹣x+6，設(shè)P（t，-t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，-t+6），∴PN=PM-MN=-t2+2t+6-（-t+6）=-t2+2t+6+t-6=-t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?（AG+BM）=PN?OB=×（-t2+3t）×6=-t2+9t=-（t-3）2+，∴當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；﹣t2+2t+6=∴P（3，）；(3)如圖，∵PE∥x軸∴PE⊥PD若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為b，∵，∴b=4-a，∴PE=|a-（4-a）|=|2a-4|=2|2-a|，又∵PD=-a2+2a+6-（-a+6）=-a2+3a，∴-a2+3a=2|2-a|，解得：a=4或a=5-，所以P（4，6）或P（5-，3-5）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連接AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的表達(dá)式；(2)連接BD，當(dāng)t時(shí)，求△DNB的面積；(3)在直線MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(4)當(dāng)t時(shí)，在直線MN上存在一點(diǎn)Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)yx2x+2(2)2(3)D(1，3)或D(3，2)(4)Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，)，(，)【解析】【分析】(1)將A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)代入解析式中即可求解；(2)求出直線BD的解析式為yx+2，當(dāng)t求出M(2，0)，分別將x=2代入直線BD解析式和拋物線中求出D點(diǎn)和N點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后利用即可求解；(3)設(shè)P(2t﹣1，m)，且C(0，2)，B(4，0)，由△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形得到PB2＝PC2，進(jìn)而得到m＝4t﹣5，進(jìn)一步求出PC2=PB2＝20t2-60t+50，再由即可求出t的值進(jìn)而求解；(4)當(dāng)t時(shí)，直線MN剛好為拋物線對(duì)稱軸，以M為圓心AB為直徑構(gòu)造圓，過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交圓于點(diǎn)G，由圓周角定理得到∠AQ1C＝∠CGA，由半徑相等得到∠MAG=∠CGA，進(jìn)而得到∠OAC+∠AQ1C＝90°剛好滿足題意要求即可求解．(1)解：將點(diǎn)A(﹣1，0），B(4，0)代入y＝ax2+bx+2，得到，解得：a，b，∴二次函數(shù)解析式為yx2x+2；(2)解：令yx2x+2中x=0，得到y(tǒng)=2，∴C(0，2)，設(shè)直線BC的解析式為：，代入點(diǎn)B(4，0)和點(diǎn)C(0，2)，∴，解得：∴BC的直線解析式為yx+2，當(dāng)t時(shí)，AM＝3，∵AB＝5，∴MB＝2，∴M(2，0)，將x=2代入yx+2中，得到N(2，1)，將x=2代入yx2x+2中，得到D(2，3)，∴DM=3，MN=1，∴；(3)解：∵動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，∴BM＝5﹣2t，M(2t﹣1，0)，設(shè)P(2t﹣1，m)，且C(0，2)，B(4，0)，∵PC2＝(2t﹣1)2+(m﹣2)2，PB2＝(2t﹣5)2+m2，∵PB＝PC，∴(2t﹣1)2+(m﹣2)2＝(2t﹣5)2+m2，整理得到：m＝4t﹣5，∴P(2t﹣1，4t﹣5)，∴PC2=PB2＝(2t﹣1)2+(4t-5-2)2=20t2-60t+50，∵△PBC為等腰直角三角形，且∠BPC=90°，∴，且，即，∴，整理得到：∴t＝1或t＝2，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)了1或2秒，∴M(1，0)或M(3，0)，將x=1或x=3分別代入二次函數(shù)yx2x+2中，∴D(1，3)或D(3，2)；(4)解：當(dāng)t時(shí)，M(，0)，此時(shí)MN為拋物線對(duì)稱軸，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸x上，如下圖所示：以M為圓心AB為直徑構(gòu)造圓，過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交圓于點(diǎn)G，圓與x的交點(diǎn)分別為Q1與Q2，∵AB＝5，∴AM，由同弧所對(duì)的圓周角相等可知：∠AQ1C＝∠CGA，∵AM=MG，∴∠MAG=∠CGA，∵∠OAC+∠MAG＝90°，∴∠OAC+∠AQ1C＝90°剛好滿足題意要求，∴Q1(，)，∵Q1與Q2關(guān)于x軸對(duì)稱，∴Q2(，)，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，)，(，)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，“割補(bǔ)法”求三角形的面積，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，用圓周角定理來(lái)處理∠AQC+∠OAC=90°是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七】二次函數(shù)與平行四邊形存在問(wèn)題?！镜湫屠}】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）由二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，得二次函數(shù)頂點(diǎn)為，設(shè)頂點(diǎn)式，將點(diǎn)代入即可求出函數(shù)解析式；（2）連接，根據(jù)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)，分三種情況：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出n即可．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，二次函數(shù)頂點(diǎn)為，設(shè)二次函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入得，，，；（2）如圖，連接，當(dāng)時(shí)，，或2，，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，；（3）設(shè)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，綜上：或或．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線與圖形面積，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形是性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022?澄邁縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①在圖1中，當(dāng)﹣3＜t＜0時(shí)，求△PBO的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；②在圖2中，若點(diǎn)P在該拋物線上，點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上，且以A，O，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【分析】（1）由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）①求出直線BO的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交BO于點(diǎn)G，可得E（t，﹣t）再由S=?32（t+32②設(shè)E（﹣1，m），根據(jù)平行四邊形對(duì)角線的情況，分三種情況討論：當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可；【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx，將A（﹣2，0），B（﹣3，3）代入，∴4a?2b=09a?3b=3解得a=1b=2∴y＝x2+2x，∴C（﹣1，﹣1）；（2）①∵P的橫坐標(biāo)為t，∴P（t，t2+2t），設(shè)直線BO的解析式為y＝kx，∴﹣3k＝3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交BO于點(diǎn)G，∴E（t，﹣t）∴PG＝﹣t﹣t2﹣2t＝﹣t2﹣3t，∴S=12×3×（﹣t2﹣3t）=?32（t∵﹣3＜t＜0，∴t=?32時(shí)，S有最大值②∵y＝x2+2x，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，設(shè)E（﹣1，m），當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，?2=t?10=解得t=?1m=1∴P（﹣1，﹣1）；當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t?2=?1t解得t=1m=3∴P（1，3）；當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，?2?1=tm=解得t=?3m=3∴P（﹣3，3）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（1，3）或（﹣3，3）；【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022?墾利區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，AB＝4，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（?32，3（3）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將B（1.0），A（﹣3.0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解析式；（2）求出直線AC的解析式，即可知D（m．m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），再求S△ACE=12×3×（﹣m2﹣3m）=?32（m（3）設(shè)Q（n，t），分①當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)BQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)三種情況求解即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B（1，0），，AB＝4，∴A（﹣3，0），將A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，∴z+b+3=09a?3b+3=0解得：a=?1b=?2∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b′（k≠0），則?3k+b'=0b'=3解得：k=1b'=3∴直線AC的解析式為y＝x+3，∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），∴DE＝﹣m2﹣3m，∴S△ACE==12×3×（﹣m2﹣3m）=?32（m∴當(dāng)x=?32時(shí)，S△∴D（?32，故答案為：（?32，（3）解：存在，理由如下：∵m＝﹣2，∴E（﹣2.3），設(shè)Q（n．t），如圖：①當(dāng)BC為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，1+0=?2+n0+3=3+t解得：n=3t=0∴Q1（3，0）；②當(dāng)BE為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，則1?2=0+n0+3=3+t解得：n=?1t=0∴Q2（﹣1，0）；③當(dāng)BQ為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，則1+n=0?20+t=3+3解得：n=?3t=6∴Q3（﹣3，6）．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q為（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）時(shí)，以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)（或）(2)①，②存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，再把代入即可得出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，根據(jù)，又因?yàn)?，證明出，從而得出，將，，代入即可求出m的值；②根據(jù)上問(wèn)可以得到，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，，要讓以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當(dāng)以為邊時(shí)，存在平行四邊形為；2）當(dāng)以為邊時(shí)，存在平行四邊形為；3）當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，存在平行四邊形為；即可得出答案．（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，又∵，∴，解得：，∴（或）；（2）①∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，∴，，在中，，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，，∴，又，∴，∴，∴，解得；②由題可得點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴，∵點(diǎn)M在直線上，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，存在以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，1）、當(dāng)以為邊時(shí)，平行四邊形為，點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴將點(diǎn)M向左平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴代入，解得：，∴，2）、當(dāng)以為邊時(shí)，平行四邊形為，點(diǎn)B向右平移8個(gè)單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，∴將M向右平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴代入，解得：，∴，3）、當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M向左平移5個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)C向左平移5個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴代入，得：，∴，綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對(duì)稱，平行四邊形的存在性問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線是本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)八】二次函數(shù)與菱形存在問(wèn)題?！镜湫屠}】（2022·四川廣元·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中，是OA的中點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式．(2)如圖1，若E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在該拋物線的對(duì)稱軸上，求使得的面積取最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N使得四邊形DMCN為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)D坐標(biāo)求出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)B和點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，B，C坐標(biāo)使用待定系數(shù)法即可得到二次函數(shù)解析式．（2）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，連接BE，與二次函數(shù)對(duì)稱軸的交點(diǎn)則為F，連接CF，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，點(diǎn)E坐標(biāo)為．根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)D坐標(biāo)使用待定系數(shù)法求出直線CD解析式，結(jié)合點(diǎn)E坐標(biāo)求出點(diǎn)H坐標(biāo)，進(jìn)而求出EH的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形面積公式求出△ECD的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的最值確定當(dāng)m=3時(shí)，△ECD面積取得最大值，進(jìn)而求出點(diǎn)E坐標(biāo)；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定BF=CF，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短確定當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)EF+CF取得最小值為BE，然后根據(jù)勾股定理即可求出BE的長(zhǎng)度．（3）