專題01 平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型（原卷版）

專題01平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個結論正確，理由如下：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，若，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）“綠水青山，就是金山銀山”在兩個景區(qū)之間建立上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（）A． B． C． D．例3．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°例4．（2023下·廣東廣州·七年級?？计谥校┤鐖D，，：：：：：：，若，則

例5．（2023下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，已知，和分別平分和，若，則．

例6．（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．例7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，，的平分線與的平分線交于點M，，，，則．例8．（2023下·上?！て吣昙壭？计谥校┮阎?，直線AB∥CD。（1）如圖（1），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關系？直接寫出結論．例9．（2023下·四川成都·七年級成都實外校考期中）已知，直線與直線，分別交于點F，E，點H在直線上．(1)如圖1，點P在線段上，求證：；(2)如圖2，平分，點P為線段上一點，且平分．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，平分，當H在直線上運動（不與點F重合）時，平分交于點N，于點Q，探究與的關系，并證明你的結論．

課后專項訓練1．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習）如圖，已知，的直角頂點落在直線上，點落在直線上，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023下·山東淄博·九年級校考期中）如圖，直線，，為直角，則的度數(shù)（

）

A．65° B．75° C．115° D．135°3．（2022上·重慶沙坪壩·九年級校考期中）如圖所示，已知，點在線段上（不與點、點重合），連接，若，．則的值為（）

A． B． C． D．4．（2023上·重慶北碚·九年級西南大學附中校考階段練習）如圖，，，，判斷與的大小關系（

）

A． B． C． D．不能確定5．（2023下·河南焦作·七年級統(tǒng)考期末）若，則，，的度數(shù)之比可能為（）

A． B． C． D．6．（2023下·河北邢臺·九年級統(tǒng)考開學考試）已知表示兩幢大樓，現(xiàn)從點分別對點進行觀測，俯角分別為和，若點在同一條直線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，于C，E是上一點，，，，，則與與之間的數(shù)量關系為(

)A．B．C．D．8．（2023下·上海徐匯·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知船在觀測站的北偏東方向上，且在觀測站的北偏西方向上，那么的度數(shù)是．

9．（2023下·河南周口·七年級期中）如圖，，，若，則．10．（2023下·山東棗莊·七年級?？计谥校┤鐖D，直線，，則．

11．（2023下·河北廊坊·七年級校考期中）如圖，，，，則．

12．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，平分，，，則．13．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一塊含的直角三角尺按如圖所示的方式放置，其中點，分別在直線，上，若，，則°．

14．（2023下·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，的平分線交直線于點D，若，則的度數(shù)為．

15．（2023上·四川成都·八年級?？计谀┨栐?、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈以及其他很多物品都與如圖所示的曲線有關、如圖，從點O照射到曲線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出．圖中如果，，則，．16．（2023下·湖南湘西·七年級校聯(lián)考期中）如圖，于點C，E是上一點，，，平分，平分，若，則的度數(shù)為．

17．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）完成下面的證明：如圖所示，，求證：．證明：過E作，∵，∴_____________（_________），∴_______（_______）．∵（已作），∴_______（_______）．又∵______，∴．18．（2023·成都市·九年級專題練習）在圖中，若，又得到什么結論？19．（2023下·貴州遵義·七年級校考階段練習）已知：如圖，已知，，求證：(1)(2)

20．（2022下·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）解答(1)如圖1，平分，平分，且．請判斷與的位置關系，并說明理由．(2)如圖2，且，當直角頂點移動時，寫出與的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖3，，為線段上定點，為射線上一動點（不與點重合），當點在射線上運動時，與有何數(shù)量關系？寫出結論，并加以說明．

21．（2023下·廣東中山·七年級校聯(lián)考期中）已知：直線，點、分別在直線，上，點為平面內一點．(1)如圖1，猜想，，的數(shù)量關系并說明理由．(2)利用（）的結論解決問題：如圖2，已知，平分，平分，，求的度數(shù)．

22．（2023下·福建莆田·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，是位于，之間的一點，現(xiàn)作如下操作：第一次操作：分別作和的平分線，交點為．第二次操作：分別作和的平分線，交點為．第三次操作：分別作和的平分線，交點為．第次操作，分別作和的平分線，交點為．

(1)如圖1，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，試探究與之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)若，直接寫出的度數(shù)（用含a的式子表示）．23．（2023下·四川成都·七年級校考期中）如圖1，已知直線，線段在直線a上運動，C為直線b上一定點，D為直線a，b之間一定點，E為直線b上C點右側一點．（本題中的角均為小于的角）

(1)當線段運動到圖2位置時，若與互余，求的度數(shù)；(2)在線段在直線a上運動過程中，請直接寫出，和之間的數(shù)量關系；(3)當線段運動到如圖3所示的位置時，的平分線交直線a于點F，G為直線a上點A左側一點，且，求證：．24．（2023下·安徽滁州·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內容，完成下面的解答：如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因為AB