專題03 線段的雙中點(diǎn)模型（原卷版）

專題03線段的雙中點(diǎn)模型對于剛接觸幾何的七年級學(xué)生來說，關(guān)于線段的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發(fā)，先由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫出的線段和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊?，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2023·廣東河源·七年級月考）已知線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，那么等于（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·重慶梁平·七年級統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)．則的長為（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6例3．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D，線段，長度為2的線段在線段上運(yùn)動，分別取線段、的中點(diǎn)、，則．例4．（2022秋·云南麗江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)．若線段的長為4，則線段的長度是（

）

A．4 B．6 C．8 D．10例5．（2023春·江蘇七年級月考）如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②，則；③；④．其中正確的結(jié)論是．例6．（2022秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類推……，線段的長為．例7．（2022·陜西西安·七年級?？计谀┲本€上有三點(diǎn)，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).若，，則的長為（

）．A． B． C．或 D．或例8．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·七年級?？计谀僖阎c(diǎn)C在線段上，線段，，點(diǎn)M、N分別是和的中點(diǎn)，求線段的長度；②根據(jù)①的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是和的中點(diǎn)，你能猜出的長度嗎？請說明理由．例9．（2022·陜西商洛·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)．(1)若，求線段MN的長；(2)若C為線段上任一點(diǎn)，滿，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？寫出你的結(jié)論并說明理由；(3)若點(diǎn)C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點(diǎn)，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形并寫出你的結(jié)論（不必說明理由）．例10．（2022春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過來，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·湖北武漢·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C順次在同一直線上，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)．若想求出的長度，那么只需添加條件（

）A． B． C． D．2．（2022秋·山東聊城·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，則EF長為（

）cm．A．7 B．14 C．17 D．343．（2023秋·海南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段cm，為直線上一點(diǎn)，且cm，，分別是、的中點(diǎn)，則等于（）cm．A．13 B．12 C．10或8 D．104．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）在直線上任取一點(diǎn)A，截取，再截取，則的中點(diǎn)與的中點(diǎn)之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或5．（2023秋·海南·七年級統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則線段的長度是（

）A． B． C．或 D．或6．（2023秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④7．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點(diǎn)所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．8．（2023秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）在直線上運(yùn)動，且．下列說法正確的是（）甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若P是線段延長線上的點(diǎn)，則；丙：在線段運(yùn)動過程中，若M，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙9．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段和線段的公共部分是線段，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，若，，，則的長為．

10．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）已知、、三點(diǎn)在同一條直線上，、分別為線段、的中點(diǎn)，且，，則11.（2023·河南駐馬店·七年級?？计谀┤鐖D，已知線段，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則．12．（2023春·四川達(dá)州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，D、E分別為線段中點(diǎn)，直線l上所有線段的長度之和為91，則．13．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎€段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，線段的長為b，則線段的長為（用a，b的式子表示）．14．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C，D在線段上，P，Q分別是的中點(diǎn)，若，則．15．（2023秋·四川達(dá)州·七年級統(tǒng)考期末）若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，若，則線段的長為．16．（2023春·六年級單元測試）如圖已知線段、，(1)線段在線段上（點(diǎn)C、A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)）①若線段，，M、N分別為、的中點(diǎn)，求的長．②M、N分別為、的中點(diǎn)，求證：(2)線段在線段的延長線上，M、N分別為、的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形，直接寫出結(jié)論17．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期末）已知C為線段延長線上的點(diǎn)，M，N分別是的中點(diǎn)．(1)如果，求線段的長；(2)如果，求線段的長；(3)如果，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求線段的長．18．（2023秋·山東七年級月考）如圖，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長；(2)若，則（用含的代數(shù)式表示）19．（2023·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長；(2)若點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，且，求線段的長（用含a的代數(shù)式表示）．20．（2023秋·山東棗莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)若點(diǎn)C在線段的延長線上，且滿足，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，求的長．21．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時(shí)對下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)在線段上，，分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長．(1)根據(jù)題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設(shè)，是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，，分別是，的中點(diǎn)，則______．②如圖2，，分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長．③若，分別是，的等分點(diǎn)，即，，則______．22．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）數(shù)軸上有、、三點(diǎn)，如圖1，點(diǎn)、表示的數(shù)分別為，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，．(1)若，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．①則點(diǎn)表示的數(shù)為______．②如圖2，線段（在的左側(cè)，），線段從點(diǎn)出發(fā)，以1個單位每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，的長度始終為1，求的值；(2)若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，試求線段的長．23．（2023秋·福建泉州·七年級?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作．例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即，則；反之，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．(1)【理解與應(yīng)用