專題10 圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型（解析版）

專題10圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實(shí)際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長(zhǎng)結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。模型1.米勒最大張角（視角）模型【模型解讀】已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大?！灸Ｐ妥C明】如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又【解題關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。例1．（2023·廣東珠海·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在足球訓(xùn)練中，小明帶球奔向?qū)Ψ角蜷TPQ，僅從射門角度大小考慮，小明將球傳給哪位球員射門較好（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，得出最大，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴最大，∴小明將球傳給丁球員射門較好，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東日照·?？既＃┰谥苯亲鴺?biāo)系中，給定兩點(diǎn)M（1，4），N（-1，2），在x軸的正半軸上，求一點(diǎn)P，使最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（1，0）【分析】作△MNP的外接圓E，則∠MPN為弦MN所對(duì)的圓周角，推出當(dāng)圓E和x軸相切時(shí)，∠MPN最大，設(shè)E（x，y），則P（x，0），根據(jù)圓半徑相等得到關(guān)于x和y的方程，解之即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，作△MNP的外接圓E，則∠MPN為弦MN所對(duì)的圓周角，∴當(dāng)圓E的半徑最小時(shí)，∠MPN最大，∴當(dāng)圓E和x軸相切時(shí)，∠MPN最大，設(shè)E（x，y），則P（x，0），又M（1，4），N（-1，2），根據(jù)EM=EN=PE，則，由化簡(jiǎn)可得：x+y=3，由化簡(jiǎn)可得：，將y=3-x代入中，解得：x=1或x=-7（舍），∴P（1，0），故答案為：（1，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角，根據(jù)夾角轉(zhuǎn)化為圓的半徑最小是解題的關(guān)鍵，有一定難度．例3．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APM的度數(shù)最大時(shí)，CP的長(zhǎng)為．

【答案】4?2【分析】過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′,記AM的中點(diǎn)為N,PM與⊙O交于點(diǎn)Q,連接AP′,MP【詳解】：過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′,記AM的中點(diǎn)為N,PM與⊙O交于點(diǎn)Q,連接A

則∠AP∵四邊形ABCD是正方形，AB=4，∴∠ADP′=90°∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM=1∵過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′，∴∠O∵AM的中點(diǎn)為N,∴ON⊥AM，AN=NM=1∴∠OND=90°，∴四邊形OP′DN在Rt△MON中,ON=∴DP′=ON=22,∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)此時(shí)CP=4?22，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了最大張角問題，涉及到了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與BC相切且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．例4．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）課本呈現(xiàn)：如圖1，在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置對(duì)球門的張角（）有關(guān)．當(dāng)球員在，處射門時(shí)，則有張角．某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門同側(cè)的直線射門時(shí)的最大張角．問題探究：（1）如圖2，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相交于點(diǎn)、，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有．小明證明過程如下：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則∵_(dá)__________∴___________∴（2）如圖3，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有，你同意嗎？請(qǐng)你說明理由．問題應(yīng)用：如圖4，若，米，是中點(diǎn)，球員在射線上的點(diǎn)射門時(shí)的最大張角為，則的長(zhǎng)度為___________米．問題遷移：如圖5，在射門游戲中球門，是球場(chǎng)邊線，，是直角，．若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)，求的最大度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）【答案】（1）；（2）同意，理由見解析；問題應(yīng)用：10；問題遷移：【分析】（1）根據(jù)等量代換，按步驟進(jìn)行作答即可；（2）如圖3，記直線交過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，解答過程同（1）；問題應(yīng)用：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，則，，證明，則，證明三點(diǎn)共線，則，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；問題遷移：如圖5，作線段的垂直平分線交于，交于點(diǎn)P，由（2）可知，點(diǎn)P即為所求，則四邊形為矩形，記動(dòng)圓的圓心為O，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，即，求得，則，根據(jù)，即，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴；（2）解：同意，理由如下，如圖3，記直線交過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，則，∵，∴，∴；問題應(yīng)用：解：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴三點(diǎn)共線，∴，，，∴，故答案為：10；問題遷移：如圖5，作線段的垂直平分線交于，交于點(diǎn)P，由（2）可知，點(diǎn)P即為所求，則四邊形為矩形，記動(dòng)圓的圓心為O，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，即，解得，∴，∵，∴，∴的最大度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角定理，切線的性質(zhì)，余弦、正切，勾股定理，作垂線，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在靈活運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行求解．例5．（2023上·北京東城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：對(duì)于及外一點(diǎn)P，M，N是上兩點(diǎn)，當(dāng)最大，稱為點(diǎn)P關(guān)于的“視角”．直線l與相離，點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于的“視角”最大時(shí)，則稱這個(gè)最大的“視角”為直線l關(guān)于的“視角”．(1)如圖，的半徑為1，①已知點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)A關(guān)于的“視角”；已知直線，直接寫出直線關(guān)于的“視角”；②若點(diǎn)B關(guān)于的“視角”為，直接寫出一個(gè)符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)的半徑為1，①點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)，若直線關(guān)于的“視角”為，求k的值；②圓心C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，若直線關(guān)于的“視角"大于，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)①，；②（答案不唯一）(2)①②【分析】（1）①過作的切線，切點(diǎn)分別為、，可證四邊形是正方形，可得關(guān)于的“視角”是，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為、，由，即可求解；②由①得，關(guān)于的“視角”為，可得，由對(duì)稱性可得、、都可以，取其一為答案，即可求解．（2）①可求，可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，點(diǎn)是直線上與圓心的距離最短的點(diǎn)，直線以為圓心，為半徑的圓的一條切線，作軸于點(diǎn)，可求，由，可求，從而可求，即可求解；②如圖，當(dāng)與直線相切時(shí)，切點(diǎn)為，連接，可求，，從而可求，直線關(guān)于的“視角”是時(shí)，作于，、是的切線，、是切點(diǎn)，，即可求解．【詳解】（1）解：①如圖，過作的切線，切點(diǎn)分別為、，，的半徑為，四邊形是正方形，關(guān)于的“視角”是，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為、，，，在中：，，同理可求：，，直線關(guān)于的“視角”為；故答案：，．②由①得，關(guān)于的“視角”為，，由對(duì)稱性可得、、都可以．（2）解：①如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，，，，點(diǎn)關(guān)于的“視角”為，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，直線關(guān)于的“視角”為，點(diǎn)是直線上與圓心的距離最短的點(diǎn)，，直線以為圓心，為半徑的圓的一條切線，如圖，作軸于點(diǎn)，，，，在中：，，，，解得：，，解得：；②如圖，當(dāng)與直線相切時(shí)，切點(diǎn)為，連接，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，，在中：，，在中：，，解得：，，如圖，直線關(guān)于的“視角”是時(shí)，作于，、是的切線，、是切點(diǎn)，，，，解得：，在中，，，解得：，；．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“視角”，切線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，理解新定義：（1）圓外一點(diǎn)關(guān)于圓的視角就是：“過圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，這兩條切線的夾角就是這個(gè)點(diǎn)關(guān)于這個(gè)圓的視角”；（2）當(dāng)直線和圓相離時(shí)，這條直線關(guān)于這個(gè)圓的視角就是“過圓心向這條直線作垂線，垂足關(guān)于這個(gè)圓的視角就是這條直線關(guān)于這個(gè)圓的視角”是解題的關(guān)鍵．模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢簦砸步刑秸諢裟Ｐ?。。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長(zhǎng)最?。弧鰽BC的面積最??；△ABC的周長(zhǎng)最小。證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC=2BE=2OBsin=2rsin?！逴A+OE≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcosa≥h，.當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長(zhǎng)最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；△ABC的周長(zhǎng)最小:2rsin+ADrsin。例1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形中，，連接、交于點(diǎn)，，．若，則的最大值為．【答案】/【分析】作的外接圓，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，求得的最大值，進(jìn)而求得的最大值，即可求解．【詳解】解：如圖所示，作的外接圓，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，．∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，∴∴∵∴，∴的最大值為,∵，∴的最大值為,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，圓周角定理，解直角三角形，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．例2、（2023·山東·九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD與BC之間的距離為2，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，且∠BEC=45°，則四邊形ABCD面積的最小值為?！窘馕觥咳鐖D，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，作三角形BEC的外接圓，連接OB，OC，OE，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，則EF=2，（AD與BC之間的距離為2），BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠BOC=2∠BEC，∵∠BEC=45°，∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，設(shè)OB=OC=OE=r，則OG=BG=r，BC=2BG=r，∵OE+OG≥EF,，∴r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4，當(dāng)G，O，E三點(diǎn)共線，即EF與EG重合時(shí)，BC有最小值，最小值為4-4，∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四邊形ABCD面積的最小值為8-8。例3．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？级＃締栴}提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點(diǎn)到弦的距離最大值為_______；【問題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；【問題解決】（3）“雙減”是黨中央、國(guó)務(wù)院作出的重大決策部署，實(shí)施一年多來，工作進(jìn)展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進(jìn)一步落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實(shí)踐基地，如圖③，為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，學(xué)校計(jì)劃將四邊形部分修建為農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地，并沿鋪設(shè)一條人行走道，部分修建為興趣活動(dòng)基地．根據(jù)規(guī)劃要求，米，．且農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地部分（四邊形）的面積應(yīng)盡可能小，問四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）11；（2）；（3）四邊形的面積存在最小值，最小值為平方米【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)直接可得答案；（2）作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)垂線段最短可得R的最小值，從而得出的最小值，進(jìn)而得出答案；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，則，在上截取，連接，利用證明，則，要使四邊形的面積最小，只需的面積最小，由（2）同理求出面積的最小值即可．【詳解】解：（1）∵圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，∴上的點(diǎn)到弦的距離最大值為，故答案為：11；（2）作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)，如圖．

．設(shè)，則，由，得，即，∴，，．即面積的最小值為（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，∵平分，∴．又，．米，，，為等腰直角三角形，∴米，（平方米），平方米．在上截取，連接，如圖．，，，要使四邊形的面積最小，只需的面積最?。?，，作的外接圓，如圖，連接，作于點(diǎn)，則，∴．設(shè)，則．由，得，解得，米，（平方米），（平方米）．即四邊形的面積存在最小值，最小值為平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，交平分線的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，將四邊形面積最小問題轉(zhuǎn)化為三角形面積最小是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）【問題提出】（1）如圖1，是等腰直角三角形，，可得到，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，則的值是；【問題探究】（2）如圖2，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上任一點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)N，若，，求四邊形面積的最大值；【問題解決】（3）如圖3，是西安市紡渭路的一部分，因燃?xì)夤艿罁屝蓿柙诿?，米的矩形平面開挖一個(gè)的工作面，其中E、F分別在直線、直線上，且，為緩解該路段對(duì)市民正常生活和出行影響，經(jīng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)的面積越小越好，求出的面積最小值．

【答案】（1），；（2）；（3）8【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證，即可求得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證，設(shè)，分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況討論，分別求出關(guān)于的一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來的，得到，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得和的比值，然后根據(jù)三角形外接圓性質(zhì)得，，最后根據(jù)三角形面積公式可得答案．【詳解】（1）是等腰直角三角形，，，，；，，也是等腰直角三角形，，，，，，，，故答案為：，；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，四邊形是矩形，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為6，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，，四邊形面積的最大值；

（3）四邊形是矩形，，，如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來的，得到，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，四邊形是矩形，且，，設(shè)的外接圓半徑為，，，由題意得，即，，，的面積最小值為，的面積最小值為．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．例5．（2023·重慶·?？既＃﹩栴}探究（1）如圖①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，則S△ABC＝．（2）如圖②，已知四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，請(qǐng)求出四邊形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，某小區(qū)有一個(gè)四邊形花壇ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．為迎接“十四運(yùn)”，園藝師將花壇設(shè)計(jì)成由兩種花卉構(gòu)成的新造型，根據(jù)造型設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝60°，現(xiàn)需要在△AEF的區(qū)域內(nèi)種植甲種花卉，其余區(qū)域種植乙種花卉．已知種植甲種花卉每平方米需200元，乙種花卉每平方米需160元．試求按設(shè)計(jì)要求，完成花卉種植至少需費(fèi)用多少元？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【答案】（1）；（2）16；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，利用正弦求出，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；（2）因?yàn)椋狞c(diǎn)共圓，所以當(dāng)BD是直徑時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，此時(shí)，由勾股定理可得，因?yàn)樗倪呅?，所以，?dāng)時(shí)，四邊形ABCD是正方形，由不難求出，進(jìn)而求得四邊形ABCD的最大面積；（3）因?yàn)榧追N花卉貴，所以若費(fèi)用最少，則甲種花卉種植面積最小，最小時(shí)，將繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，可證得三點(diǎn)共線，通過證明，得，過點(diǎn)A作過點(diǎn)A作于K，求得，作的外接圓，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，通過過得面積的最小值為，再通過求求得乙種花卉的種植面積為，最后根據(jù)甲乙兩種花卉每平方米的價(jià)格求出至少種植兩種花卉的費(fèi).【詳解】解：（1）如圖①，過點(diǎn)作于點(diǎn)D，，是等腰三角形，，，，故答案為：（2），四點(diǎn)共圓，當(dāng)為直徑時(shí)，最大，此時(shí)，，，由勾股定理，，時(shí)，四邊形是正方形，最大，，，的最大值=，（3）如圖③甲種花卉貴，若費(fèi)用最少，則甲種花卉種植面積最小，最小時(shí)，將繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，由旋轉(zhuǎn)可得三點(diǎn)共線，，，過點(diǎn)A作過點(diǎn)A作于K，，作的外接圓，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，設(shè)在中，，，，，，，面積的最小值為且，乙種花卉的種植面積為種四花卉花費(fèi)：元，種乙花卉花費(fèi)：元，至少花費(fèi)元．【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)和判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形和四邊形的面積問題等知識(shí)，利用四點(diǎn)共圓及圖形的旋轉(zhuǎn)變換是解決本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，，連接DE，CF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作，且，若的度數(shù)最大時(shí)，則AE長(zhǎng)為（

）

A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，求得，得到點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，過作，并且點(diǎn)在的右側(cè)，，連接，，推出四邊形是菱形，于是得到點(diǎn)在以為圓心，半徑為3的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與相切時(shí)，最大；證明，即可得，由相似三角形的性質(zhì)，即可求出的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，過作，并且點(diǎn)在的右側(cè)，，連接，，過作，與的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴點(diǎn)在以為圓心，半徑為3的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與相切時(shí)，最大；∵，且，∴四邊形是正方形，∴；設(shè)，∵，，∴平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，即，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的判斷，圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的定義判斷當(dāng)與圓相切時(shí)最大．2．（2022下·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1,0，B7,0．點(diǎn)C是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)∠ACB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為【答案】0,【分析】依題意，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心一定在第一象限，設(shè)圓心為E，過E作EC⊥x軸交于C，過E作EG⊥x軸交于G，得出四邊形COGE為矩形，在y軸上任意取一點(diǎn)M，連接AM、BM，MB與圓E的交點(diǎn)為N，連接AN，當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大，勾股定理得出EG=7，則OC=【詳解】解：∵點(diǎn)C在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心一定在第一象限，設(shè)圓心為E，過E作EC⊥x軸交于C，過E作EG⊥x軸交于G，∴四邊形COGE為矩形，∴CE=OG，OC=EG，在y軸上任意取一點(diǎn)M，連接AM、BM，MB與圓E的交點(diǎn)為N，連接AN，∴∠ACB=∠ANB，∵∠ANB>∠AMB，∴∠ACB>∠AMB，∴當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大，∵A1,0，B7,0，∴G4,0，∴OG=CE=4，AG=3∴EG=7，∴OC=7，∴C0,【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，得出當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是米．

【答案】203【分析】先證OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，取MN的中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，

∵M(jìn)N＝2OM＝40m，點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝3EF＝203m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，此時(shí)OP＝203m，故答案為：203．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，證明OB是⊙F的切線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積與最大面積之比等于．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝4，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式得到AD＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE＝，當(dāng)D與C重合時(shí)，△ADE的面積最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE＝，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，∴AD＝，∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝，∴△ADE的最小面積；當(dāng)D與C重合時(shí)，△ADE的面積最大，∵△ADE∽△ABC，，，∴AE＝，∴△ADE的最大面積＝，∴△ADE的最小面積與最大面積之比＝，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，直線a與圓相切于A，B是直線a上另一點(diǎn)，C、D在圓上，那么∠CBD<∠CAD.如圖2，是人看廣告牌的情景.如圖3，廣告牌的桿子高BD=9.6米，廣告牌畫面高CD=10米，人自高1.6米，為了使人看廣告牌的視角最大，人站立的地方距離廣告牌的水平距離應(yīng)為米.【答案】12【分析】令NH=1.6，作HG∥a交CB于點(diǎn)G，作CD的中垂線交CD于點(diǎn)F，在中垂線上取一點(diǎn)O使OC=GF，然后以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，然后過O作OE⊥a，交GH與點(diǎn)M，則知GH與圓相切與點(diǎn)M，則站在E點(diǎn)處看廣告牌的視角最大，算出BE長(zhǎng)即可．【詳解】令NH=1.6，作HG∥a交CB于點(diǎn)G，作CD的中垂線交CD于點(diǎn)F，在中垂線上取一點(diǎn)O使OC=GF，然后以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，然后過O作OE⊥a，交GH與點(diǎn)M，則知GH與圓相切與點(diǎn)M，則站在E點(diǎn)處看廣告牌的視角最大，∵BD=9.6米，CD=10米，人高NH=1.6米，∴FG=9.6+10-10÷2-1.6=13（米），即OC=13（米），∴BE=OF=（米）．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)圓實(shí)際運(yùn)用的考查，熟練掌握?qǐng)A的知識(shí)作出示意圖是解決本題的關(guān)鍵，難度較大．6．（2023·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A（0，-1）、B（0，-3），點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為．【答案】(，0)或(-，0)【分析】分點(diǎn)C在x軸的正半軸上和負(fù)半軸上兩種情況求解，過點(diǎn)A、B作⊙P，點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，利用圓周角大于對(duì)應(yīng)的圓外角得到此時(shí)∠ACB最大，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在x軸的正半軸上時(shí)，過點(diǎn)A、B作⊙P，點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大，連接PA、PB、PC，作PH⊥y軸于H，如圖，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(0，1)、(0，3)，∴OA=1，AB=3-1=2，∵PH⊥AB，∴AH=BH=1，∴OH=2，∵點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C，∴PC⊥x軸，∴四邊形PCOH為矩形，∴PC=OH=2，∴PA=2，在Rt△PAH中，PH==，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)．當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，同理可求C點(diǎn)坐標(biāo)為(-，0)．故答案為：(，0)或(-，0)．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7.（2023·廣東·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．解：作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，∴△ABC的面積的最小值為，故答案為：．8、（2023重慶·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一塊矩形空地ABCD，AB=120m，BC=70m，現(xiàn)要對(duì)這塊空地進(jìn)行改造，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在AB的中點(diǎn)M處修建一個(gè)觀景臺(tái)，AD、BC邊上分別修建亭子E、F，且∠EMF=120°，并在三角形MAE和三角形MBF區(qū)域種植景觀樹，在矩形其他區(qū)域均種植花卉，已知種植景觀樹每平方米需200元，種植花卉每平方米需100元，試求按設(shè)計(jì)要求，完成景觀樹和花卉的種植至少需費(fèi)用多少元?（結(jié)果保留根號(hào)）?！窘馕觥咳鐖D，延長(zhǎng)EM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠AME=∠BMG，∠EAM=∠MBG=90°，∴∠FMG=∠FMB+∠BMG=∠FMB+∠EMA=180°-∠EMF=60°(定角出現(xiàn))，∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，AB=120，∴AM=BM=AB=60(定高出現(xiàn)，則構(gòu)造三角形的外接圓)，∴△EAM≌△GBM（ASA），S△EAM=S△GBM，S△EAM+S△FMB=S△GBM+S△FBM=S△FMG.∵種植景觀樹每平方米需200元，種植花卉每平方米需100元，∴種植景觀樹的區(qū)域越小，所需要的總費(fèi)用就越少，作△FMG的外接圓，連接OM，OF，OG，過點(diǎn)O作OH⊥FG于點(diǎn)H，∴∠FOH=∠GOH=∠FOG=∠FMG=60°，F(xiàn)H=GH，設(shè)OH=x，則OM=OF=2x，HF=x，GF=2x,∴OM+OH≥MB，∴2x+x≥60，解得x≥20，且MH的最小值為60，∴GF=2x≥2×20=40，∴GF的最小值為40，∴S△FMC最小=×60×40=1200,∴S五邊形DEMFC最大=120×70-1200=8400-1200，∵200×1200+100>(8400-1200)=840000+120000,∴完成景觀樹和花卉的種植至少需費(fèi)用（景觀樹每平方米的費(fèi)用×景觀樹面積+花卉每平方米的費(fèi)用×花卉面積）（840000+120000）元。9.（2023·山東·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對(duì)該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的△AEF？若存在，請(qǐng)求出△AEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】定角旋轉(zhuǎn)，求面積最小，考慮將AF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交BC所在直線于G，構(gòu)造定角定高模型，通過三角函數(shù)，等積轉(zhuǎn)化，將求△AEF和△AEG的面積用相同的邊表示，既將求S△AEF的最小值轉(zhuǎn)化為求S△AEF’的最小值。【解答】把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并縮小為，得到△ABG，則AG＝AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，過點(diǎn)E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，設(shè)△AGE的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OE，過得O作OH⊥GE于H，則∠GOE＝2∠EAG＝90°，設(shè)△AGE的外接圓的半徑為R，則GE＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣，∴△AGE的面積≥××（8﹣）×4＝16﹣16，∴△AGE的面積的最小值為16-16，∴△AEF的面積的最小值為﹣24．10．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知四邊形ABCD中，∠BCD＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，BE＝2ED＝4．若CE＝2AE，求AC的最大值【答案】【分析】本題首先作△BCD的外接圓⊙O，連接OB，OD，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥BD于H，解直角三角形求出OE，OC，繼而求出EC，AE的最大值即可求解本題．【詳解】作△BCD的外接圓⊙O，連接OB，OD，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥BD于H，如下圖所示：∵BE＝2ED＝4，∴DE＝2，BD＝4+2＝6，∵，∴∠BOD＝2∠BCD＝120°，∵OB＝OD=OC，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，又∵OH⊥BD，∴BH＝HD＝3，∴OH＝，OB＝2OH＝，∴HE＝BE﹣BH＝4﹣3＝1，∴OE＝＝＝2，∵，∴，∴EC的最大值為，∵EC＝2AE，∴AE的最大值為，∴AC的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，解題關(guān)鍵在于輔助線的構(gòu)造以及最值問題的轉(zhuǎn)化，同弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的關(guān)系需熟記于心，求解邊長(zhǎng)時(shí)勾股定理較為常用，幾何題目出現(xiàn)60°等特殊角度時(shí)，常構(gòu)建特殊的直角三角形，利用三邊關(guān)系以簡(jiǎn)化運(yùn)算．11．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【提出問題】我們知道，點(diǎn)和圓有三種位置關(guān)系（如圖1）．已知在⊙O中，點(diǎn)A、B、C分別是圓外、圓上、圓內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)D、E是上不與點(diǎn)B重合的任意兩點(diǎn)，分別連接AD、AE、BD、BE、CD、CE，如何比較、、的大小關(guān)系．【解決問題】小邕利用已學(xué)知識(shí)判斷和的大小關(guān)系，步驟如下：解：，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)DC與相交于點(diǎn)F，連接EF，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，∵是△CFE的外角，∴∠DFE+∠CEF=∠DCE，∴∠DFE<∠DCE，∴∠B<∠DCE．(1)請(qǐng)參照小邕的解題步驟，比較和的大小關(guān)系，并說明理由．【實(shí)踐應(yīng)用】(2)如圖3，海邊立有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）區(qū)域內(nèi)，．為了避免輪船P觸礁，輪船P所在的位置與兩座燈塔A、B的視角度數(shù)的最大值是多少？并說明理由．(3)2022卡塔爾世界杯正在如火如荼地進(jìn)行中，全民足球熱情高漲．因此某校舉辦了足球比賽，在其中一場(chǎng)比賽中（如圖4），甲帶球奔向?qū)Ψ角蜷T，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴乙已經(jīng)沖到B點(diǎn)，同伴丙已經(jīng)沖到C點(diǎn)．此時(shí)有三種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門；第三種是甲將球傳給丙，由丙射門．僅從射門角度越大，進(jìn)球概率越大的角度考慮，請(qǐng)直接寫出應(yīng)選擇第幾種射門方式．【答案】(1)，理由見解析(2)視角∠APB度數(shù)的最大值是，理由見解析(3)選擇第三種射門方式更好，理由見解析【分析】（1）設(shè)交于G，連接，利用三角形的外角大于與它不相鄰的內(nèi)角和圓周角定理可得答案；（2）根據(jù)已知得出當(dāng)P點(diǎn)在圓上時(shí)，輪船P與A、B的視角的最大，根據(jù)圓周角定理得出答案；（3）結(jié)合【解決問題】，比較，，的大小，即可得到答案．【詳解】解：（1），理由如下：設(shè)交于G，連接，如圖：由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴，∴，∴；（2）∵海邊立有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的弓形（弓形的弧是的一部分）區(qū)域內(nèi)，，∴由（1）可知，當(dāng)P點(diǎn)在圓上，不進(jìn)入經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的弓形（弓形的弧是的一部分）區(qū)域內(nèi)，輪船P與A、B的視角最大，此時(shí)為，∴視角度數(shù)的最大值是；（3）設(shè)與圓的交點(diǎn)是，連接，則；由圓周角定理知：，∴，由【解決問題】知，∴，∴選擇第三種射門方式更好．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用，設(shè)計(jì)圓周角定理的應(yīng)用，三角形外角大于與它不相鄰的內(nèi)角等知識(shí)，根據(jù)條件證明是解決問題的關(guān)鍵12．（2023·廣東深圳·?？家荒＃締栴}發(fā)現(xiàn)】船在航行過程中，船長(zhǎng)常常通過測(cè)定角度來確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？【解決問題】（1）數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“=”或“＜”），∴（填“＞”，“=”或“＜”）；【問題探究】（2）如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接、，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題拓展】（3）一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門米，米，米，，．該球員在射門角度最大時(shí)射門，球員在上的何處射門？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）

【答案】（1）＜，＜；（2），理由見解析；（3）15米【分析】（1）由三角形的外角的性質(zhì)可得，從而可得答案；（2）設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，證明，可得，則．（3）如圖所示，由（2）可得，當(dāng)經(jīng)過A，B的與相切時(shí)，最大，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，證明四邊形是矩形，可得，，，，證明，設(shè)的半徑，表示，，，建立方程，再解方程可得答案．【詳解】解：（1）如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴，∴，（2），理由如下：如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，

∵，∴，∵是的外角，∴，∴．（3）如圖所示，由（2）可得，當(dāng)經(jīng)過A，B的與相切時(shí)，最大，

過點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，∴，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，設(shè)的半徑，∴，即，∴，∴，∴在中，，∴，整理得：，解得：，（不合題意，舍去）∴，∴．答：的長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，本題的難度很大，計(jì)算非常復(fù)雜，準(zhǔn)確細(xì)心的計(jì)算是解答的前提．13．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，且經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N，射線、分別與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積；(3)點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，確定a值即可．（2）設(shè)，直線的解析式為，直線的解析式為，表示出P，Q，的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算即可．（3）當(dāng)M是y軸與經(jīng)過A，C，M三點(diǎn)的圓的切點(diǎn)是最大計(jì)算即可.【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)、，∴設(shè)拋物線的解析式為，∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴，∴．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，∵，∴對(duì)稱軸為直線，

設(shè)，直線的解析式為，直線的解析式為，∴解得，∴直線的解析式為，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，∴，，，∴，∴．如圖，當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，∵，∴對(duì)稱軸為直線，

設(shè)，，，，∴，∴．綜上所述，．（3）當(dāng)?shù)耐饨訄A與相切，切點(diǎn)為M時(shí)，最大，設(shè)外接圓的圓心為E，Q是異于點(diǎn)M的一點(diǎn)，連接，，交圓于點(diǎn)T，則，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得，故，∴最大，

設(shè)與圓交于點(diǎn)H，連接，，根據(jù)切線性質(zhì)，∴，作直徑，連接，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，過點(diǎn)E作，垂足為F，過點(diǎn)C作，垂足為G，交于點(diǎn)P，根據(jù)垂徑定理，得，四邊形是矩形，∴，

根據(jù)，得，∴，∴，在直角三角形中，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，故，∴當(dāng)最大時(shí)，．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）問題探究與應(yīng)用實(shí)踐（一）問題探究：如圖（1），已知直線與水平視線互相垂直，，在上，在上，∠ACB叫做“視角”，點(diǎn)叫做“視點(diǎn)”，⊙是過，，三點(diǎn)的圓.當(dāng)視點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，視角∠ACB的大小會(huì)發(fā)生改變,可以證明：當(dāng)視點(diǎn)恰是⊙的切點(diǎn)時(shí)，視角最大，此時(shí)觀察的效果最佳.當(dāng)視角最大時(shí)：分別以直線，為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2）.

(1)如果此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，試求圓心M的坐標(biāo)及的值；(2)如果此時(shí)點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為（0，a），（0，），請(qǐng)求出視點(diǎn)的坐標(biāo).（用a，的代數(shù)式表示）（二）應(yīng)用實(shí)踐：應(yīng)用上述結(jié)論，讓我們解決如下問題：(3)如圖（3），是廣場(chǎng)上掛的一個(gè)大屏幕電視，直線是水平視線，屏幕最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)到水平視線的距離分別為8米和4米.小明在水平視線上觀看電視節(jié)目，當(dāng)他的視角最大時(shí)，視點(diǎn)（在水平視線上）到直線的距離約是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)(3)約是米【分析】（1）連接，，，并過M作于N，利用垂徑定理求解即可；根據(jù)圓周角的性質(zhì)得出，求出正切值即可；（2）根據(jù)（1）中的方法求出即可；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：連接，，，并過M作于N，則四邊形為矩形，因而有，因?yàn)?，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則M的縱坐標(biāo)，即；又，由垂徑定理得，在中，由勾股定理得：，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，）；又由圓周角定理可知所以==.

（2）解：由于點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，

），,,,所以所以，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）.（3）解：由題意，根據(jù)上述（2）的結(jié)論，可得小明視角最大時(shí)，視點(diǎn)到直線的距離為≈（米）．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理和解直角三角形，解題關(guān)鍵是根據(jù)相關(guān)性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧上的圓心角度數(shù)的一半．下面根據(jù)圓周角定理進(jìn)行探究．(1)如圖1，是的弦，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，連接，，求的大小．(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，．（?。┤鐖D2，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)從：①；②；③中任選一個(gè)，求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）如圖3，點(diǎn)M為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)最大時(shí)，求出此時(shí)的面積．【答案】(1)(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）【分析】（1）連接，由，得即可求解；（2）（?。┊?dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，作的中垂線與x軸交于點(diǎn)C（如圖），設(shè)P，A，B三點(diǎn)所在圓的圓心為Q，易知點(diǎn)Q在直線上，設(shè)則；①當(dāng)時(shí)：；②當(dāng)時(shí)：；③當(dāng)時(shí)：進(jìn)而及可得點(diǎn)P；（ⅱ）作線段的中垂線分別與x軸、直線交于點(diǎn)E、F（如圖1）；設(shè)M、A、B三點(diǎn)所在圓的圓心為Q，半徑為R，易知點(diǎn)Q在直線上，則有，如圖2，當(dāng)與直線CD相切時(shí)，最大，，此時(shí)為等腰直角三角形，再由進(jìn)而可得，即為等腰直角三角形，進(jìn)而及可求解；【詳解】（1）解：連接，∵，，∴，∵，∴，（2）（?。┊?dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，作的中垂線與x軸交于點(diǎn)C（如圖），設(shè)P，A，B三點(diǎn)所在圓的圓心為Q，易知點(diǎn)Q在直線上，設(shè)，則，∴，①當(dāng)時(shí)：，即，，∴，，∵，∴，解得或者（舍去），此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由軸對(duì)稱可知：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，或，②當(dāng)時(shí)：，即，，∴，，∵，∴解得或者（舍去），此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由軸對(duì)稱可知：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，或，③當(dāng)時(shí)：，即，，∴，，∵，∴，解得或者（舍去），此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由軸對(duì)稱可知：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，或，（ⅱ）作線段的中垂線分別與x軸、直線交于點(diǎn)E、F（如圖1），設(shè)M、A、B三點(diǎn)所在圓的圓心為Q，半徑為R，易知點(diǎn)Q在直線上，，則有，如圖2，當(dāng)與直線相切時(shí)，最大，∴，此時(shí)為等腰直角三角形，，，在中：，解得：或（舍去），∴，∴，即為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，，【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用、三角函數(shù)綜合、等腰直角三角形、勾股定理等．掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）（1）如圖1，點(diǎn)是的外接圓的圓心，過點(diǎn)作圓的切線，點(diǎn)是直線上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接、，則______．（請(qǐng)?zhí)顚懀?、＜或＝）?）如圖2，已知射線、，，點(diǎn)、在射線上，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，，，當(dāng)最大時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng)．（3）小軍同學(xué)有幸參加2022年冬奧會(huì)項(xiàng)目的頒獎(jiǎng)儀式，聽到義勇軍進(jìn)行曲全場(chǎng)響起，看到五星紅旗冉冉升起，民族自豪感油然而生．如圖3，小軍所在的位置始終可以看到國(guó)旗，小軍站的位置恰與五星紅旗在同一平面內(nèi)．已知：國(guó)旗的長(zhǎng)為2.4米，寬為1.6米，小軍的眼睛到地面的距離為1.7米，小軍與國(guó)旗的水平距離為4米，在國(guó)旗從距離地面一定高度處上升的過程中，是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)的值及國(guó)旗的高度；若不存在，請(qǐng)說明理由（已知：、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）；（2）；（3）存在最大值，此時(shí)，國(guó)旗的高度為米．【分析】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，即可得出，即；（2）作過、兩點(diǎn)的，與軸相切于點(diǎn)，連接、、，，過作于點(diǎn)，則，則四邊形是矩形，，由（1）可得最大，在中，勾股定理即可求解．（3）設(shè)的外接圓為圓，連接，，，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證得四邊形是矩形，可得米，，由（）當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，根據(jù)垂徑定理可得米，從而得到米，再由四邊形是矩形，可得米，可得米，再由圓周角定理可得，從而得到，米，即可求解．【詳解】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連接，如圖所示，∵，∴，又∵∴即，故答案為：；（2）作過、兩點(diǎn)的，與軸相切于點(diǎn)，連接、、，，過作于點(diǎn)，則∵，，∴四邊形是矩形，∴，由（1）可得最大，∵，，∴，在中，∴（3）的最大值，理由如下：設(shè)的外接圓為圓，連接，，，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意得：米，，，即，四邊形是矩形，米，，由（）當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，，米，米，米，，四邊形是矩形，，米，米，米，米，，，，，，米，國(guó)旗的高度為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．17．（2023·陜西西安·?？家荒＃┚C合與實(shí)踐【問題提出】（1）如圖①，點(diǎn)A為上一點(diǎn)，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，(點(diǎn)A、點(diǎn)D在直線的同側(cè))，則與的大小關(guān)系為：________(填“”、“”、“”)【探究】（2）如圖②，已知線段，點(diǎn)B為上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作直線于點(diǎn)A，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的恰好與l相切于點(diǎn)P，連接，求．【問題解決】（3）我們把攝像頭拍攝某一線段時(shí)，拍攝視角最大時(shí)拍攝點(diǎn)的位置稱為“鷹眼點(diǎn)”，此時(shí)視角的余弦值稱為“鷹眼值”．如圖③，在四邊形中，為一個(gè)導(dǎo)軌，為一段鐵軌，，．米，米，米，攝像頭E從點(diǎn)D出發(fā)沿導(dǎo)軌滑動(dòng)拍攝鐵軌，求攝像頭E到達(dá)“鷹眼點(diǎn)”時(shí)的移動(dòng)距離及“鷹眼值”．【答案】（1）；（2）；（3）米；．【分析】（1）先通過同弧所對(duì)圓周角相等換角，然后通過外角定理找到角度的關(guān)系，推出兩個(gè)角的大小關(guān)系即可；（2）將圓周角轉(zhuǎn)化成圓周角的度數(shù)，靈活的構(gòu)造直角三角形然后求出余弦值；（3）找到鷹眼位置后，構(gòu)造直角三角形直接求得余弦值即可．【詳解】（1）連接，∵，∴；（2）連接，過作于點(diǎn)，連接，∵，∴，∵恰好與l相切于點(diǎn)P，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴在中，，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）以為弦，作切于直線，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由（1）可知，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在如圖位置時(shí)最大，∵，，∴，∵直線切于，∴，∴四邊形是矩形，∴．∴，∴，∴，∵米，米，米，∴．設(shè)，則，∴在中，即，解得米．∴米，米，∵，∴∴．答：攝像頭E到達(dá)“鷹眼點(diǎn)”時(shí)的移動(dòng)距離米，“鷹眼值”．【點(diǎn)睛】此題考查圓的綜合題型和解直角三角形，解題關(guān)鍵是圓周角與圓心角的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形求出銳角三角函數(shù)．18．（2022·陜西西安·統(tǒng)考二模）【問題研究】（1）若等邊邊長(zhǎng)為4，則的面積為______；（2）如圖1，在中，，為邊上的高，若，試判斷的面積是否存在最小值．若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【問題解決】（3）如圖2，四邊形中，，，，，點(diǎn)E、F分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值．

【答案】（1）（2）存在最小值，最小值是（3）【分析】（1）過點(diǎn)C作于D，等邊邊長(zhǎng)為4，可得，在中，由勾股定理，求出，利用面積公式計(jì)算即可；（2）由為邊上的高，，設(shè)，，，過A作于D，利用面積可得，由三角函數(shù)求，，，在中由勾股定理得，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即為等邊三角形時(shí)即可；（3）延長(zhǎng)至M，使得，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，證明，得，，，由角的和差得，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作于K，根據(jù)，由，當(dāng)最小時(shí)，最大，作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于R，求出面積的最小值，即可得四邊形面積的最大值．【詳解】解：（1）過點(diǎn)C作于D，

等邊邊長(zhǎng)為4，，在中，由勾股定理得，即，解得：，，故答案為：；（2）為邊上的高，若，設(shè)，，，過A作于E，

，，又，，，在中，由勾股定理得，即，，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即為等邊三角形時(shí)，，，；（3）延長(zhǎng)至M，使得，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，

，，，，，，，，，，即，，，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作于K，

，，，，，，，，，，在中，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，作的外接圓，連接，過點(diǎn)O作于R，

，，，，，，，，，，，，，，面積的最小值為，四邊形面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查等邊三角形的面積，三角形面積最小值，四邊形面積