【初中數(shù)學(xué)++】+兩數(shù)和（差）的平方+課件+華師大版數(shù)學(xué)八年級上冊

第12章整式的乘除12.3乘法公式

2.兩數(shù)和（差）的平方

華師大版-數(shù)學(xué)-八年級上冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋并能夠靈活應(yīng)用.【重點(diǎn)】2.理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用完全平方公式.【難點(diǎn)】復(fù)習(xí)導(dǎo)入用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：(a+b)2.做一做多項(xiàng)式與多項(xiàng)式是如何相乘的？(a+b)2=(a+b)(a+b)=

=

.

a2+ab+ab+b2

a2+2ab+b2探索新知我們又得到一個(gè)漂亮的結(jié)果：

這就是說，兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上它們的積的2倍.

這個(gè)公式叫做兩數(shù)和的平方公式.注意：利用這個(gè)公式，可以直接計(jì)算兩數(shù)和的平方.（a+b）2=a2+2ab+b2.探索新知試一試觀察下圖，用等式表示下圖中圖形面積的運(yùn)算：(a+b)2a2b2

2ab探索新知試一試推導(dǎo)兩數(shù)差的平方公式.

我們可以根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則直接計(jì)算(a-b)2,即(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.注意到a-b=a+(-b),也可以利用兩數(shù)和的平方公式來計(jì)算，即(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.探索新知想一想你能用右圖中的面積關(guān)系來解釋兩數(shù)差的平方公式嗎？能.圖中淺綠色部分的面積可以表示為(a-b)2,也可以表示為a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.這兩種方法表示的是同一個(gè)正方形的面積，因此兩者相等，即(a-b)2=a2-2ab+b2.探索新知這樣就得到兩數(shù)差的平方公式：

這就是說，兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和減去它們的積的2倍.（a-b）2=a2-2ab+b2.探索新知兩數(shù)和（差）的平方公式的結(jié)構(gòu)特征：①等號的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方；②右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是等號左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊兩項(xiàng)乘積的2倍，簡述為“首平方，尾平方，積的2倍夾中央”；③公式中的a和b既可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.

公式也可以逆用：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.探索新知兩數(shù)和

（差）的平方公式的幾種常見變形：

掌握新知

注意：把2x看作a，3y看作b，直接代入公式.解：(1)(2x+3y)2

=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2.

掌握新知

解：(1)(3x-2y)2=(3x)2-2·3x·2y+(2y)2=9x2-12xy+4y2.

例3

已知x+y=4，xy=2.求：（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y.解：(1)x2+y2=（x+y）2-2xy=42-2×2=12.(2)3x2-xy+3y2=3（x+y）2-7xy=3×42-7×2=34.(3)∵（x-y）2=（x+y）2-4xy=42-4×2=8.∴x-y=±.掌握新知鞏固練習(xí)1.下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？（1）(x+y)2=x2+y2；（2）(x-y)2=x2-y2；（3）(-x+y)2=x2+2xy+y2；（4）

(2x+y)2=4x2+2xy+y2.××××x2+2xy+y2x2-2xy+y2

x2-2xy+y24x2+4xy+y2鞏固練習(xí)2.如圖，有甲、乙、丙三種不同的正方形或長方形紙片若干張．要用這三種紙片無重合無縫隙拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1張，乙紙片9張，還需取丙紙片

張．6鞏固練習(xí)3.計(jì)算：(1)(x+3)2;(2)(x-3)2;(3)(-2m+1)2;(4)(-2m-1)2.解：(1)(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9.(2)(x-3)2=x2-2·x·3+32=x2-6x+9.(3)(-2m+1)2=（-2m）2＋2·（-2m）·1+12=4m2-4m+1.(4)(-2m-1)2=（-2m）2-2·（-2m）·1+12=4m2+4m+1.鞏固練習(xí)4.(1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，則k的值是多少？(2)先化簡，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3.(3)已知x2－4x＋1＝0，求代數(shù)式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值．分析：對于(1)，把等號左邊的式子展開后對比各項(xiàng)，即可得解；對于(2)，利用平方差公式和兩數(shù)和(差)的平方公式展開，合并同類項(xiàng)后代入求值；對于(3)，先化簡代數(shù)式，再將條件變形整體代入求值．鞏固練習(xí)解：(1)依題意，得x2－10x＋25＝x2＋kx＋25.所以k＝－10.(2)原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5.

當(dāng)a＝－3時(shí)，原式＝－4×(－3)＋5＝17.(3)原式＝4x2－12x＋9－x2＋y2－y2＝3x2－12x＋9

＝3(x2－4x＋3)．

因?yàn)閤2－4x＋1＝0，所以x2－4x＝－1.

所以原式＝3×(－1＋3)＝6