遼寧省沈陽市第一二0中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第三次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽120中高三（上）第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若A={x|x2<1}，A.(-1,2) B.[0,1) C.(0,1) D.(-1,0)2.若復(fù)數(shù)z滿足z(1-i)=i，則z的共軛復(fù)數(shù)zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1).若(a+A.λ+μ=1 B.λ+μ=-14.已知sin(α+β)=13A.15 B.-15 C.55.如圖，在△ABC中，E是AB的中點，BD=2DC，F(xiàn)C=13AF，EF與AD交于點A.314AB+37AC

B.36.若函數(shù)f(x)=-x+7,x≤42+loga(A.13<a<1 B.13≤7.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點(切點)，地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè).若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC=100mA.49.25m B.50.76m C.56.74m8.已知a>e2，b>0，c>0，當(dāng)x≥0時，(A.19 B.e327 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知x>y>0，且x+A.|x-1|+|y-1|=1 B.y10.已知數(shù)列{anan+1}(n∈A.若{an}是等比數(shù)列，則公比為2

B.{a2n}是公比為2的等比數(shù)列

11.若函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b，f(x)與xA.a>3

B.若a=-9，則f(-1,1)+f(3.09)<2b-22

C.若x1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a5+a13.已知函數(shù)f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)14.定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x+1)+f(x+3)=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，CA?CB=21，且cosC=35.

(1)求△ABC的面積；16.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=Aan+B(其中A≠1，B≠0).

(1)證明：數(shù)列17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x-(a+1)lnx-ax，a∈R.

18.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，滿足a1=1，a4+a5=a9，正項數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn=3n-1.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

(2)在b1和b2之間插入1個數(shù)c11，使b1，c11，b2成等差數(shù)列；在b2和b3之間插入2個數(shù)c21，c22，使b2，c21，c22，b3成等差數(shù)列；…；在bn19.(本小題17分)

定義：如果函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)，存在極大值f(x1)和極小值f(x2)，且存在一個常數(shù)k，使f(x1)-f(x2)=k(x1-x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)k稱為該函數(shù)的極值差比系數(shù).答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A={x|x2<1}={x|-1<x<1}，B={x|y=2.【答案】C

【解析】解：由z(1-i)=i，得z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i3.【答案】D

【解析】解：∵a=(1,1)，b=(1,-1)，

∴a+λb=(λ+1,1-λ)，a+μb=(μ+1,1-μ)，

由4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，由兩角和與差的正弦公式，可得：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=13，sin(α-β5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，BD=23BC=23(AC-AB)，則AF=34AC，

則AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC，

M在AD上，設(shè)AM=kAD，則AM=k3AB+2k3AC，

又由E、6.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)f(x)=-x+7,x≤42+loga(x-1),x>4(其中a>0，且a≠1)的最小值是3，

當(dāng)x≤4時，函數(shù)f(x)=-x+7為單調(diào)遞減函數(shù)，所以f(x)7.【答案】B

【解析】解：如圖，

設(shè)球的半徑為R，則AB=3R，

∵BC=Rtan10°-3R=100，

∴R=1008.【答案】B

【解析】解：x=0時不等式顯然成立，

x>0時，即(exx-a)(x2-bx+c)≥0恒成立，

設(shè)f(x)=exx-a，g(x)=x2-bx+c，

則f'(x)=ex(x-1)x2，

∴f(x)在(0,1)上單減，在(1,+∞)上單增，

且f(1)=e-a<0，x→0時，f(x)→+∞，x→+∞時，f(x)→+∞，

故f(x)在(0,+∞)上有兩個零點，記為x1，x2(x1<x2)，

顯然x<x1或x>x29.【答案】ACD

【解析】解：因為x>y>0，且x+y=1，

所以1>x>12>y>0，

所以|x-1|+|y-1|=1-x+1-y=2-(x+y)=1，A正確；

y+1x+1-yx=xy+10.【答案】BCD

【解析】解：數(shù)列{anan+1}(n∈N*)是公比為2的等比數(shù)列，且a1=1，

得an+1an+2anan+1=2，則an+2=2an，因為a1=1，則a3=2，且an≠0.

若{an}是等比數(shù)列，則a22=a1a3，故a2=±2，所以公比q=±2，A錯誤；

由an+2=2an，故a2n+2=2a2n11.【答案】BCD

【解析】解：對于A，f'(x)=3x2-6x+a，因為f(x)有三個零點，所以f(x)至少有三個單調(diào)區(qū)間，

即f'(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根，

所以36-12a>0，解得a<3，故A錯誤；

對于B，a=-9時，f(x)=x3-3x2-9x+b，

f'(x)=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1)，

由f'(x)>0=x<-1或x>3，由f'(x)<0=-1<x<3，

所以f(x)在(-∞,-1)，(3,+∞)上單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在x=-1處取得極大值，在x=3處取得極小值，

又f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2-9(1+x)+b+(1-x)3-3(1-x)2-9(1-x)+b=-22+2b，

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,-11+b)中心對稱，

所以f(-1.1)+f(3.1)=-22+b，

又f(x)12.【答案】24

【解析】解：∵{an}是公差為2的等差數(shù)列，

∴a5+a11=2a8=16，解得a8=8，

13.【答案】116【解析】解：f(x)=sinωx-3cosωx=2sin(ωx-π3)，

因為存在x1，x2∈[0,π]，使得f14.【答案】-506【解析】解：因為f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，

所以f(x)+f(x+2)=f(2024)，f(x+2)+f(x+4)=f(2024)，

所以f(x)=f(x+4)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，

令x=2021，則f(2021+1)+f(2021+3)=f(2024)，

即f(2022)+f(2024)=f(2024)，

所以f(2022)=0，

因為函數(shù)f(x)的周期為4，f(2022)=f(4×505+2)=f(2)，

所以f(2)=0，

因為f(-x)=f(x+2)，令x=0，所以f15.【答案】解：(1)由已知可得CA?CB=abcosC=35ab=21，可得ab=35，

由cosC=35，可求得sinC=45，

所以S△ABC=12absinC=1【解析】(1)由數(shù)量積的定義可得ab=35，由同角三角函數(shù)的基本公式求出sinC，再由面積公式即可得出答案；

(2)由余弦定理結(jié)合ab=35，可求出c16.【答案】(1)證明：由an+1=Aan+B(A≠0,且B1-A≠2)得，

an+1-B1-A=Aan+B-B1-A=Aan【解析】(1)推得an+1-B1-A17.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=x-(a+1)lnx-ax，定義域為(0,+∞)，

所以f'(x)=1-a+1x+ax2=(x-1)(x-a)x2，

①檔a≤0時，x-a>0，令f'(x)=0，得x=1，

當(dāng)x∈(0,1)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

②若0<a<1，令f'(x)=0，得x1=1，x2=a，

當(dāng)x∈(0,a)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(a,1)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

③若a=1，f'(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

④若a>1，令f'(x)=0，得x1=1，x2=a，

當(dāng)x∈(0,1)時，f'(x)>0【解析】(1)求導(dǎo)f'(x)=(x-1)(x-a)x18.【答案】解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

由題意知，a1+3d+a1+4d=a1+8d，因為a1=1，

所以1+3d+1+4d=1+8d，解得d=1，

所以an=1+(n-1)×1=n；

因為數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且滿足Sn=3n-1，

所以當(dāng)n=1時，b1=31-1=2，

當(dāng)n≥2時，bn=Sn-Sn-1=3n-1-3n-1+1=2×3n-1，

驗證，當(dāng)n=1時，b1=2，滿足上式，

故b【解析】本題考查數(shù)列的通項公式與前n項和的求法，錯位相減法求和，屬于較難題．

(1)根據(jù)等差數(shù)列基本量的運算求得公差d，再由等差數(shù)列的通項公式可得an=n；利用bn=Sn-Sn-1(n≥2)求bn，即可，注意檢驗n=1的情形；

(2)(ⅰ)設(shè)等差數(shù)列bn，cn1，cn219.【答案】解：(1)當(dāng)a=52時，f(x)是極值可差比函數(shù)，理由如下：

當(dāng)a=52時，f(x)=x-1x-52lnx(x>0)，

所以f'(x)=1+1x2-52x=(2x-1)(x-2)2x2，

當(dāng)x∈(0,12)∪(2,+∞)時，f'(x)>0；當(dāng)x∈(12,2)時，f'(x)<0，

所以f(x)在(0,12)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(12,2)上單調(diào)遞減，

所以f(x)的極大值為f(12)=52ln2-32，極小值為f(2)=32-52ln2，

所以f(12)-f(2)=(2-103ln2)(12-2)，因此f(x)是極值可差比函數(shù)．

(2)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1+