人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專題09圓單元過(guò)關(guān)(培優(yōu)版)特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題09圓單元過(guò)關(guān)（培優(yōu)版）考試范圍：第二十四章；考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）評(píng)卷人得分一、單選題1．（2022秋·吉林·九年級(jí)期末）在半徑為12cm的圓中，150°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于（）A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．5πcm2．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，直角三角形ABC的內(nèi)切圓分別與AB、BC相切于D點(diǎn)、E點(diǎn)，根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度與角度，求AD的長(zhǎng)度為何？（）A．32 B．52 C．433．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為5，PO=4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法判斷4．（2021·海南·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝80°，AB＝BC，點(diǎn)P是劣弧CD上不同于點(diǎn)C，D的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．80°5．（2022秋·山東濰坊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，A為劣弧BC的中點(diǎn)，∠BAC=120°，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的直徑BD，連接AD，若AD=6，則AC的長(zhǎng)為（）A．23 B．3 C．2 D．6．（2021秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點(diǎn)，且OM＝3，則⊙O的半徑等于（

）A．8 B．4 C．10 D．57．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為（）A．2cm B．3cm C．23cm D．28．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，則S陰影A．π B．2π C．233 D．9．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠BCD=30°，CD=43A．2π?4 B．8π3?43 C．4π10．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，△ABC的高CF、BG相交于點(diǎn)H，分別延長(zhǎng)CF、BG與△ABC的外接圓交于D、E兩點(diǎn)，則下列結(jié)論：①AD=AE；②AH=AE；③若DE為△ABC的外接圓的直徑，則BC=AE．其中正確的是（

）A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③都是第II卷（非選擇題）評(píng)卷人得分二、填空題11．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┮粋€(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的底面半徑是．12．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為40π，底面半徑為4的圓錐模型，則此圓錐的母線長(zhǎng)為．13．（2022·安徽·一模）如圖，已知等腰△ABC，AB=AC=6，∠BAC=50°，以AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于D、E兩點(diǎn)，則劣弧DE的長(zhǎng)為．14．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的弦，C是AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D．若AB=8cm,CD=2cm，則⊙O的半徑為15．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC（包括端點(diǎn)）和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的差是．

16．（2022春·廣東深圳·九年級(jí)紅嶺中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．評(píng)卷人得分三、解答題17．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是邊AC上的點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的圓分別交邊BC、AC于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的長(zhǎng)．18．（2021秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，已知∠A=110°，求∠BOC和∠BDC的度數(shù)．19．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A?2，0，B

(1)將△ABC先向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B(2)將△A1B1C1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到(3)在（2）的條件下，求△A1B20．（2022春·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點(diǎn)E，連接AD，BC，CO（1）當(dāng)∠BCO＝25°時(shí)，求∠A的度數(shù)；（2）若CD＝42，BE＝4，求⊙O的半徑．21．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，CD=BD，E、F是線段AC、AB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，并且EF與⊙O相切于點(diǎn)D．（1）求證：∠A=2∠BDF；（2）若AC=6，AB=10，求CE的長(zhǎng)．22．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，⊙O與矩形ABCD的BC邊相切于M點(diǎn)，與AD邊相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若EF＝CD＝4cm，求⊙O的半徑．23．（2023·廣東東莞·東莞市東華初級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一圓D（如圖所示），D上有兩點(diǎn)P，Q，過(guò)這兩點(diǎn)作圓D的切線．(1)求證：∠PNM+∠PDQ=180°?∠QMN.(2)若NP=QM，求證：點(diǎn)D在MN的垂直平分線上．24．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的邊ND上的中線．

(1)求證：AB=DN；(2)試判斷CP與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．25．（2022·浙江麗水·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BC為⊙O的弦，OC⊥OA，OA與BC相交于點(diǎn)P．

(1)求證：AP=AB；(2)若OB=4，AB=3，求線段BP的長(zhǎng)．

專題09圓單元過(guò)關(guān)（培優(yōu)版）考試范圍：第二十四章；考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）評(píng)卷人得分一、單選題1．（2022秋·吉林·九年級(jí)期末）在半徑為12cm的圓中，150°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于（）A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．5πcm【答案】C【分析】直接運(yùn)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：弧長(zhǎng)為：l=150π×12故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式l=nπR2．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，直角三角形ABC的內(nèi)切圓分別與AB、BC相切于D點(diǎn)、E點(diǎn)，根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度與角度，求AD的長(zhǎng)度為何？（）A．32 B．52 C．43【答案】D【分析】設(shè)AD=x，利用切線長(zhǎng)定理得到BD=BE=1，AB=x+1，AC=AD+CE=x+4，然后根據(jù)勾股定理得到x+12【詳解】解：設(shè)AD=x，∵直角三角形ABC的內(nèi)切圓分別與AB、BC相切于D點(diǎn)、E點(diǎn)，∴BD=BE=1，∴AB=x+1，AC=AD+CE=x+4，在RtΔABC中，x+12+即AD的長(zhǎng)度為53故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了切線長(zhǎng)定理．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為5，PO=4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】由⊙O的半徑為5，PO=4知點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，從而得出答案．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5，PO=4，∴點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，∴點(diǎn)P在圓內(nèi)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=r，則有①點(diǎn)P在圓外?d>r；②點(diǎn)P在圓上?d=r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r．4．（2021·海南·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝80°，AB＝BC，點(diǎn)P是劣弧CD上不同于點(diǎn)C，D的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形求得∠ADC的度數(shù)，根據(jù)AB＝BC，AB=BC，則∠BPC=1【詳解】如圖，連接AP,∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝80°，∴∠ADC=100°∵∴∠ADC=∠APC∵AB＝BC，∴AB∴∠BPC=∠APB=故選B【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，求得∠ADC是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山東濰坊·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，A為劣弧BC的中點(diǎn)，∠BAC=120°，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的直徑BD，連接AD，若AD=6，則AC的長(zhǎng)為（）A．23 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠C=30°，再根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠C=30°，∠BAD=90°，然后利用含30度的三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】解：∵A為劣弧BC的中點(diǎn)，∴AB=AC，又∵∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠D=∠C=30°，∵A為劣弧BC的中點(diǎn)，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，BD=2AB，∴AD=3AB∴AB=33AD=23∴AC=AB=23，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．6．（2021秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點(diǎn)，且OM＝3，則⊙O的半徑等于（

）A．8 B．4 C．10 D．5【答案】D【詳解】解：如圖，連接OA,∵OM⊥AB，∴AM=12AB由勾股定理得：OA=AM2+O故選D．7．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為（）A．2cm B．3cm C．23cm D．2【答案】C【分析】先過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，連接OA，由題意求得OD=12OB=1cm，由勾股定理求得AD=3【詳解】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，連接OA，∴AD=BD∵將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，∴OD=12OB在RtΔADO中，由勾股定理得∴AB=23故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，則S陰影A．π B．2π C．233 D．【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=3；然后由圓周角定理知∠COE＝60°．然后通過(guò)解直角三角形求得線段OC、【詳解】解：如圖，假設(shè)線段CD、AB交于點(diǎn)∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥∴CE=ED又∵∠CDB∴∠COE=2∠CDB∴OE=CE?cot60°=∴S陰影=S扇形OCB?S△COE+S=23π?12OE?EC=2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、扇形面積的計(jì)算．注意解此題的思路是：采用了“分割法”求得陰影部分的面積．9．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠BCD=30°，CD=43A．2π?4 B．8π3?43 C．4π【答案】B【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CE，解直角三角形求出BC=2BE，求出BE=2，BC=4，求出△COB是等邊三角形，求出OC=OB=BC=4，再求出答案即可．【詳解】解：連接OC，∵CD⊥AB，AB過(guò)O，CD=43∴CE=DE=12CD=2∵∠BCD=30°，∴∠CBO=90°?∠BCD=60°，BC=2BE，由勾股定理得：BC即2BE2解得：BE=2，∴BC=4，∵∠CBO=60°，OC=OB，∴△COB是等邊三角形，∴OC=OB=BC=4，∴陰影部分的面積S=S故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積計(jì)算，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．10．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，△ABC的高CF、BG相交于點(diǎn)H，分別延長(zhǎng)CF、BG與△ABC的外接圓交于D、E兩點(diǎn)，則下列結(jié)論：①AD=AE；②AH=AE；③若DE為△ABC的外接圓的直徑，則BC=AE．其中正確的是（

）A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③都是【答案】D【分析】①△ABC的高CF、BG相交于點(diǎn)H，根據(jù)同角的余角相等，即可求得∠ABG=∠ACF，即可得AD=AE；②首先延長(zhǎng)AH交BC于M點(diǎn)，由H是垂心，根據(jù)同角的余角相等，即可得∠ACB=∠AHE，則可證得∠AHE=∠AEB，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，即可得AH=AE；③由①②，易得△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，又由DE為△ABC的外接圓的直徑，易求得∠ADE=∠BAC=45°，則可得BC=AE．【詳解】∵CF、BG是△ABC的高，∴∠AGB=∠AFC=90°，∴∠BAC+∠ABG=90°，∠BAC+∠ACF=90°，∴∠ABG=∠ACF，∴AD=AE，故①正確；延長(zhǎng)AH交BC于M點(diǎn)，∵H是垂心，∴AM⊥BC，∴在△AMC和△AGH中，∠AHG+∠MAC=90°，∠ACM+∠MAC=90°，∴∠ACB=∠AHE，∵∠ACB=∠AEB，∴∠AHE=∠AEB，∴AE=AH，故②正確；由①②可知AD=AE=AH，∵∠AGH=∠AGE=90°，AG=AG，∴△AHG≌△AEG（HL），同理：△ADF≌△AHF（HL），∴∠DAF=∠HAF，∠EAG=∠HAG，∴∠BAC=12∵當(dāng)DE為直徑時(shí)，∠DAE=90°，∴∠BAC=45°，∵在Rt△ADE，AD=AE，∴∠ADE=45°，∴AE=BC，故③正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)與三角形的綜合，掌握?qǐng)A周角定理，三角形高的定義，是解題的關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）評(píng)卷人得分二、填空題11．（2023·浙江溫州·校考一模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的底面半徑是．【答案】4【分析】根據(jù)“圓錐的底面周長(zhǎng)等于其展開(kāi)圖的扇形的弧長(zhǎng)”列式計(jì)算即可得．【詳解】解：設(shè)該圓錐的底面半徑是r，由題意得：2πr=1解得r=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為40π，底面半徑為4的圓錐模型，則此圓錐的母線長(zhǎng)為．【答案】10【分析】設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為l，利用扇形的面積公式得到12【詳解】解：如圖，設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意得：12解得：l=10，∴此圓錐的母線長(zhǎng)為10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·安徽·一模）如圖，已知等腰△ABC，AB=AC=6，∠BAC=50°，以AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于D、E兩點(diǎn)，則劣弧DE的長(zhǎng)為．【答案】5π【分析】連接OD、OE，先求出∠AOD和∠BOE的度數(shù)，再求出∠DOE的度數(shù)，，再由弧長(zhǎng)公式即可得出答案．【詳解】解：連接OD、OE，如圖所示：∵AB=AC=6，∠BAC=50°，∴∠C=∠B==65°，∵OB=OE，∴∠OEB=∠B==65°，∴∠BOE==50°，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA==50°，∴∠AOD=80°，∴∠DOE=50°，∵AB=6，∴OE=1∴DE=故答案為：56【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式；熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的弦，C是AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D．若AB=8cm,CD=2cm，則⊙O的半徑為【答案】5【分析】連接OA，由垂徑定理得AD=4cm，設(shè)圓的半徑為R，根據(jù)勾股定理得到方程R2【詳解】解：連接OA，∵C是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB∴AD=1設(shè)⊙O的半徑為R，∵CD=2cm∴OD=OC?CD=(R?2)cm在RtΔOAD中，OA2=A解得，R=5即⊙O的半徑為5cm故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)垂徑定理判斷出OC是AB的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵．15．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC（包括端點(diǎn)）和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的差是．

【答案】10.5【分析】設(shè)⊙O與AC相切與點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時(shí)垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1?OQ1【詳解】解：設(shè)⊙O與AC相切與點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交

此時(shí)垂線段OP1最短，P1∵AB=15，AC=12，BC=9，∴AB∴∠C=90°，∵∠OP∴OP∵AO=OB，∴P1∴OP同理OE=1∴P1Q1如圖，當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2∴PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的差是10.5，故答案為：10.5．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，三角形中位線定理等，正確找到點(diǎn)PQ取得最大值、最小值時(shí)的位置是解題關(guān)鍵．16．（2022春·廣東深圳·九年級(jí)紅嶺中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．【答案】2【分析】取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連接OC、OP、OM、OE、OF、EF，可得四邊形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，則可得點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑，從而求得路徑的長(zhǎng)．【詳解】取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，則OE∥BC，且OE=12BC=2，OF∥AC∴四邊形CEOF為平行四邊形，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴四邊形CEOF為正方形，∴CE=CF=2，EF=OC，由勾股定理得：EF=OC=22∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4∴AB=2∴OC=12AB=2∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，

∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)P點(diǎn)在點(diǎn)A時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在點(diǎn)B時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，∴M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=1故答案是：2π【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)及正方形的判定，確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．評(píng)卷人得分三、解答題17．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是邊AC上的點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的圓分別交邊BC、AC于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的長(zhǎng)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）34【分析】（1）連結(jié)OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OD∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODF＝90°，根據(jù)切線的判定定理證明；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】證明：如圖，連結(jié)OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD為半徑，∴直線DF是⊙O的切線；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的長(zhǎng)為135×π180【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定及弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握切線的判定定理及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.18．（2021秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，已知∠A=110°，求∠BOC和∠BDC的度數(shù)．【答案】∠BOC=145°，∠BDC=140°【分析】如圖，在⊙D上取點(diǎn)H，連接BH,CH,由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解∠H，再利用圓周角定理求解∠BDC,O為△ABC的內(nèi)心，可得OB,OC分別平分∠ABC,∠ACB,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=【詳解】解：如圖，在⊙D上取點(diǎn)H，連接BH,CH,∵四邊形ABHC為⊙D的內(nèi)接四邊形，∠A=110°，∴∠H=180°?110°=70°，∴∠BDC=2∠H=140°,∵O為△ABC的內(nèi)心，∴OB,OC分別平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1=1∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?35°=145°.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)心的含義，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A?2，0，B

(1)將△ABC先向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B(2)將△A1B1C1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到(3)在（2）的條件下，求△A1B【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析，C(3)35【分析】（1）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1（2）分別作出A1，B1，（3）利用扇形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，△A

；（2）解：如圖所示，△A2B（3）解：S=π4?OC【點(diǎn)睛】本題考查平移作圖與旋轉(zhuǎn)作圖，扇形的面積，熟練掌握利用平移的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點(diǎn)E，連接AD，BC，CO（1）當(dāng)∠BCO＝25°時(shí)，求∠A的度數(shù)；（2）若CD＝42，BE＝4，求⊙O的半徑．【答案】（1）65°；（2）3【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角、同弧所對(duì)的圓周角相等以及直角三角形兩銳角互余即可求得答案；（2）首先根據(jù)垂徑定理求得CE=22【詳解】解：（1）∵OC=OB∴∠BCO=∠B∵∠B=∠D∴∠D=∠BCO=25°∵CD⊥AB∴在Rt△ADE中，∠A=90°?25°=65°．（2）∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB于點(diǎn)E∴CE=∴在Rt△OCE中，O∴設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OE=BE?OB=4?r∴r∴r=3∴⊙O的半徑為3．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角、同弧所對(duì)的圓周角相等、直角三角形兩銳角互余、垂徑定理以及利用勾股定理解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，CD=BD，E、F是線段AC、AB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，并且EF與⊙O相切于點(diǎn)D．（1）求證：∠A=2∠BDF；（2）若AC=6，AB=10，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1）連接AD，先證明CD=（2）連接BC交OD于P，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，再根據(jù)垂徑定理，由CD=BD得到OD⊥BC，則CP＝BP，OP∥AC，根據(jù)O為AB的中點(diǎn)得到OP為Rt△ABC的中位線，可求出OP＝【詳解】（1）證明：連接AD，如圖，∵CD＝BD，∴CD=∴∠1＝∠2，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，∵EF為切線，∴OD⊥EF，∴∠3+∠4＝90°，∵OD＝OB，∴∠3＝∠OBD，∴∠1＝∠4，∴∠A＝2∠BDF．（2）解：連接BC交OD于P，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵CD=∴OD⊥BC，∴CP＝BP，OP∥AC，∵O為AB的中點(diǎn)，∴OP為Rt△ABC的中位線，∵AC＝6，∴OP＝12∵AB＝10，∴OD＝5，∴DP＝5－3＝2，∵∠BCE＝∠CPD＝∠EDP＝90°，∴四邊形CEDP為矩形，∴CE＝DP＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，中位線等知識(shí)．熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，⊙O與矩形ABCD的BC邊相切于M點(diǎn)，與AD邊相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若EF＝CD＝4cm，求⊙O的半徑．【答案】52【分析】連接并延長(zhǎng)MO，交EF于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H，連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，先根據(jù)垂徑定理求出FG的長(zhǎng)，再證明四邊形GMCD是矩形，在Rt△OGF中，根據(jù)勾股定理列方程即可求出⊙O的半徑．【詳解】如圖所示，連接并延長(zhǎng)MO，交EF于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H，連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，∴BC⊥OM，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠OGF=∠OMB=90°，∵M(jìn)H是⊙O的直徑，且MH⊥EF，EF=CD=4，∴FG=EG=1∵∠OMC=∠C=∠D=90°，∴四邊形GMCD是矩形，∴GM=CD=4，OG=4?r，在Rt△OGF中，由勾股定理得：r2解得：r=5∴⊙O的半徑為52【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線，以便于應(yīng)用垂徑定理和勾股定理解題．23．（2023·廣東東莞·東莞市東華初級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一圓D（如圖所示），D上有兩點(diǎn)P，Q，過(guò)這兩點(diǎn)作圓D的切線．(1)求證：∠PNM+∠PDQ=180°?∠QMN.(2)若NP=QM，求證：點(diǎn)D在MN的垂直平分線上．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)直線PN，QM交于T，由切線的性質(zhì)得到∠DPT=∠DQT=90°，再由四邊形內(nèi)角和定理得到∠D+∠PTQ=180°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠PTQ=∠PNM+∠QMN，由此即可推出（2）如圖所示，連接DN，DM，證明△DPN≌△DQMSAS，得到DN=DM，即可證明點(diǎn)D【詳解】（1）證明：設(shè)直線PN，QM交于∵PN，PQ是圓∴∠DPT=∠DQT=90°，∴∠D+∠PTQ=360°?∠DPT?∠DQT=180°，∵∠PTQ=∠PNM+∠QMN，∴∠D+∠PNM+∠QMN=180°，∴∠PNM+∠PDQ=180°?∠QMN；（2）解：如圖所示，連接DN，在△DPN和△DQM中，DP=DQ∠DPN=∠DQM=90°∴△DPN≌△DQMSAS∴DN=DM，∴點(diǎn)D在MN的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，四邊形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等