蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍專題2.17銳角三角函數(shù)與實(shí)際問題大題專練(培優(yōu)強(qiáng)化30題)特訓(xùn)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.17銳角三角函數(shù)與實(shí)際問題大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2021·江蘇淮安·一模）如圖1是武威某動車站出口處的自動扶梯，圖2是其簡化示意圖．自動扶梯AB的傾斜角為31°，在自動扶梯下方地面D處測得扶梯頂端A的仰角為62°，點(diǎn)B到點(diǎn)D的距離為6m，求自動扶梯距離地面的高度AC（精確到0.1m）．【參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,2．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，小兵同學(xué)利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識測量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測點(diǎn)C處測得大橋主架頂端A的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點(diǎn)B的俯角為14°，觀測點(diǎn)與大橋主架的水平距離CM為120米，且AB垂直于橋面．（點(diǎn)A，B，C，M在同一平面內(nèi)）(1)求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結(jié)果保留根號）(2)求大橋主架在水面以上的高度AB．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，3≈1.73）3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）2022年10月13日將是第26個(gè)國際減災(zāi)日，主題是“掌握防災(zāi)減災(zāi)知識，保護(hù)生命安全”，各有關(guān)部門要切實(shí)加強(qiáng)防災(zāi)減災(zāi)宣傳教育，大力推廣和普及科普知識和自救互救技能，逐步提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識．云梯消防車在某小區(qū)工作時(shí)，云梯臂能達(dá)到的最大高度為點(diǎn)C處此時(shí)云梯臂AC長為40米，它與水平面的夾角為68°，轉(zhuǎn)動點(diǎn)A距地面的高度AB為3.8米．已知該小區(qū)高層住宅樓的層高是2.8米，請你通過計(jì)算說明：家住15樓的求救者能被順利施救嗎？（消防員身高、窗臺高度等因素不作考慮）（參考數(shù)據(jù)sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，4．（2022·江蘇·東海實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如圖，AB是一條筆直的長為500m的滑雪坡道，某運(yùn)動員從坡頂A滑出，沿直線滑向坡底B，她的滑行距離y（單位：m）與滑行時(shí)間x（單位：s）的部分對應(yīng)值如下表．x01234…y04.51428.548…(1)用所學(xué)過的函數(shù)知識猜想y是x的什么函數(shù)，并求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)一架無人機(jī)在AB上空距地面292m的P處懸停，此時(shí)在A處測得無人機(jī)的仰角為53°．無人機(jī)和該運(yùn)動員同時(shí)開始運(yùn)動，無人機(jī)以6.3m/s的速度勻速水平飛行拍攝，離A處越來越遠(yuǎn)．已知無人機(jī)（看成一個(gè)點(diǎn)）與AB（看成一條線段）所確定的平面始終垂直于地面，AB與地面MN的夾角為26°．求該運(yùn)動員滑行多久時(shí)，她恰在無人機(jī)的正下方．（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈435．（2022·江蘇泰州·九年級專題練習(xí)）如圖，小明想測量斜坡CD旁一棵垂直于地面AE的樹AB的高度，他們先在點(diǎn)C處測得樹頂B的仰角為60°，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°，已知斜坡CD的長度為20m，DE⊥AE，______，求AB的長．給出下列條件：①DE=10m；②EC=103m：③AE=20請?jiān)?個(gè)條件中選擇一個(gè)能解決上述問題的條件填到上面的橫線上（填序號），并解決該問題．6．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，為測量直立在建筑物AB上的廣告牌AC的高度，小莉在地面上D的處測得A的仰角為31°，然后她沿正對建筑物方向前進(jìn)了10m到達(dá)E處，此時(shí)測試A、C的仰角分別為45°、52°，求建筑物AB的高度和廣告牌AC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）7．（2022·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘．道閘關(guān)閉時(shí)，如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB長3米，AD長1米，點(diǎn)D距地面為0.2米．道閘打開的過程中，邊AD固定，連桿AB，CD分別繞點(diǎn)A，D轉(zhuǎn)動，且邊BC始終與邊AD平行．(1)如圖2，當(dāng)?shù)篱l打開至∠ADC＝45°時(shí)，邊CD上一點(diǎn)P到地面的距離PE為1.2米，求點(diǎn)P到MN的距離PF的長．(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當(dāng)?shù)篱l打開至∠ADC＝36°時(shí)，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）8．（2022·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）隨著冬奧會的閉幕，坐落于冬奧核心區(qū)的國家跳臺滑雪中心——“雪如意”，成為本次冬奧會比賽場館中最具標(biāo)志性和辨識度的建筑物之一．該跳臺滑雪中心設(shè)計(jì)靈感來源于中國的傳統(tǒng)吉祥飾物“如意”，從跳臺環(huán)形頂端，再到剖面線形和底部看臺，與“如意”的S型曲線完美契合，因此被稱為“雪如意”，既體現(xiàn)了體育建筑的動感，又凸顯了中國文化元素．如圖，是“雪如意”的側(cè)面示意圖，“雪如意”由頂峰俱樂部AC、滑道（包括助滑區(qū)DE和著陸坡EF）及看臺區(qū)GF三部分構(gòu)成（AC、GF均與水平面平行），其中BD⊥AC于點(diǎn)B，BD＝14m，DE＝109m，EF＝198m，從點(diǎn)E處測得點(diǎn)D處的仰角為26°，點(diǎn)F處的俯角為31°，求“雪如意”的高BH的長（結(jié)果精確到1m，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin31°≈0.52，9．（2022·江蘇連云港·二模）某廣播電視塔由塔下、塔房、塔身、上塔樓和天線段4部分組成．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們借助無人機(jī)、卷尺等工具測量電視塔的高度．如圖所示，小航在M處用無人機(jī)在距地面120米的B處測得電視塔最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MN方向前進(jìn)30米到達(dá)N處，用無人機(jī)在距地面80米的C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，求ON的距離和電視塔OA的高度，（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4010．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示，玫瑰家園小區(qū)有甲、乙兩棟居民樓，小明在甲居民樓的樓頂B處觀測乙居民樓樓底D處的俯角是30°，觀測乙居民樓樓頂C處的仰角為15°，已知甲居民樓的高為10m，求乙居民樓的高．（參考數(shù)據(jù)：2=1.414，3=1.73211．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC=200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD=100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．(1)求步道DE的長度（精確到個(gè)位）；(2)點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請計(jì)算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，312．（2020·江蘇·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）如圖，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時(shí)在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時(shí)的速度前往救援，問巡邏艇能否在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈1213．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，9時(shí)30分到達(dá)B處，從A，B兩處分別測得小島C在北偏東45°和北偏東15°．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求B處船與小島C的距離（結(jié)果保留根號）．14．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點(diǎn)A處觀測到河對岸有一點(diǎn)C在A的南偏西59°的方向上，沿河岸向西前行20m到達(dá)B處，又測得C在B的南偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計(jì)算出這條河的寬度．(參考數(shù)據(jù)：tan31°≈15．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）某區(qū)域平面示意圖如圖，點(diǎn)O在河的一側(cè)，AC和BC表示兩條互相垂直的公路．甲勘測員在A處測得點(diǎn)O位于北偏東45°，乙勘測員在B處測得點(diǎn)O位于南偏西73.7°，測得AC＝840m，BC＝500m．請求出點(diǎn)O到公路AC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈16．（2021·江蘇·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為163nmile的圓形海域內(nèi)有暗礁、一輪船自西向東航行，它在A處時(shí)測得小島P位于北偏東60°的方向上，且A、P之間的距離為32nmile．若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無觸礁危險(xiǎn)？請通過計(jì)算加以說明．如果有危險(xiǎn)，輪船自A處開始沿南偏東至多多少度方向航行才能安全通過這一海域？17．（2021·江蘇·蘇州市立達(dá)中學(xué)校二模）為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學(xué)習(xí)．如圖，學(xué)校在點(diǎn)B處，A位于學(xué)校的東北方向，C位于學(xué)校南偏東30°方向，C在A的南偏西15°方向(15+153)km處，學(xué)生分成兩組，第一組前往A地，第二組前往C地，兩組同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，第一組乘客車，速度是4018．（2022·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在建筑物DF的左邊有一個(gè)小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡AB的坡比為i=5:12，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角α為35°，然后小李沿斜坡AC走了241米到達(dá)底部C點(diǎn)，已知建筑物上有一點(diǎn)E，在C處看點(diǎn)E的仰角為18°，（點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)）建筑物頂端D到E的距離DE長度為28.8米，求建筑物DF的高度．（參考數(shù)據(jù)：cos35°≈45，tan35°≈719．（2022·江蘇泰州·九年級專題練習(xí)）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組組織測量一山坡上電線桿PQ的高度，隊(duì)員們在地面上的點(diǎn)A處測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，隨后沿直線走了6m到達(dá)B點(diǎn)處，測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是60°，B處到電線桿底端Q的坡度i=1：1.5，求電線桿PQ的高度．（結(jié)果精確到1m）備用數(shù)據(jù)：3≈1.720．（2022·江蘇常州·二模）為踐行綠水青山就是金山銀山的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，在一個(gè)坡度i=1:2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)一棵古樹CD，測得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC=26m，在距山腳點(diǎn)A處水平距離6m的點(diǎn)E處測得古樹頂端D的仰角∠AED=60°，求古樹CD的高度為多少米？（古樹CD與山坡AB的割面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹CD所在直線與直線AE21．（2022·江蘇南京·一模）圖①是2022年北京冬季奧運(yùn)會自由式滑雪大跳臺和單板滑雪大跳臺的比賽場館，別名“雪飛天”．我們畫出一個(gè)與它類似的示意圖②，其中出發(fā)區(qū)EF、起跳區(qū)CD都與地面AB平行．助滑坡DE與著陸坡AC的長度之和為80m．已知EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍，∠A＝30°，M為CD延長線上一點(diǎn)，∠EDM＝37°．求EF到AB的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．)22．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點(diǎn)F,E為DF與AB的交點(diǎn)．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°三角函數(shù)銳角A13°28°32°sin0.220.470.53cos0.970.880.85tan0.230.530.62(1)求AE的長（結(jié)果取整數(shù)）；(2)冬至日正午，經(jīng)過點(diǎn)D的太陽光線與AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：223．（2021·山東·淄博市淄川第二中學(xué)九年級期中）為踐行“綠水青山就是金山銀山"的重要思想，我省森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，發(fā)現(xiàn)古樹AB是直立于水平面，為測量古樹AB的高度，小明從古樹底端B出發(fā)，沿水平方向行走了26米到達(dá)點(diǎn)C，然后沿斜坡CD前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，DC=BC，在點(diǎn)D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為0.8米，在E點(diǎn)處測得古樹頂端A點(diǎn)的仰角∠AEF為15°（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：(1)求斜坡CD的高；(2)求古樹AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，24．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)九年級期中）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測．某學(xué)校大門AB高6.5米，學(xué)生DF身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測有效識別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測得攝像頭A的仰角為30°，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域CD段時(shí)，在點(diǎn)C處測得攝像頭A的仰角為60°，求體溫檢測有效識別區(qū)域CD段的長（結(jié)果保留根號）25．（2022·江蘇無錫·九年級期中）如圖是某小區(qū)地下停車場入口處欄桿的示意圖，MQ、PQ分別表示地面和墻壁的位置，OM表示垂直于地面的欄桿立柱，OA、AB是兩段式欄桿，其中OA段可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，AB段可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).圖1表示欄桿處于關(guān)閉狀態(tài)，此時(shí)O、A、B在與地面平行的一直線上，并且點(diǎn)B接觸到墻壁；圖2表示欄桿處于打開狀態(tài)，此時(shí)AB∥MQ，OA段與豎直方向夾角為30°．已知立柱寬度為30cm，點(diǎn)O在立柱的正中間，OM=120cm，OA=120cm(1)求欄桿打開時(shí)，點(diǎn)A到地面的距離；(2)為確保通行安全，要求汽車通過該入口時(shí)，車身與墻壁間需至少保留10cm的安全距離，問一輛最寬處為2.1m，最高處為2.1m的貨車能否安全通過該入口？（本小題中326．（2022·重慶一中九年級階段練習(xí)）公園大門A的正東方向原本有一條通往湖心小島B的景觀步道AB，但為了讓市民朋友多角度欣賞公園景色，市政府決定新修一條景觀步道通往湖心小島B，新步道從A出發(fā)通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再從C地到達(dá)湖心小島B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程隊(duì)以每天60米的速度進(jìn)行單獨(dú)施工，2天后，為了加快工程進(jìn)度，乙工程隊(duì)以每天90米的速度加入項(xiàng)目建設(shè)，直到兩隊(duì)起完成景觀步道的修建．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4）(1)求A、B兩地的距離（結(jié)果保留根號）；(2)新的景觀步道能否在15天內(nèi)完成？請說明理由．27．（2022·山東青島·九年級期中）如圖，二小球從斜坡A點(diǎn)處拋出，正好穿過B點(diǎn)的籃筐，落在斜坡底部的O點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，B的坐標(biāo)為12,78，斜坡的坡比為(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求小球到達(dá)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．28．（2022·山東濰坊·九年級期中）圖1是停車場入口處的升降桿，當(dāng)汽車刷牌照進(jìn)入時(shí)，升降桿就會從水平位置升起．圖2是其示意圖，其中BE∥CD，BC⊥CD，ED⊥CD，AB＝CD＝3.3m，BC(1)求故障時(shí)A點(diǎn)最高可距離地面多少m（精確到0.1m）．(2)若一輛箱式小貨車寬1.8m，高2.4m，請問這輛車能否在升降桿故障時(shí)進(jìn)入停車場？（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，29．（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)新校二模）如圖，坡AB的坡度為1：2.4，坡面長26米，BC⊥AC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE(請將下面兩小題的結(jié)果都精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732)(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)恰為45°，則此時(shí)平臺DE的長為______米；(2)坡前有一建筑物GH，小明在D點(diǎn)測得建筑物頂部H的仰角為30°，在坡底A點(diǎn)測得建筑物頂部H的仰角為60°，點(diǎn)B、C、A、G、H在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C、A、G在同一條水平直線上，問建筑物GH高為多少米？30．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級示范中學(xué)校九年級期中）綜合與實(shí)踐小明為自己家設(shè)計(jì)了一個(gè)在水平方向可以伸縮的遮陽蓬，如圖所示，已知太原地區(qū)在夏至日的正午太陽高度角（即正午太陽光線與地平面的夾角）為75°，冬至日的正午太陽高度角為29.5°，小明家的玻璃窗戶(AB)高為190cm，在A點(diǎn)上方20cm的C處安裝與墻垂直的寬為CD的遮陽蓬，并且該遮陽蓬可伸縮（CD可變化）；為了保證在夏至日正午太陽光不射到屋內(nèi)，冬至日正午整塊玻璃都能受到太陽光照射，求可伸縮的遮陽蓬CD寬度的范圍．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73，sin2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.19銳角三角函數(shù)與實(shí)際問題大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2021·江蘇淮安·一模）如圖1是武威某動車站出口處的自動扶梯，圖2是其簡化示意圖．自動扶梯AB的傾斜角為31°，在自動扶梯下方地面D處測得扶梯頂端A的仰角為62°，點(diǎn)B到點(diǎn)D的距離為6m，求自動扶梯距離地面的高度AC（精確到0.1m）．【參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,【答案】自動扶梯的垂直高度AC約為5.3【分析】根據(jù)三角形的外角定義可得AD＝DB，然后利用銳角三角函數(shù)求線段長即可．【詳解】解：∵∠ADC是△ADB的外角，∴∠ADC=∠ABC+∠DAB，∵∠ADC=62°,∠ABC=31°，∴∠DAB=31°，∴AD=DB=6m在Rt△ACD中，∠ADC=62°，∴sin∠ADC=∴AC=6×sin答：自動扶梯的垂直高度AC約為5.3m【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)求線段長問題，涉及到解直角三角形、仰角俯角問題、坡度坡角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．2．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，小兵同學(xué)利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識測量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測點(diǎn)C處測得大橋主架頂端A的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點(diǎn)B的俯角為14°，觀測點(diǎn)與大橋主架的水平距離CM為120米，且AB垂直于橋面．（點(diǎn)A，B，C，M在同一平面內(nèi)）(1)求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結(jié)果保留根號）(2)求大橋主架在水面以上的高度AB．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，3≈1.73）【答案】(1)403(2)99米【分析】(1)在Rt△AMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可解答；(2)在Rt△BMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義先求出BM，然后再加上AM即可求得．（1）解：在Rt△AMC中，CM＝120米，∠ACM＝30°，∠AMC＝∠BMC＝90°，∴AM=CM?tan∠ACM=120×33=40（2）解：在Rt△BMC中，CM＝120米，∠BCM＝14°，tan14°≈0.25，∴MB＝CM?tan∠BCM≈120×0.25＝30(米)，∴AB＝AM+【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用??仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦、余弦、正切是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）2022年10月13日將是第26個(gè)國際減災(zāi)日，主題是“掌握防災(zāi)減災(zāi)知識，保護(hù)生命安全”，各有關(guān)部門要切實(shí)加強(qiáng)防災(zāi)減災(zāi)宣傳教育，大力推廣和普及科普知識和自救互救技能，逐步提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識．云梯消防車在某小區(qū)工作時(shí)，云梯臂能達(dá)到的最大高度為點(diǎn)C處此時(shí)云梯臂AC長為40米，它與水平面的夾角為68°，轉(zhuǎn)動點(diǎn)A距地面的高度AB為3.8米．已知該小區(qū)高層住宅樓的層高是2.8米，請你通過計(jì)算說明：家住15樓的求救者能被順利施救嗎？（消防員身高、窗臺高度等因素不作考慮）（參考數(shù)據(jù)sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，【答案】家住15樓的求救者能被順利施救，理由見解析【分析】過點(diǎn)A作AD⊥CE于點(diǎn)D，易得出四邊形ADEB是矩形，即可得出DE=AB=3.8米．在Rt△ACD中，利用正弦可求出CD=AC·sin68°≈37.2米，從而可求出【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥CE于點(diǎn)D，如圖，則∠ADE=90°，又由題意可知∠ABE=∠BED=90°，∴四邊形ADEB是矩形，∴DE=AB=3.8米．在Rt△ACD中，∵AC=40米，∠CAD=68°，∴CD=AC·sin∴CE=CD+DE=37.2+3.8=41米．∵2.8×(15?1)=39.2<41，∴家住15樓的求救者能被順利施救．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·東海實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如圖，AB是一條筆直的長為500m的滑雪坡道，某運(yùn)動員從坡頂A滑出，沿直線滑向坡底B，她的滑行距離y（單位：m）與滑行時(shí)間x（單位：s）的部分對應(yīng)值如下表．x01234…y04.51428.548…(1)用所學(xué)過的函數(shù)知識猜想y是x的什么函數(shù)，并求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)一架無人機(jī)在AB上空距地面292m的P處懸停，此時(shí)在A處測得無人機(jī)的仰角為53°．無人機(jī)和該運(yùn)動員同時(shí)開始運(yùn)動，無人機(jī)以6.3m/s的速度勻速水平飛行拍攝，離A處越來越遠(yuǎn)．已知無人機(jī)（看成一個(gè)點(diǎn)）與AB（看成一條線段）所確定的平面始終垂直于地面，AB與地面MN的夾角為26°．求該運(yùn)動員滑行多久時(shí)，她恰在無人機(jī)的正下方．（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈43【答案】(1)函數(shù)的解析式為y=2.5x2+2x；(2)該運(yùn)動員滑行6s時(shí)，她恰在無人機(jī)的正下方．【分析】（1）觀察表格中的數(shù)據(jù)，y應(yīng)該是x的二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）作出如圖的輔助線，設(shè)運(yùn)動員滑行了ts，恰好在無人機(jī)的正下方，則AC=2.5t2+2t，利用三角函數(shù)分別用t表示出PE、AE的長，在Rt△APE中，利用正切函數(shù)列出方程，解方程即可求解．（1）解：觀察表格中的數(shù)據(jù)，y應(yīng)該是x的二次函數(shù)，且經(jīng)過原點(diǎn)(0，0)，設(shè)此函數(shù)的解析式為y=ax2把(1，4.5)，(2，14)，代入得a+b=4.54a+2b=14，解得a=2.5∴函數(shù)的解析式為y=2.5x2+2x，當(dāng)x=3時(shí)，y=2.5x2+2x=28.5，當(dāng)x=4時(shí)，y=2.5x2+2x=48，∴函數(shù)的解析式y(tǒng)=2.5x2+2x符合題意；（2）解：設(shè)運(yùn)動員滑行了ts，恰好在無人機(jī)的正下方，此時(shí)運(yùn)動員滑行了(2.5t2+2t)m，無人機(jī)飛行了6.3tm到達(dá)點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1D⊥MN交AB于點(diǎn)C，此時(shí)運(yùn)動員滑行到達(dá)點(diǎn)C，BC=AB-AC=500-(2.5t2+2t)，過點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥P1D于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PE⊥AG于點(diǎn)E，∴四邊形AFDG和四邊形PEGP1都是矩形，∵AB=500，∠ABF=26°，∴AF=GD=AB?sin26°≈220(m)，∠GAC=∠ABF=26°，∵無人機(jī)在AB上空距地面292m的P處懸停，∴PE=P1G=292-AF=72(m)，∴AG=AC?cos26°≈2.25t2+1.8t，∴AE=AG-EG=2.25t2+1.8t-6.3t=2.25t2-4.5t，在Rt△APE中，∵tan53°=PEAE∴3×72=4(2.25t2-4.5t)，整理得：t2-2t-24=0，解得：t1=6，t2=-4(舍去)，∴該運(yùn)動員滑行6s時(shí)，她恰在無人機(jī)的正下方．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解直角三角形的應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇泰州·九年級專題練習(xí)）如圖，小明想測量斜坡CD旁一棵垂直于地面AE的樹AB的高度，他們先在點(diǎn)C處測得樹頂B的仰角為60°，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°，已知斜坡CD的長度為20m，DE⊥AE，______，求AB的長．給出下列條件：①DE=10m；②EC=103m：③AE=20請?jiān)?個(gè)條件中選擇一個(gè)能解決上述問題的條件填到上面的橫線上（填序號），并解決該問題．【答案】①，30m【分析】先根據(jù)CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBF=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：選擇①DE=10m，理由如下：在Rt△CDE中，∵CD=20m，DE=10m，∴sin∠DCE=∴∠DCE=30°．∵∠ACB=60°，DF∥AE，∴∠BGF=60°∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．∵∠BDF=30°，∴∠DBF=60°，∴∠DBC=30°，∴BC=CD∴AB=BC?sin答：AB的長為30m．故答案為：①．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，為測量直立在建筑物AB上的廣告牌AC的高度，小莉在地面上D的處測得A的仰角為31°，然后她沿正對建筑物方向前進(jìn)了10m到達(dá)E處，此時(shí)測試A、C的仰角分別為45°、52°，求建筑物AB的高度和廣告牌AC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）【答案】建筑物AB的高度為15m，廣告牌AC的高度為4.2m【分析】設(shè)AB=x，可得BE=AB=x，在Rt△ADB中，根據(jù)tan∠ADB=ABDE+BE列方程，可求得AB，BE的長度，在Rt△EBC中，根據(jù)tan∠CEB=CBBE，可求得BC的長度，根據(jù)線段和差可求得【詳解】解：設(shè)AB=xm，可得BE=AB=xm，在Rt△ADB中，tan31°=ABDE+BE∴DE=23∴x=15，即BE=AB=15m，在Rt△EBC中，tan∠52°=CBBE=解得AC=4.2m∴建筑物AB的高度為15m，廣告牌AC的高度為4.2m．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用—仰俯角問題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．7．（2022·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘．道閘關(guān)閉時(shí)，如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB長3米，AD長1米，點(diǎn)D距地面為0.2米．道閘打開的過程中，邊AD固定，連桿AB，CD分別繞點(diǎn)A，D轉(zhuǎn)動，且邊BC始終與邊AD平行．(1)如圖2，當(dāng)?shù)篱l打開至∠ADC＝45°時(shí)，邊CD上一點(diǎn)P到地面的距離PE為1.2米，求點(diǎn)P到MN的距離PF的長．(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當(dāng)?shù)篱l打開至∠ADC＝36°時(shí)，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【答案】(1)PF=2米(2)轎車能駛?cè)胄^(qū)；理由見解析【分析】（1）在Rt△PDQ中，由∠PDQ＝45°，DQ＝PQ＝1，進(jìn)而求出FP即可；（2）當(dāng)∠ADC＝36°，PE＝1.6米時(shí)，求出PF，與1.8米比較即可得出答案．（1）解：（1）過點(diǎn)D作DQ⊥PE，垂足為Q，如圖所示：由題意可知，∠ADC＝45°，PE＝1.2米，QE＝0.2米，在Rt△PDQ中，∠PDQ＝45°，PQ＝1.2?0.2＝1米，∴∠DPQ=90?45°=45°，∴∠PDQ=∠DPQ=45°，∴DQ＝PQ＝1（米），∴PF＝EN=AB?DQ＝3?1＝2（米）．（2）當(dāng)∠ADC＝36°，PE＝1.6米時(shí)，則∠DPQ＝36°，PQ＝1.6?0.2＝1.4（米），∴DQ＝PQ?tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），∴PF＝3?1.022≈1.98（米），∵1.98＞1.8，∴能通過．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）隨著冬奧會的閉幕，坐落于冬奧核心區(qū)的國家跳臺滑雪中心——“雪如意”，成為本次冬奧會比賽場館中最具標(biāo)志性和辨識度的建筑物之一．該跳臺滑雪中心設(shè)計(jì)靈感來源于中國的傳統(tǒng)吉祥飾物“如意”，從跳臺環(huán)形頂端，再到剖面線形和底部看臺，與“如意”的S型曲線完美契合，因此被稱為“雪如意”，既體現(xiàn)了體育建筑的動感，又凸顯了中國文化元素．如圖，是“雪如意”的側(cè)面示意圖，“雪如意”由頂峰俱樂部AC、滑道（包括助滑區(qū)DE和著陸坡EF）及看臺區(qū)GF三部分構(gòu)成（AC、GF均與水平面平行），其中BD⊥AC于點(diǎn)B，BD＝14m，DE＝109m，EF＝198m，從點(diǎn)E處測得點(diǎn)D處的仰角為26°，點(diǎn)F處的俯角為31°，求“雪如意”的高BH的長（結(jié)果精確到1m，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin31°≈0.52，【答案】“雪如意”BH的高度約為165m【分析】過點(diǎn)E分別作EM⊥DH于點(diǎn)M，EN⊥FH于點(diǎn)N，然后解直角三角形即可．【詳解】解：過點(diǎn)E分別作EM⊥DH于點(diǎn)M，EN⊥FH于點(diǎn)N，則∠EFN＝31°，且四邊形EMHN是矩形，∴EN＝MH，在Rt△DEM中，sin∠DEM=∴DM=DE?sin在Rt△EFN中，sin∠EFN=∴EN=EF?sin∴BH=BD+DM+MH=BD+DM+EN=14+47.96+102.96=164.92≈165（m）．即“雪如意”BH的高度約為165m．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了仰角和俯角的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇連云港·二模）某廣播電視塔由塔下、塔房、塔身、上塔樓和天線段4部分組成．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們借助無人機(jī)、卷尺等工具測量電視塔的高度．如圖所示，小航在M處用無人機(jī)在距地面120米的B處測得電視塔最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MN方向前進(jìn)30米到達(dá)N處，用無人機(jī)在距地面80米的C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，求ON的距離和電視塔OA的高度，（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40【答案】ON的距離為87米，電視塔OA的高度為167米【分析】設(shè)ON的長為x，根據(jù)題意可得BD=30+x，AD=x?40，在Rt△ABD中，利用三角函數(shù)列出關(guān)于x的方程，即可求出ON，OA【詳解】解：由題意得：MO＝BD，BM＝OD＝120米，CN＝OE＝80米，ON＝CE，∴DE＝OD－OE＝40米，設(shè)ON＝CE＝x米，∴MO＝BD＝（30+x）米，在Rt△ACE中，∠ACE∴AE=CE?tan∴AD=AE?DE=(x?40)米，在Rt△ABD中，∠ABD∴tan22°=∴x≈87，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝87是原方程的根，∴ON＝87（米），OA＝AE+OE＝87+80＝167（米），∴ON的距離為87米，電視塔OA的高度為167米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠熟練借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解題關(guān)鍵．10．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示，玫瑰家園小區(qū)有甲、乙兩棟居民樓，小明在甲居民樓的樓頂B處觀測乙居民樓樓底D處的俯角是30°，觀測乙居民樓樓頂C處的仰角為15°，已知甲居民樓的高為10m，求乙居民樓的高．（參考數(shù)據(jù)：2=1.414，3=1.732【答案】乙居民樓的高14.6m【分析】如圖：分別過C、B作CF⊥BD，BE⊥CD，垂足分別為E、F，先在Rt△BDE中求得DA=103，再在Rt△CFB中說明CF=BF，然后再在Rt△CFD中運(yùn)用三角函數(shù)求得BF=CF=3DF，再利用BD=BF+DF求得DF，最后在Rt△CFD中解直角三角形求得CD【詳解】解：如圖：分別過C、B作CF⊥BD，BE⊥DC，垂足分別為E、F，則DE=AB=10，∵在Rt△BDE中，∠DBE=30°，AB=10∴BD=20，AD=103∵在Rt△CFB中，∠CBF=∠DBE+∠CBE=45°，∴CF=BF∵在Rt△CFD中，∠DCF=30°，∴tan∠DCF=DFCF=tan30°=33，CF=BF=∴BD=BF+DF=3DF+DF=20,即DF=∴CD=2DF=20解得CD=203?1∴乙居民樓的高14.6m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線、構(gòu)造所需的直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC=200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD=100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．(1)求步道DE的長度（精確到個(gè)位）；(2)點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請計(jì)算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3【答案】(1)DE=283米；(2)經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近．【分析】（1）過D作DF⊥AE于F，由已知可得四邊形ACDF是矩形，則DF=AC=200米，根據(jù)點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即得DE的長；（2）由∠ABC=30°，即得AB=2AC=400米，BC的長，再分別求得AB+BD、AE+DE的長，即可得答案．【詳解】（1）解：過D作DF⊥AE于F，如圖：由已知可得四邊形ACDF是矩形，∴DF=AC=200米，∵點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°，即∠DEF=45∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=2（2）解：由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，∴EF=DF=200米，∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，即∠EAB=30°，∴∠ABC=30°，∵AC=200米，∴AB=2AC=400米，BC=A∵BD=100米，∴經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD=400+100=500（米），CD=BC+BD=(2003∴AF=CD=(2003∴AE=AF?EF=(2003∴經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE=2003∵529>500，∴經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形-方向角問題，解題的關(guān)鍵是掌握含30°、45°角的直角三角形三邊的關(guān)系．12．（2020·江蘇·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）如圖，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時(shí)在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時(shí)的速度前往救援，問巡邏艇能否在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈12【答案】巡邏艇能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處【分析】由已知可得在△ABC中，∠C＝67°，∠B＝37°，且AB＝20海里，要求BC的長，可以過A作AD⊥BC于D，分別求出CD和BD的長，就可轉(zhuǎn)化為運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形．【詳解】解答：過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．由題意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sinB=AHAB∴AH=AB?sinBH=AB?cos在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=∴CH=AH∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21，∵21÷25＜1，∴巡邏艇能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．13．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，9時(shí)30分到達(dá)B處，從A，B兩處分別測得小島C在北偏東45°和北偏東15°．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求B處船與小島C的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)30°(2)20【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作BD⊥AC與點(diǎn)D，根據(jù)已知可求得BD的長，再根據(jù)三角函數(shù)即可求得BC的長．（1）解：由題意可知∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠C＝180°－105°－45°＝30°．（2）解：作BD⊥AC于D點(diǎn)，則∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△ABD中，AB=40×3060=20，∠BAC＝45°，∴BD=AB·sin∠BAD=20?sin45°=20×22=102，在Rt△CBD中，∠【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解題的關(guān)鍵是把一般三角形的問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．14．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點(diǎn)A處觀測到河對岸有一點(diǎn)C在A的南偏西59°的方向上，沿河岸向西前行20m到達(dá)B處，又測得C在B的南偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計(jì)算出這條河的寬度．(參考數(shù)據(jù)：tan31°≈【答案】30m【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于D．構(gòu)造直角三角形，設(shè)CD=xm，列出關(guān)于x的比例式，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，設(shè)CD=xm∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BD=CD=xm∵在Rt△ACD中，∠DAC=90°?59°=31°，AD=AB+BD=20+xm，∴tan即x20+x解得x=30．經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意答：這條河的寬度約為30m【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義等知識．解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．15．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）某區(qū)域平面示意圖如圖，點(diǎn)O在河的一側(cè)，AC和BC表示兩條互相垂直的公路．甲勘測員在A處測得點(diǎn)O位于北偏東45°，乙勘測員在B處測得點(diǎn)O位于南偏西73.7°，測得AC＝840m，BC＝500m．請求出點(diǎn)O到公路AC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈【答案】360米【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，設(shè)OM＝x，根據(jù)矩形的性質(zhì)用x表示出OM、MC，根據(jù)正切的定義用x表示出BM，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，則四邊形ONCM為矩形，∴ON＝MC，OM＝NC，設(shè)OM＝x，則NC＝x，AN＝840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝840﹣x，則MC＝ON＝840﹣x，在Rt△BOM中，BM＝OMtan由題意得，840﹣x+724x解得，x＝480，∴ON＝840﹣480＝360（m），即點(diǎn)O到公路AC的距離360米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意得基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．16．（2021·江蘇·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為163nmile的圓形海域內(nèi)有暗礁、一輪船自西向東航行，它在A處時(shí)測得小島P位于北偏東60°的方向上，且A、P之間的距離為32nmile．若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無觸礁危險(xiǎn)？請通過計(jì)算加以說明．如果有危險(xiǎn)，輪船自A處開始沿南偏東至多多少度方向航行才能安全通過這一海域？【答案】有危險(xiǎn)，60度【分析】過點(diǎn)P作PB⊥AE，垂足為B，求出PB的長和163比較即可，作以點(diǎn)P為圓心，163nmile為半徑的⊙P，過點(diǎn)A作⊙P的切線AQ，切點(diǎn)為Q，連接PQ【詳解】解：過點(diǎn)P作PB⊥AE，垂足為B，由題意得：∠PAB＝30°，在Rt△PBA中∠PBA＝90°，AP＝32，∴PB＝12AP∵16＜163∴輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有觸礁危險(xiǎn)．作以點(diǎn)P為圓心，163nmile為半徑的⊙P過點(diǎn)A作⊙P的切線AQ，切點(diǎn)為Q，連接PQ，∵AQ切⊙P于點(diǎn)Q∴∠AQP＝90°∵PQ＝163，AP∴sin∠PAQ＝PQ∴∠PAQ＝60°

∴∠SAQ＝180°－60°－60°＝60°∴輪船自A處開始沿南偏東至多60度方向航行才能安全通過這一海域．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是作出恰當(dāng)輔助線，利用三角函數(shù)知識進(jìn)行計(jì)算推理．17．（2021·江蘇·蘇州市立達(dá)中學(xué)校二模）為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學(xué)習(xí)．如圖，學(xué)校在點(diǎn)B處，A位于學(xué)校的東北方向，C位于學(xué)校南偏東30°方向，C在A的南偏西15°方向(15+153)km處，學(xué)生分成兩組，第一組前往A地，第二組前往C地，兩組同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，第一組乘客車，速度是40【答案】第二組先到達(dá)目的地，理由見解析【分析】過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中證得BD＝CD，設(shè)BD＝x，則CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函數(shù)定義表示出AD的長，在Rt△BDC中，利用三角函數(shù)表示出CD的長，由AD+CD＝AC列出方程問題得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于D．依題意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，設(shè)BD＝x，則CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝BDAD∴33∴AD＝3x，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，∴sin∠DCB＝BDBC∴BC＝2x，∵CD+AD＝30+303，∴x+3x=30+30∴x＝30，∴AB＝2x＝60，BC＝2x=30第一組用時(shí)：60÷40＝1.5（h）；第二組用時(shí)：302÷30=2（∵2＜1.5，∴第二組先到達(dá)目的地，答：第一組用時(shí)1.5小時(shí)，第二組用時(shí)2小時(shí)，第二組先到達(dá)目的地．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題．18．（2022·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在建筑物DF的左邊有一個(gè)小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡AB的坡比為i=5:12，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角α為35°，然后小李沿斜坡AC走了241米到達(dá)底部C點(diǎn)，已知建筑物上有一點(diǎn)E，在C處看點(diǎn)E的仰角為18°，（點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)）建筑物頂端D到E的距離DE長度為28.8米，求建筑物DF的高度．（參考數(shù)據(jù)：cos35°≈45，tan35°≈7【答案】40.8米【分析】如圖AG⊥BC于G，AH⊥DF于H，連接ADCE，根據(jù)比例設(shè)AG=5x，BG=12x，結(jié)合勾股定理求出x=2【詳解】解：如圖AG⊥BC于G，AH⊥DF于H，連接∵AB的坡比i=5:12設(shè)AG=5x，∴在Rt△ABGAB=∴x=2∴AG=10在Rt△ACG中，GC設(shè)EF=m，在Rt△CEF∴CF=3∵四邊形AGFH是矩形，∴AH=又∵DH=在Rt△AHD中，tan∴18.8+∴m∴DF=答：建筑物DF的高度為40.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，也考查了勾股定理，根據(jù)題意作出正確的輔助線是解答此題的關(guān)鍵．19．（2022·江蘇泰州·九年級專題練習(xí)）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組組織測量一山坡上電線桿PQ的高度，隊(duì)員們在地面上的點(diǎn)A處測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，隨后沿直線走了6m到達(dá)B點(diǎn)處，測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是60°，B處到電線桿底端Q的坡度i=1：1.5，求電線桿PQ的高度．（結(jié)果精確到1m）備用數(shù)據(jù)：3≈1.7【答案】9米【分析】延長PQ交AB于點(diǎn)D，設(shè)PD=x米，根據(jù)∠PAD=45°得AD=PD=x米，在RtΔBPD中，根據(jù)∠PAD=45°和三角形內(nèi)角和定理得∠BPD=30°，根據(jù)tan∠PBD=PDBD=33得BD=33x，根據(jù)AB=AD?BD得x=9+33，即【詳解】解：如圖所示，延長PQ交AB于點(diǎn)D，設(shè)PD=x米，在RtΔPAD中，∠PAD=45°，則AD=PD=x米，∵在RtΔBPD中，∠PBD=60°，∴∠BPD=180°?∠PBD?∠PDA=30°，在Rt△BPD中，tan∠PBD=即BD=3∴AB=AD?BDx?解得x=9+33則BD=（3+33在RtΔBQP中，QD=3∴PQ=PD?QD=9+33即電線桿PQ的高度約為9m．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．20．（2022·江蘇常州·二模）為踐行綠水青山就是金山銀山的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，在一個(gè)坡度i=1:2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)一棵古樹CD，測得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC=26m，在距山腳點(diǎn)A處水平距離6m的點(diǎn)E處測得古樹頂端D的仰角∠AED=60°，求古樹CD的高度為多少米？（古樹CD與山坡AB的割面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹CD所在直線與直線AE【答案】古樹CD的高度為303【分析】設(shè)CD與直線AE交于點(diǎn)H．由勾股定理和坡度求得，CH:AH:AC=5:12:13，CH=10，AH=24，在Rt△EDH中，利用正切函數(shù)求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)CD與直線AE交于點(diǎn)H．由題意可知CHAH設(shè)CH=5x，AH=12x，在Rt△ACH中，由勾股定理得AC=A∴CH:AH:AC=5:12:13．∵AC=26，∴CH=10，AH=24，∵AE=6，∴EH=30．在Rt△EDH中，tan∠DEH=∵∠AED=60°∴tan60°=∴DH=303∴CD=303即古樹CD的高度為(303【點(diǎn)睛】題目主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理等知識，理解坡度，掌握特殊角的三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．21．（2022·江蘇南京·一模）圖①是2022年北京冬季奧運(yùn)會自由式滑雪大跳臺和單板滑雪大跳臺的比賽場館，別名“雪飛天”．我們畫出一個(gè)與它類似的示意圖②，其中出發(fā)區(qū)EF、起跳區(qū)CD都與地面AB平行．助滑坡DE與著陸坡AC的長度之和為80m．已知EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍，∠A＝30°，M為CD延長線上一點(diǎn)，∠EDM＝37°．求EF到AB的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．)【答案】EF到AB的距離為45米【分析】過點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB于點(diǎn)G，設(shè)AC的長度為x米，則DE的長度為（80-x）米，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得CG=12x，根據(jù)三角函數(shù)得EM=0.6·(80?x)，根據(jù)EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍得3CG=EM+CG，解得【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB于點(diǎn)G，設(shè)AC的長度為x米，則DE的長度為（80-x）米，由題意得，CG=12AC=則3CG=EM3x=30，∴AC=30，∴CG=15，∴EF到AB的距離為：3×15=45（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)．22．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點(diǎn)F,E為DF與AB的交點(diǎn)．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°三角函數(shù)銳角A13°28°32°sin0.220.470.53cos0.970.880.85tan0.230.530.62(1)求AE的長（結(jié)果取整數(shù)）；(2)冬至日正午，經(jīng)過點(diǎn)D的太陽光線與AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：2【答案】(1)91cm(2)32cm【分析】（1）在Rt△ADF中，由銳角三角函數(shù)定義求出AF的長，再在Rt△AEF中，由銳角三角函數(shù)定義求出AE的長即可；（2）設(shè)DG交AB于M，過點(diǎn)A作AN⊥DG于N，由銳角三角函數(shù)定義求出DF、FG的長，得出AG的長，再由銳角三角函數(shù)定義求出AN的長，然后證△AMN為等腰直角三角形，得AM＝2AN≈123.1（cm），由EM＝AM?AE（1）解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF∴AF=AD=100×=100×0.88=88cm，在Rt△AEF中，cos∠EAF∴AE=AF（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)N，如圖所示：則∠AMN=∠MAC+∠MGA，∴∠AMN=13°+32°=45°，在Rt△ADF中，DF=AD·sin在Rt△DFG中，DFFG∴FG=DF∴AG=AF+FG=88+75.8=163.8（cm），∵AN⊥GD，∴∠ANG=90°，∴AN=AG×sin在Rt△ANM中，sin45°=∴AM=86.8∴EM=AM?AE=123.1?91=32.1cm∴EH的最小值為32cm【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，求出AE、AM的長是解題的關(guān)鍵．23．（2021·山東·淄博市淄川第二中學(xué)九年級期中）為踐行“綠水青山就是金山銀山"的重要思想，我省森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，發(fā)現(xiàn)古樹AB是直立于水平面，為測量古樹AB的高度，小明從古樹底端B出發(fā)，沿水平方向行走了26米到達(dá)點(diǎn)C，然后沿斜坡CD前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，DC=BC，在點(diǎn)D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為0.8米，在E點(diǎn)處測得古樹頂端A點(diǎn)的仰角∠AEF為15°（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：(1)求斜坡CD的高；(2)求古樹AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，【答案】(1)10米(2)24.3米【分析】(1)過點(diǎn)E作EM⊥AB與點(diǎn)M，延長ED交BC于G，根據(jù)斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4可設(shè)DG=x，則CG=2.4x，利用勾股定理求出(2)由CG與DG的長，故可得出EG的長．由矩形的判定定理得出四邊形EGBM是矩形，故可得出EM=BG，BM=EG，再由銳角三角函數(shù)的定義求出【詳解】（1）解：過點(diǎn)E作EM⊥AB與點(diǎn)M，延長ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，∴DG=x，則CG=2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2∴DG=10米，即：斜坡CD的高為10米；（2）∵DG=10米，∴CG=24米，∴EG=10+0.8=10.8米，BG=26+24=50米．∵EM⊥AB，∴四邊形EGBM是矩形，∴EM=BG=50米，BM=EG=10.8米．在Rt△AEM∵∠AEM=15°，∴AM=EM?tan∴AB=AM+BM=13.5+10.8≈24.3(米)．答：建筑物AB的高度約為24.3米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．24．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)九年級期中）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測．某學(xué)校大門AB高6.5米，學(xué)生DF身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測有效識別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測得攝像頭A的仰角為30°，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域CD段時(shí)，在點(diǎn)C處測得攝像頭A的仰角為60°，求體溫檢測有效識別區(qū)域CD段的長（結(jié)果保留根號）【答案】CD=10【分析】由題意可求得AG=5米，分別在Rt△ADG和Rt△ACG中，利用三角函數(shù)的求出DG和CG【詳解】解：由題意得，BG=CE=DF=1.5米，∴AG=AB?BG=5米，在Rt△ADG中，tan解得DG=53在Rt△ACG中，tan解得CG=5∴CD=DG?CG=10【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．25．（2022·江蘇無錫·九年級期中）如圖是某小區(qū)地下停車場入口處欄桿的示意圖，MQ、PQ分別表示地面和墻壁的位置，OM表示垂直于地面的欄桿立柱，OA、AB是兩段式欄桿，其中OA段可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，AB段可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).圖1表示欄桿處于關(guān)閉狀態(tài)，此時(shí)O、A、B在與地面平行的一直線上，并且點(diǎn)B接觸到墻壁；圖2表示欄桿處于打開狀態(tài)，此時(shí)AB∥MQ，OA段與豎直方向夾角為30°．已知立柱寬度為30cm，點(diǎn)O在立柱的正中間，OM=120cm，OA=120cm(1)求欄桿打開時(shí)，點(diǎn)A到地面的距離；(2)為確保通行安全，要求汽車通過該入口時(shí)，車身與墻壁間需至少保留10cm的安全距離，問一輛最寬處為2.1m，最高處為2.1m的貨車能否安全通過該入口？（本小題中3【答案】(1)點(diǎn)A到地面的距離為(120+60(2)貨車不能安全通過該入口【分析】（1）過點(diǎn)A作AN⊥ON,垂足為點(diǎn)N，利用三角函數(shù)求得NO=AO?cos30°=120×32=60（2）作HF∥AB,交OA于點(diǎn)K,使HM=210cm，利用三角函數(shù)求出HK=OH?tan30°=90×33【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AN⊥ON,垂足為點(diǎn)NNO=AO?NM=NO+OM=則點(diǎn)A到地面的距離為(120+60（2）解：如圖，作HF∥AB,交OA于點(diǎn)K,使HM=2.1OH=MH?OM=210?120=90HK=OH?KF=HF?HK=OA+AB?HK=120+150?51.9=218.1若貨車靠墻行駛需要寬度為210+10=220則貨車不能安全通過該入口.【點(diǎn)睛】本題考查了與解直角三角形相關(guān)的應(yīng)用題，掌握三角函數(shù)并能解決實(shí)際問題是解題關(guān)鍵．26．（2022·重慶一中九年級階段練習(xí)）公園大門A的正東方向原本有一條通往湖心小島B的景觀步道AB，但為了讓市民朋友多角度欣賞公園景色，市政府決定新修一條景觀步道通往湖心小島B，新步道從A出發(fā)通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再從C地到達(dá)湖心小島B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程隊(duì)以每天60米的速度進(jìn)行單獨(dú)施工，2天后，為了加快工程進(jìn)度，乙工程隊(duì)以每天90米的速度加入項(xiàng)目建設(shè)，直到兩隊(duì)起完成景觀步道的修建．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4）(1)求A、B兩地的距離（結(jié)果保留根號）；(2)新的景觀步道能否在15天內(nèi)完成？請說明理由．【答案】(1)(4006(2)能，見解析【分析】（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，C位于A的北偏西45°方向，CD⊥AB，且B在A的正東方，可知∠ADC=45°，從而得到AD=CD=AC×sin45°=800×22=4002m，再利用C位于B（2）由（1）可得路線總長為：AC+BC=800+4002再設(shè)新的景觀步道能在x天內(nèi)完成，利用前兩天修的長度加乙工程隊(duì)加入后一起修的長度等于總長度列方程求出所需天數(shù)，再與15比較大小即可得解．【詳解】（1）解：如下圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵C位于A的北偏西45°方向，CD⊥AB，且B在A的正東方，∴∠ADC=45∴△ADC是等腰直角三角形，又∵AC=800m∴AD=CD=AC×sin又∵C位于B的北偏西60°方向，∠BCD=60°∴BC=2CD=2×4002=800∴AB=BD?AD=400答：A、B兩地的距離是(4006（2）能，理由如下：∵AC=800m，BC=2CD=2×400∴路線總長為：AC+BC=800+400設(shè)新的景觀步道能在x天內(nèi)完成，則有：60×2+解得：x=14<15，∴新的景觀步道能在15天內(nèi)完成．【點(diǎn)睛】本題考查解直角