人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題09二次函數(shù)的最值問(wèn)題專訓(xùn)【七大題型】(原卷版+解析)

專題09二次函數(shù)的最值問(wèn)題專訓(xùn)【七大題型】【題型目錄】題型一二次函數(shù)的定軸定區(qū)間求最值問(wèn)題題型二二次函數(shù)的動(dòng)軸定區(qū)間求最值問(wèn)題題型三二次函數(shù)的定軸動(dòng)區(qū)間求最值問(wèn)題題型四二次函數(shù)的面積與最值問(wèn)題題型五二次函數(shù)的兩個(gè)圖形面積最值問(wèn)題題型六二次函數(shù)的線段最值問(wèn)題題型七二次函數(shù)的最值綜合問(wèn)題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的定軸定區(qū)間求最值問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)1定軸定區(qū)間】對(duì)于二次函數(shù)在上的最值問(wèn)題（其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自變量x為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在時(shí)，取到最小值，無(wú)最大值．（2）若，如圖②，當(dāng)，；當(dāng)，．（3）若，如圖③，當(dāng)，；當(dāng)，．（4）若，，如圖④，當(dāng)，；當(dāng)，．【例1】（2023·浙江·一模）已知二次方程的兩根為和5，則對(duì)于二次函數(shù)，下列敘述正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是9． B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是9．C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是． D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在范圍內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有最大值4，有最小值 B．有最大值4，有最小值C．有最大值3，有最小值 D．有最大值3，有最小值2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？计谀┮阎魏瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值為．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)的最小值是，最大值是．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)的動(dòng)軸定區(qū)間求最值問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)2動(dòng)軸或動(dòng)區(qū)間】對(duì)于二次函數(shù)，在（m，n為參數(shù)）條件下，函數(shù)的最值需要分別討論m，n與的大?。纠?】（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考二模）已知拋物線，若時(shí)，拋物線上一點(diǎn)滿足：當(dāng)時(shí)，，則m的值是（

）A．0 B． C．0或 D．0或4【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最大值為，則a的值為（

）A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或62．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考三模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，則m的值是．3．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)，（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為．（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為6，則的值為．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)的定軸動(dòng)區(qū)間求最值問(wèn)題】【例3】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，下列說(shuō)法項(xiàng)正確的是（

）A．若，函數(shù)有最大值5 B．若，函數(shù)有最小值5C．若，函數(shù)有最小值1 D．若，函數(shù)無(wú)最大值【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是8，最小值是，則的值可能是（

）A．1 B．4 C．7 D．102．（2023·安徽阜陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)．（1）該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線．（2）當(dāng)時(shí)，若y的最大值與最小值之差為8，則m的值為．3．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)，當(dāng)，y的最小值是，最大值是，則．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)的面積與最值問(wèn)題】【例4】（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)，，，均在函數(shù)l圖象上，P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)E，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西宜春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P（m，n）從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)后，再沿對(duì)稱軸向下運(yùn)動(dòng)，給出下列說(shuō)法：①a=﹣1；②拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1；③當(dāng)點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，n=1；④在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)的過(guò)程中，當(dāng)m=?時(shí)，△PAC的面積最大．其中，所有正確的說(shuō)法是（

）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④2．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別位于正方形的四條邊上，四邊形也是正方形，當(dāng)正方形的面積最小時(shí)，的度數(shù)是．

3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，已知、為兩條定長(zhǎng)的線段，，，，點(diǎn)A、C分別為線段，上的點(diǎn)（點(diǎn)C可與點(diǎn)P重合），、，若，則四邊形面積的最大值為．

【經(jīng)典例題五二次函數(shù)的兩個(gè)圖形面積最值問(wèn)題】【例5】（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線第四象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．①如圖1，記面積為面積為，求的面積最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．②如圖2，若將沿直線翻折得到，且點(diǎn)落在線段上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽合肥·?？既＃┠郴ㄆ曰赜?jì)劃將如圖所示的一塊長(zhǎng)，寬的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動(dòng)區(qū)，其余空地為花卉種植區(qū)，分別種植，，三種花卉．活動(dòng)區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長(zhǎng)是．，，三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是百元、百元、百元．

(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為，用含的代數(shù)式表花卉的種植面積是__________(2)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，，兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉與的種植面積之和不超過(guò)，求，，三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值．2．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線（a、b為常數(shù)，）與x軸相交于另一點(diǎn)．在第一象限內(nèi)與直線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得？若存在，求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，點(diǎn)E是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是直線OB下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，EF與直線OB交于點(diǎn)G．設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．3（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┪覀兗s定：圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)．

(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的有________（填序號(hào)）；①；②；③；④．(2)已知二次函數(shù)（為常數(shù)）是偶函數(shù)，將此偶函數(shù)向下平移得到新的二次函數(shù)，新函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，若以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求平移后新函數(shù)的解析式；(3)如圖，已知偶函數(shù)（）經(jīng)過(guò)，，過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)分別作軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，分別用，，表示，，的面積，若．①證明：；

②求直線的解析式．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)的線段最值問(wèn)題】【例6】（2023春·福建福州·八年級(jí)福建省福州楊橋中學(xué)校考期末）已知拋物線和直線，且．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)試說(shuō)明拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)已知點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)的最大值．【變式訓(xùn)練】1．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接，點(diǎn)P在線段下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，連接，，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)H，求周長(zhǎng)的最大值．(3)如圖3，直線，分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求的面積；(2)點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，求線段的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線平移個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)，將沿直線平移得到（不與重合），若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）函數(shù)（為常數(shù)，）．

(1)求出此函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含的式子表示）；(2)當(dāng)時(shí)，此函數(shù)圖像交軸于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸下方圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交線段于點(diǎn)，求線段的最大值；(3)點(diǎn)，連接，當(dāng)此函數(shù)圖像與線段恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求出a的取值范圍．【經(jīng)典例題七二次函數(shù)的最值綜合問(wèn)題】【例7】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，拋物線（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，和．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若直線與x軸交于點(diǎn)N，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)M，當(dāng)有最大值時(shí)，求出拋物線上點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為拋物線（））的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，Q為平移后拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下求得的點(diǎn)M，是否能與A，P，Q構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線下方拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及面積最大值．(3)若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023·浙江·一模）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中，連結(jié)．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線和直線的夾角為，求線段的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值，直接寫(xiě)出n的取值范圍．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，且時(shí)，取到最大值，則的值可能為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是8，最小值是，則的值可能是（

）A．1 B．4 C．7 D．103．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知拋物線，該拋物線經(jīng)過(guò)平移得到新拋物線，新拋物線與x軸正半軸交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到2之間，若點(diǎn)，在拋物線的圖象上，則的范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)期末）已知，且，令，則函數(shù)S的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023春·浙江·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)在x的一定取值范圍內(nèi)有最大值為0，最小值為，滿足條件的x的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最小值為，則a的值為（

）A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或47．（2023·浙江金華·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)，（a，b是實(shí)數(shù)，）的最小值分別為m和n，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則，8．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，矩形中，已知，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為直角邊在與點(diǎn)的同側(cè)作等腰直角，連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值是()A． B． C． D．9．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）二次函數(shù)的最小值是______，最大值是______．10．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值y大于0，則的取值范圍為_(kāi)_____．13．（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，利用的墻角修建一個(gè)四邊形的花壇，使得，，如果新建圍墻折線總長(zhǎng)15米，那么當(dāng)_______米時(shí)，花壇的面積會(huì)達(dá)到最大．11．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)(為常數(shù))，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，對(duì)任意的和，總滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．12．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則代數(shù)式的最小值為_(kāi)_____．13．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、、三點(diǎn)，點(diǎn)是其頂點(diǎn)，若點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．14．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知拋物線，，是常數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列結(jié)論：①：②關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；④為任意實(shí)數(shù)，若，則代數(shù)式的最小值是．其中正確的是________(填寫(xiě)序號(hào))．15．（2023·四川成都·校考三模）定義：將函數(shù)的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的函數(shù)的圖象，我們稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)的最大值為8，則m的值為_(kāi)_____．16．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1時(shí)，b的取值范圍是______；（2）當(dāng)點(diǎn)M到直線的距離不大于時(shí)，b的取值范圍是，則的值為_(kāi)_____．17．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且．若點(diǎn)，均在該拋物線上，且，則最大值為_(kāi)_______．18．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值；(3)點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且到軸的距離小于3，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．19．（2023·湖北黃石·黃石十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）夏季即將到來(lái)，為滿足大眾需要，雪糕店推出了新款盒裝雪糕（分A、B兩種，不可拆開(kāi)售賣）共50盒，兩款雪糕的成本均為15元/盒，假設(shè)購(gòu)進(jìn)的所有雪糕均全部售出，且兩款雪糕的銷量均為正整數(shù)．設(shè)A雪糕銷售單價(jià)為x元（，x為整數(shù)），所獲總利潤(rùn)為y（單位：元），已知當(dāng)銷售單價(jià)時(shí)，A雪糕的銷量為40盒，在此基礎(chǔ)之上，x每增加1元，銷量就會(huì)減少2盒．B雪糕的銷售單價(jià)恒為30元，設(shè)賣出B雪糕所獲總利潤(rùn)s（單位：元）(1)用含x的代數(shù)式表示下列各量：①賣出A雪糕所獲利潤(rùn)___________；②賣出B雪糕所獲利潤(rùn)___________．(2)在此次銷售中，雪糕店所獲總利潤(rùn)為w（單位：元），則當(dāng)x為多少時(shí)w有最大值，并求出該最大值，(3)每售出一盒B型雪糕，雪糕店的老板就向希望工程捐出a元（），若總利潤(rùn)的最大值為722元，求a的值．20．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物冰墩墩在冬奧會(huì)期間火遍全國(guó)．某網(wǎng)店也借機(jī)售賣一款冰墩墩．進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，規(guī)定單個(gè)銷售利潤(rùn)不低于10元，且不高于31元，試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為40元時(shí)，每天可以售出500個(gè)，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10個(gè)，該網(wǎng)店決定提價(jià)銷售，設(shè)銷售單價(jià)為元，每天銷售量為個(gè)．(1)直接寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每日銷售利潤(rùn)為8960元？(3)網(wǎng)店為響應(yīng)“助力竐情防控，回饋社會(huì)，共渡難關(guān)”活動(dòng)，決定每銷售1個(gè)冰墩墩就捐贈(zèng)元給希望工程，若每天扣除捐贈(zèng)后可獲得最大利潤(rùn)為8120元，則的值是多少？

專題09二次函數(shù)的最值問(wèn)題專訓(xùn)【七大題型】【題型目錄】題型一二次函數(shù)的定軸定區(qū)間求最值問(wèn)題題型二二次函數(shù)的動(dòng)軸定區(qū)間求最值問(wèn)題題型三二次函數(shù)的定軸動(dòng)區(qū)間求最值問(wèn)題題型四二次函數(shù)的面積與最值問(wèn)題題型五二次函數(shù)的兩個(gè)圖形面積最值問(wèn)題題型六二次函數(shù)的線段最值問(wèn)題題型七二次函數(shù)的最值綜合問(wèn)題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的定軸定區(qū)間求最值問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)1定軸定區(qū)間】對(duì)于二次函數(shù)在上的最值問(wèn)題（其中a、b、c、m和n均為定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自變量x為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在時(shí)，取到最小值，無(wú)最大值．（2）若，如圖②，當(dāng)，；當(dāng)，．（3）若，如圖③，當(dāng)，；當(dāng)，．（4）若，，如圖④，當(dāng)，；當(dāng)，．【例1】（2023·浙江·一模）已知二次方程的兩根為和5，則對(duì)于二次函數(shù)，下列敘述正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是9． B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是9．C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是． D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是．【答案】C【分析】根據(jù)二次方程的兩根為和5，求出，的值，從而得出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】解：二次方程的兩根為和5，，解得，二次函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是求函數(shù)解析式．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在范圍內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有最大值4，有最小值 B．有最大值4，有最小值C．有最大值3，有最小值 D．有最大值3，有最小值【答案】A【分析】將解析式配方為頂點(diǎn)式，可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，然后根據(jù)，即可得到相應(yīng)的最大值和最小值，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，∴對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下，∴在的取值范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在所給范圍內(nèi)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？计谀┮阎魏瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值為．【答案】5【分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口向上確定其增減性，并結(jié)合圖象解答即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴對(duì)稱軸是：，∵，∴時(shí)，y隨x的增大而增大，時(shí)，y隨x的增大而減小，由圖象可知：在內(nèi)，時(shí)，y有最大值，，∴函數(shù)y的最大值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的增減性，結(jié)合圖象可得函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)的最小值是，最大值是．【答案】1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，在范圍內(nèi)求出最值即可得到答案．【詳解】解：，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，，即二次函數(shù)的最小值是；到的距離為；到的距離為，當(dāng)時(shí)，代入得，即二次函數(shù)的最大值是；時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)最值求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)的動(dòng)軸定區(qū)間求最值問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)2動(dòng)軸或動(dòng)區(qū)間】對(duì)于二次函數(shù)，在（m，n為參數(shù)）條件下，函數(shù)的最值需要分別討論m，n與的大?。纠?】（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考二模）已知拋物線，若時(shí)，拋物線上一點(diǎn)滿足：當(dāng)時(shí)，，則m的值是（

）A．0 B． C．0或 D．0或4【答案】A【分析】由拋物線圖像與性質(zhì)得到對(duì)稱軸為，根據(jù)，確定對(duì)稱軸，從而當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在這個(gè)范圍內(nèi)，到對(duì)稱軸距離，到對(duì)稱軸距離，由拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，，得出拋物線在時(shí)有最小值為，即；在時(shí)有最大值為，即，聯(lián)立方程組求解即可得到（舍）或．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為，若時(shí)，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在這個(gè)范圍內(nèi)，到對(duì)稱軸距離，到對(duì)稱軸距離，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，，拋物線在時(shí)有最小值為，即；在時(shí)有最大值為，即，聯(lián)立方程組，即，解得或，，舍去，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)最值列出方程組求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最大值為，則a的值為（

）A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6【答案】A【分析】根據(jù)題意易得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可進(jìn)行求解．【詳解】解:由二次函數(shù)可知對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下∴當(dāng)時(shí)，y有最大值1；∵當(dāng)時(shí)，y的最大值為∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在上y隨x的增大而減小，即當(dāng)時(shí)，有最大值；則有，解得或（不符合題意，舍去)；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在上y隨x的增大而增大,即當(dāng)時(shí)，有最大值；則有，解得:或（不符合題意，舍去)；綜上所述:a的值為或6；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考三模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，則m的值是．【答案】或【分析】將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，分和兩種情況分析即可．【詳解】故該拋物線的對(duì)稱軸為直線當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，且時(shí)，函數(shù)的最大值為即時(shí)，代入求得當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，且時(shí)，函數(shù)的最大值為即時(shí)，代入求得∴的值為或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為．（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為6，則的值為．【答案】18或【分析】（1）將代入，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸，再分情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1，故答案為：1；（2）解：，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，有最大值為6，，解得：；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值為6，，解得：，，（不合題意，舍去），③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大值為6，，解得：，綜上所述，的值為8或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)的定軸動(dòng)區(qū)間求最值問(wèn)題】【例3】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，下列說(shuō)法項(xiàng)正確的是（

）A．若，函數(shù)有最大值5 B．若，函數(shù)有最小值5C．若，函數(shù)有最小值1 D．若，函數(shù)無(wú)最大值【答案】C【分析】根據(jù)題意可得該函數(shù)的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，然后根據(jù)，尋找相應(yīng)的最大值和最小值即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，函數(shù)圖像開(kāi)口向上，∵∴當(dāng)時(shí)，無(wú)法確定最大值，即A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值1，即B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值1，即C選項(xiàng)符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最大值5，即D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是8，最小值是，則的值可能是（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，當(dāng)時(shí)，取得最小值是，判定；，得到，確定，判定即可．【詳解】∵，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值是，∴；∵，解得，，當(dāng)時(shí)，取得最大值是8，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的最值，正確理解最值的意義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽阜陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)．（1）該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線．（2）當(dāng)時(shí)，若y的最大值與最小值之差為8，則m的值為．【答案】3【分析】（1）將坐標(biāo)代入二次函數(shù)，求得解析式，再通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得對(duì)稱軸；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可知，，故當(dāng)時(shí)，y取最小值，當(dāng)時(shí)，y取最大值，代入求解方程即可．【詳解】（1）解：把代入可得，解得，二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，故答案為：．（2）解：當(dāng)時(shí)，y取到最小值為，y的最大值與最小值之差為8，，故當(dāng)時(shí)，y取最小值，當(dāng)時(shí)，y取最大值，可得方程，解得或（舍）．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)，當(dāng)，y的最小值是，最大值是，則．【答案】【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法可以求得m、n的值，然后即可求出的值．【詳解】解：∵，∴，∵二次函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值，即，解得（不合題意，舍去），（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最小值，時(shí)取得最大值或時(shí)，取得最小值，時(shí)取得最大值，即，或，，解得，或（不合題意，舍去）；，（不合題意，舍去），由上可得，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的增減性質(zhì)解答．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)的面積與最值問(wèn)題】【例4】（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)，，，均在函數(shù)l圖象上，P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)E，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5【答案】B【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而可判定，均在直線上，設(shè)，則，，用p表示出的面積，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為：，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴在直線上，當(dāng)時(shí)，，∴在直線上，設(shè)，則，，∴，∴當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是求出一次函數(shù)解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西宜春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P（m，n）從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)后，再沿對(duì)稱軸向下運(yùn)動(dòng)，給出下列說(shuō)法：①a=﹣1；②拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1；③當(dāng)點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，n=1；④在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)的過(guò)程中，當(dāng)m=?時(shí)，△PAC的面積最大．其中，所有正確的說(shuō)法是（

）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④【答案】D【分析】把點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式，確定a值；根據(jù)解析式確定對(duì)稱軸；利用軸對(duì)稱確定P的坐標(biāo)，先確定直線AC的解析式，根據(jù)x=-1計(jì)算函數(shù)值n，對(duì)比判斷即可；過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)D，利用拋物線內(nèi)接三角形性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)判斷最值．【詳解】因?yàn)閽佄锞€y＝a（x+3）（x﹣1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），所以-3a=3，解得a=-1，故①正確；所以拋物線的解析式為y=，所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，故②正確；顯然當(dāng)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)有最小值，因?yàn)锳、B是對(duì)稱點(diǎn)，連接AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)的點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)有最小值，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，所以，解得，所以直線AC的解析式為y=x+3，當(dāng)x=-1時(shí)，y=2即n=2，故③錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n），拋物線解析式為，直線AC的解析式為y=x+3，所以P（m，），點(diǎn)D（m，m+3），所以PD=，所以△PAC的面積為=，故當(dāng)m=?時(shí)，△PAC的面積最大．故④正確故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的解析式確定，拋物線的最值，拋物線的對(duì)稱性，線段和的最小值，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用線段和最值的原理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別位于正方形的四條邊上，四邊形也是正方形，當(dāng)正方形的面積最小時(shí)，的度數(shù)是．

【答案】【分析】首先證明，則；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，，則，則有，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是正方形，四邊形也是正方形，∴，，∴，∵，∴，在與中，∴，∴；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，正方形的面積有最小值，此時(shí)，∴，∴∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，已知、為兩條定長(zhǎng)的線段，，，，點(diǎn)A、C分別為線段，上的點(diǎn)（點(diǎn)C可與點(diǎn)P重合），、，若，則四邊形面積的最大值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，易得四邊形為矩形，為等腰直角三角形，從而得到，由，可得，即，設(shè)，則四邊形的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而增大，再結(jié)合，可知當(dāng)時(shí)，S取得最大值，．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，如圖所示：

∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則四邊形的面積為：，∵，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，求二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題．【經(jīng)典例題五二次函數(shù)的兩個(gè)圖形面積最值問(wèn)題】【例5】（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線第四象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．①如圖1，記面積為面積為，求的面積最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．②如圖2，若將沿直線翻折得到，且點(diǎn)落在線段上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）①連接，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是，由得到，待定系數(shù)法求出直線為，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②先證明四邊形是菱形，過(guò)點(diǎn)作軸交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，再證明，則，求出表達(dá)式為，與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立，進(jìn)一步即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，，解得：，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，（2）①連接，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，，，設(shè)直線為，將點(diǎn)、代入得，解得，則直線為，

過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，∴，，當(dāng)有最大值為，此時(shí)，∴，②∵將沿直線翻折得到，且點(diǎn)落在線段上，∴，，，∴，，四邊形是菱形，，，過(guò)點(diǎn)作軸交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，

∴，∴，∵，，，設(shè)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，，∴表達(dá)式為，，，（舍），，當(dāng)時(shí)，，【點(diǎn)睛】此二次函數(shù)和幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法、菱形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)和二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題、全等三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽合肥·?？既＃┠郴ㄆ曰赜?jì)劃將如圖所示的一塊長(zhǎng)，寬的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動(dòng)區(qū)，其余空地為花卉種植區(qū)，分別種植，，三種花卉．活動(dòng)區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長(zhǎng)是．，，三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是百元、百元、百元．

(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為，用含的代數(shù)式表花卉的種植面積是__________(2)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，，兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉與的種植面積之和不超過(guò)，求，，三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值．【答案】(1)(2)(3)百元【分析】（1）根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可直接得到答案；（2）根據(jù)，兩種花卉的總產(chǎn)值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根據(jù)花卉與的種植面積之和不超過(guò)建立不等式，得到，再設(shè)，，三種花卉的總產(chǎn)值之和百元，得到關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖形性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：∵育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為，活動(dòng)區(qū)的邊長(zhǎng)為，∴花卉的面積為：，故答案為：；（2）由（1）知：花卉的面積為：，花卉的面積為：，∵，花卉每平方米的產(chǎn)值分別是百元、百元，∴，兩種花卉的總產(chǎn)值分別為百元和百元，∵，兩種花卉的總產(chǎn)值相等，∴解得：（舍去），，∴當(dāng)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為時(shí)，，兩種花卉的總產(chǎn)值相等；（3）根據(jù)題意得：，解得：，設(shè)，，三種花卉的總產(chǎn)值之和百元，∴，整理，得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增加而減小，∴當(dāng)時(shí)，最大，且（百元），∴，，三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值是百元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，正方形和長(zhǎng)方形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程和函數(shù)表達(dá)式．2．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線（a、b為常數(shù)，）與x軸相交于另一點(diǎn)．在第一象限內(nèi)與直線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得？若存在，求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，點(diǎn)E是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是直線OB下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，EF與直線OB交于點(diǎn)G．設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）先求得點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分點(diǎn)D在直線下方、上方兩種情況，分別求解即可；（3）如圖，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)M，N，則，，設(shè)，可表達(dá)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)以及原點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵拋物線，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為：，則將，代入得，，解得，∴直線的解析式為：．①當(dāng)點(diǎn)D在直線的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作軸，交x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)，交于G，設(shè)交x軸于點(diǎn)E，如圖，

∵，∴，即，，∵，∴，∴，∴．在中，當(dāng)時(shí)，，得：，∴，則，∴，同理求得直線的解析式為：，聯(lián)立：，解得或（舍去），∴；②當(dāng)點(diǎn)D在直線的上方時(shí)，

∵，∴，∵直線的解析式為：，∴直線的解析式為：，聯(lián)立：，解得：或（舍去），∴．綜上，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或時(shí)，使得；（3）解：∵點(diǎn)與點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，∴，如圖，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)M，N，

∴，，設(shè)，則，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積和全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵正確表達(dá)兩個(gè)三角形面積的比．3（2023·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┪覀兗s定：圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)．

(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的有________（填序號(hào)）；①；②；③；④．(2)已知二次函數(shù)（為常數(shù)）是偶函數(shù)，將此偶函數(shù)向下平移得到新的二次函數(shù)，新函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，若以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求平移后新函數(shù)的解析式；(3)如圖，已知偶函數(shù)（）經(jīng)過(guò)，，過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)分別作軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，分別用，，表示，，的面積，若．①證明：；

②求直線的解析式．【答案】(1)②③(2)(3)①見(jiàn)解析；②或【分析】（1）根據(jù)題目中偶函數(shù)的定義即可求出答案．（2）根據(jù)偶函數(shù)的特性即可得出原二次函數(shù)，再利用平移性質(zhì)設(shè)新二次函數(shù)，根據(jù)已知條件“新函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)”即求得，，，結(jié)合“以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且和是對(duì)稱點(diǎn)”可發(fā)現(xiàn)圓心到點(diǎn)的距離等于圓心到點(diǎn)的距離，即求出值，從而求出新的二次函數(shù)的解析式．（3）①根據(jù)偶函數(shù)的特性以及經(jīng)過(guò)，即可得出原二次函數(shù)，再根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)，可設(shè)、、的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出最后將、、的坐標(biāo)表示三個(gè)三角形面積即可求出答案；②利用即可求出，從而求出值，最后求出一次函數(shù)的解析式．【詳解】（1）解：圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，和關(guān)于軸對(duì)稱，和為偶函數(shù)，故答案為：②③．（2）解：二次函數(shù)（為常數(shù)）是偶函數(shù)，，解得：，二次函數(shù)解析式為：，拋物線向下平移，平移得到新的二次函數(shù)為，由題意知，新函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，，，，以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且和是對(duì)稱點(diǎn)，軸經(jīng)過(guò)以為直徑的圓的圓心，圓心到點(diǎn)的距離等于圓心到點(diǎn)的距離，，即．平移后新函數(shù)的解析式為：．故答案為：．（3）解：①偶函數(shù)經(jīng)過(guò)，，，即，，解得：，，設(shè)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：，將代入，得：，即，設(shè)，，則，，，，用，，表示，，的面積，∴，，，，又，，即．②，，即，即，過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)與軸交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)，二次函數(shù)和面積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)的線段最值問(wèn)題】【例6】（2023春·福建福州·八年級(jí)福建省福州楊橋中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€和直線，且．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)試說(shuō)明拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)已知點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)的最大值為6【分析】（1）化為頂點(diǎn)式即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由拋物線和直線得：，整理得，，即可知拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）由（2）可得：拋物線與直線交于和兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．故分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1，當(dāng)時(shí)；②如圖2，當(dāng)時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的最大值即可．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：由和可得：，，，∵，∴，，∴拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．（3）解：由（2）可得：拋物線與直線交于和兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，①如圖1，

當(dāng)時(shí)，，∵，當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為．∵，∴，即的最大值為；②如圖2，

當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為，∵，∴，即的最大值為6．綜上所述，的最大值為6．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，（1）（2）題相對(duì)簡(jiǎn)單，（3）題要分情況進(jìn)行討論并解答，因此做此類題型，在進(jìn)行分類討論時(shí)，盡量通過(guò)大致圖象數(shù)型結(jié)合進(jìn)行解答．【變式訓(xùn)練】1．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接，點(diǎn)P在線段下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，連接，，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)H，求周長(zhǎng)的最大值．(3)如圖3，直線，分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)或；(2)最大值為；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，定值為8．【分析】（1）如圖，作軸，交直線于點(diǎn)D，由，得，，待定系數(shù)法確定直線解析式為，設(shè)，則，，得，解得或3，于是或．（2）如圖，可證得是等腰直角三角形，，周長(zhǎng)，同（1），設(shè)，周長(zhǎng)，得當(dāng)時(shí)，最大值為．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值．如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)I，同（1），令，則，可證，得，同理，，得，于是．【詳解】（1）解：如圖，作軸，交直線于點(diǎn)D，

由，時(shí)，，得，，則，解得或，得,設(shè)直線解析式為，則，解得∴設(shè)，則，∴，解得，或3，或∴或．（2）解：如圖，，∴∵軸∴∴∴∴周長(zhǎng)同（1），設(shè)，則，∴周長(zhǎng)∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段下方的拋物線上，此時(shí)周長(zhǎng)有最大值，最大值為．

（3）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值．如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)I，同（1），令，則∵，∴∴∴同理，，得∴∴．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，相似三角形判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求的面積；(2)點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，求線段的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線平移個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)，將沿直線平移得到（不與重合），若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．【答案】(1)18(2)，此時(shí)(3)或或【分析】（1）分別令和解方程可得點(diǎn)、、的坐標(biāo)，再用三角形面積公式求出面積即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想找到和的數(shù)量關(guān)系，求最大值轉(zhuǎn)化為求最大值問(wèn)題，利用配方法求最值即可；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把圖象的平移轉(zhuǎn)化為水平和左右平移，則向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得出新拋物線解析式，求出兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立關(guān)于的方程求解，即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，，，，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

，，，，∵軸，，，，則當(dāng)最大時(shí)，也最大，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，最大，則，線段的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3），將拋物線沿射線平移個(gè)單位得到新拋物線，即原拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，原拋物線，新拋物線，令，解得，，設(shè)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則，，，，，，①當(dāng)時(shí)，，（舍去）或，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)最值，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）函數(shù)（為常數(shù)，）．

(1)求出此函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含的式子表示）；(2)當(dāng)時(shí)，此函數(shù)圖像交軸于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸下方圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交線段于點(diǎn)，求線段的最大值；(3)點(diǎn)，連接，當(dāng)此函數(shù)圖像與線段恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求出a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用一般式頂點(diǎn)坐標(biāo)公式代值求解即可得到答案；（2）根據(jù)題意，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的表達(dá)式，利用兩點(diǎn)之間距離公式表示出線段，再結(jié)合二次函數(shù)最值求解即可得到答案；（3）根據(jù)題意，分兩種情況討論，數(shù)形結(jié)合列出不等式組，再根據(jù)函數(shù)圖像與線段恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的意義即可得到取值范圍．【詳解】（1）解：（為常數(shù)，），函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，解得或，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，設(shè)直線表達(dá)式為，則，解得，，點(diǎn)為軸下方圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交線段于點(diǎn)，設(shè)，則，，，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為；∴的最大值為．（3）解：點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，連接后，軸，根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，如圖所示：

，解得，函數(shù)圖像與線段恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，則，即，此種情況不存在；②當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，如圖所示：

，解得，函數(shù)圖像與線段恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，則，即，；綜上所述，當(dāng)此函數(shù)圖像與線段恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及求頂點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)最值及圖像與線段交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握二次函數(shù)常見(jiàn)題型的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七二次函數(shù)的最值綜合問(wèn)題】【例7】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，拋物線（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，和．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若直線與x軸交于點(diǎn)N，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)M，當(dāng)有最大值時(shí)，求出拋物線上點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為拋物線（））的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，Q為平移后拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下求得的點(diǎn)M，是否能與A，P，Q構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)，或，或，【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的表達(dá)式；（2）由“直線與軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)”，可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出，的值，代入中，可得出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出m，代入可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）利用平移的性質(zhì)，可得出平移后拋物線的表達(dá)式為，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)存在以，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，分為對(duì)角線、為對(duì)角線及為對(duì)角線三種情況考慮，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之可得出值，再將其代入點(diǎn)的坐標(biāo)中，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將，，代入得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為；（2）直線與軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，且，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)；（3），拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的表達(dá)式為．當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．假設(shè)存在以，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線，互相平分，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線，互相平分，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線，互相平分，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上所述，存在以，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最大值；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分），找出關(guān)于的一元一次方程．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線下方拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及面積最大值．(3)若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，表示出，即可求出最大值；（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，以、、、點(diǎn)的平行四邊形，，根據(jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可以分以為對(duì)角線時(shí)，以為對(duì)角線時(shí)，以為對(duì)角線時(shí)三種情況討論，分別計(jì)算出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，將，代入得，，解得：，拋物線的解析式為；（2）（2）如圖1：過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，

在拋物線上，，，直線經(jīng)過(guò)，，設(shè)直線的表達(dá)式為，，解得：，直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；（3）答：存在.解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，以、、、點(diǎn)的平行四邊形，，，根據(jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可以分三種情況來(lái)討論：①如圖：以為對(duì)角線時(shí)，，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，②如圖：以為對(duì)角線時(shí)，，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，③如圖：以為對(duì)角線時(shí)，，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像和最值，二次函數(shù)和平行四邊形綜合題中存在性問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)和平行四邊形性質(zhì)的靈活運(yùn)用．2．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；（3）過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設(shè)（），，解得：，，，，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，連接，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，，，，，，解得：，；設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過(guò)，直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，

；綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·一模）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中，連結(jié)．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線和直線的夾角為，求線段的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值，直接寫(xiě)出n的取值范圍．【答案】(1)點(diǎn)；(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)題意，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)是等腰直角三角形，直線和直線的夾角為，推出或，進(jìn)行分類討論即可解答；（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象以及函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值得出結(jié)論；【詳解】（1）∵對(duì)稱軸為直線，∴，，∵拋物線與y軸交于C點(diǎn)，代入得：，∴拋物線的解析式為，由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)；（2），是等腰直角三角形，則，∵直線和直線的夾角為，或，在中，，，當(dāng)時(shí)，如圖1所示：∵，則，則；當(dāng)時(shí)，如圖2所示：，，∴的長(zhǎng)度為或；（3）當(dāng)和在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，此時(shí)，拋物線在時(shí)，取得最小值，當(dāng)和關(guān)于對(duì)稱時(shí)，最大值相等且為定值，即時(shí)，y的值為最大值，此時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值，此時(shí)，即，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，方程組的解法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)以及分類討論；本題綜合性強(qiáng)，注意分類討論；解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，且時(shí)，取到最大值，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線的解析式求得拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即，即可選出最后答案．【詳解】解：函數(shù)中，拋物線開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸直線為，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，當(dāng)時(shí)，，取到最大值，，即，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，找到對(duì)稱軸確定二次函數(shù)的最值是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是8，最小值是，則的值可能是（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，當(dāng)時(shí)，取得最小值是，判定；，得到，確定，判定即可．【詳解】∵，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值是，∴；∵，解得，，當(dāng)時(shí)，取得最大值是8，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的最值，正確理解最值的意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知拋物線，該拋物線經(jīng)過(guò)平移得到新拋物線，新拋物線與x軸正半軸交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到2之間，若點(diǎn)，在拋物線的圖象上，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)平移后解析式為，由新拋物線與x軸正半軸交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到2之間得，由點(diǎn)，在拋物線的圖象上可得，，最后表示出的長(zhǎng)度求范圍即可．【詳解】∵拋物線，該拋物線經(jīng)過(guò)平移得到新拋物線，∴平移后解析式為，∵新拋物線與x軸正半軸交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到2之間，∴，∵點(diǎn)，在拋物線的圖象上∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，當(dāng)或時(shí)，最大，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的平移，表示出是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)期末）已知，且，令，則函數(shù)S的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出與的關(guān)系式，然后將二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可解答．【詳解】解：，，當(dāng)時(shí)，有最小值，等于，，當(dāng)時(shí)，有最大值，等于1，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，求出與的關(guān)系式，并將二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)在x的一定取值范圍內(nèi)有最大值為0，最小值為，滿足條件的x的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，求出當(dāng)時(shí)，y有最小值；進(jìn)一步求出當(dāng)時(shí)，，由此即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，∴，∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y有最小值；當(dāng)時(shí)，∴，解得（負(fù)值舍去），∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，t隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，t隨x增大而增大，∴若函數(shù)在x的一定取值范圍內(nèi)有最大值為0，最小值為，滿足條件的x的取值范圍是，∴當(dāng)可以滿足題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，正確求出當(dāng)時(shí)，y有最小值；求出當(dāng)時(shí)，是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最小值為，則a的值為（

）A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4【答案】B【分析】根據(jù)題意易得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性可進(jìn)行求解．【詳解】解：由二次函數(shù)可知對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向上；∵當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，y有最小值1，即，所以；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在上y隨x的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，有最小值；則有，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在上y隨x的增大而減小，即當(dāng)時(shí)，有最小值；則有，解得：（不符合題意，舍去）；綜上所述：a的值為0或4；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江金華·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)，（a，b是實(shí)數(shù)，）的最小值分別為m和n，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則，【答案】B【分析】分別求出，，由題意可得，且，即可得，從而求出．【詳解】解：函數(shù)和函數(shù)的最小值分別為和，，，當(dāng)，，，或，函數(shù)和函數(shù)都有最小值，，，，．同理判斷及其他選項(xiàng)，可知其他選項(xiàng)都不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)對(duì)稱軸、最大（?。┲档那蠓ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，矩形中，已知，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為直角邊在與點(diǎn)的同側(cè)作等腰直角，連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值是()A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖作交的延長(zhǎng)線于，于，交于．則．設(shè)由，推出，在中，勾股定理求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖作交的延長(zhǎng)線于，于，交于．則．設(shè)，，，，，，，在中，時(shí)，有最大值，最大值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題．9．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）二次函數(shù)的最小值是______，最大值是______．【答案】1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，在范圍內(nèi)求出最值即可得到答案．【詳解】解：，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，，即二次函數(shù)的最小值是；到的距離為；到的距離為，當(dāng)時(shí)，代入得，即二次函數(shù)的最大值是；時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)最值求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值y大于0，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】首先得到二次函數(shù)開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和，分，和在區(qū)間三種情況討論，分別列出不等式求解即可．將代入函數(shù)的解析式，令即可求得的取值范圍．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象是一條開(kāi)口向上的拋物線，①當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，即，要使二次函數(shù)解析式的值時(shí)恒大于0，只要，，解得：，∴；②當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，即時(shí)，要使二次函數(shù)解析式的值時(shí)恒大于0，只要即可；③當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間時(shí)，，，，綜上所述：的取值范圍是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，利用的墻角修建一個(gè)四邊形的花壇，使得，，如果新建圍墻折線總長(zhǎng)15米，那么當(dāng)_______米時(shí)，花壇的面積會(huì)達(dá)到最大．【答案】5【分析】過(guò)點(diǎn)A作于E，則四邊形為矩形，再證明是等腰直角三角形，得出，則，然后根據(jù)梯形的面積公式即可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作于E，則四邊形為矩形，，則，設(shè)，在中，又∵，∴，∴，∴，∴梯形面積，，∵，拋物線開(kāi)口向下，∴S有最大值，∴當(dāng)時(shí)，．也就是當(dāng)CD長(zhǎng)為時(shí)，才能使儲(chǔ)料場(chǎng)的面積最大，故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的運(yùn)用，利用梯形的面積建立二次函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．11．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(為常數(shù))，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，對(duì)任意的和，總滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【分析】由時(shí)，隨的增大而增大，可得，即；又由二次函數(shù)的增減性可知，時(shí)，時(shí)，；根據(jù)，建立不等式，并求出的取值范圍，即可得出結(jié)論．【詳解】解：有題意可得，拋物線開(kāi)口向上，∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∴對(duì)稱軸，即；∵，∴當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，∵，∴，解得，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及二次函數(shù)最值問(wèn)題，弄清楚二次函數(shù)的增減性與二次函數(shù)的最值何時(shí)取到是解題基礎(chǔ)．12．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則代數(shù)式的最小值為_(kāi)_____．【答案】1【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得，，再利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，∴，則，∴，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，∴，即，且，∴∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值是解答的關(guān)鍵．13．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、、三點(diǎn)，點(diǎn)是其頂點(diǎn)，若點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【分析】先求出，，如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，則，然后證明當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴；∵拋物線解析式為，∴；如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，則，∴，∴，∴當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為，∴的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，正確作出輔助線確定當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知拋物線，，是常數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列結(jié)論：①：②關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；④為任意實(shí)數(shù)，若，則代數(shù)式的最小值是．其中正確的是________(填寫(xiě)序號(hào))．【答案】①②④【分析】將點(diǎn)代入解析式得出，即可判斷①，進(jìn)而計(jì)算，即可判斷②，根據(jù)題意，得出對(duì)稱軸為，即可判斷③，根據(jù)題意求得對(duì)稱軸進(jìn)而得出函數(shù)的最小值，即可判斷④【詳解】解：將點(diǎn)代入，得，∴，∵，∴，故①正確，∵，∵，∴，故②正確，∵，則，∴對(duì)稱軸為，即對(duì)稱軸為直線，故③不正確；∵，∴，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵，∴的最小值為∴代數(shù)式的最小值是．故④正確，故正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·四川成都·校考三模）定義：將函數(shù)的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的函數(shù)的圖象，我們稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)的最大值為8，則m的值為_(kāi)_____．【答案】或【分析】先求出該函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題目所給新定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出其相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式，最后根據(jù)對(duì)稱軸的不同位置，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解：∵，，∴該函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，解得：，，∴設(shè)該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)為；①當(dāng)時(shí)，，∵，開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，，解得：，（舍）；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，，解得：（舍），（舍），③當(dāng)時(shí)，，∵，開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，，解得：（舍），（舍）；綜上：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)他題意得出該函數(shù)以及其相對(duì)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)連線中點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱軸的不同位置進(jìn)行分類討論．16．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1時(shí)，b的取值范圍是______；（2）當(dāng)點(diǎn)M到直線的距離不大于時(shí)，b的取值范圍是，則的值為_(kāi)_____．【答案】/0或5/5或0【分析】（1）先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線，根據(jù)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1，得出，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，求出b的取值范圍即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離不大于，得出，即，從而得出，然后根據(jù)，求出a的范圍，即可得出．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離不大于1，∴，∴此時(shí)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)，∵，∴在對(duì)稱軸的左側(cè)隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，b取最大值，且最大值為，當(dāng)時(shí)，b取最小值，且最小值為，∴b的取值范圍是；故答案為：；（2）∵點(diǎn)到直線的距離不大于，∴，即，∴，令，代入，即，解得：，，令，代入，即，解得：，，∴點(diǎn)M應(yīng)為或上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可