遼寧沈陽(yáng)市第31中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

遼寧沈陽(yáng)市第31中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列中，，則（）A. B.C. D.2．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.413．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則的值為（）A.3 B.C. D.4．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.5．直線(xiàn)的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.6．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.7．若離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個(gè)值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.108．已知為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)P到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，則（）A.1 B.C.2 D.39．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.410．定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差．設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4，，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（）A. B.3C. D.611．若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.12．已知長(zhǎng)方體的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，長(zhǎng)方體的高為，則與對(duì)角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.14．已知圓，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)的方程是___________15．已知雙曲線(xiàn)，則圓的圓心C到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)_____16．直線(xiàn)與直線(xiàn)間的距離為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上.（1）求；（2）過(guò)點(diǎn)向軸作垂線(xiàn)，垂足為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，證明：為直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.18．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為（1）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，，成等差數(shù)列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數(shù)m，n，p，使得，，成等差數(shù)列；（3）若存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，…，在刪去以后按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列，求所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合，19．（12分）已知函數(shù).（1）若與在處有相同的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的取值；（2）若時(shí)，方程在上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求面積的最大值21．（12分）已知幾何體中，平面平面，是邊長(zhǎng)為4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值22．（10分）已知對(duì)于，函數(shù)有意義，關(guān)于k的不等式成立.（1）若為假命題，求k的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由數(shù)列的遞推公式依次去求，直到求出即可.【詳解】由，可得，，，故選：D.2、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.3、B【解析】根據(jù)題意，依次求出，觀察規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列的周期，然后通過(guò)周期性求得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，，所以，所以，，，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B4、B【解析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依次分析即得解【詳解】選項(xiàng)A，，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，正確；選項(xiàng)C，，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，錯(cuò)誤故選：B5、B【解析】由直線(xiàn)方程,可知直線(xiàn)的斜率，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，又，所以，故選6、C【解析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí),;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),.因?yàn)榭苫癁榛?，解得?<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C7、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因?yàn)?，所以故選：D8、B【解析】先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的定義和已知條件列方程求解即可【詳解】因?yàn)闉閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)，所以，得，所以，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)P到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，故選：B9、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以故選：A10、C【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭欠焦顬?的等方差數(shù)列，所以，，∴，∴，∴，故選：C11、C【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.12、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，∴，，，因?yàn)?，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對(duì)角面所成角的正弦值為故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線(xiàn)垂直的充要條件列式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，解得故答案為：14、【解析】設(shè)，利用以為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)即為經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于AC的直線(xiàn)求得直線(xiàn)斜率，由點(diǎn)斜式可求得直線(xiàn)方程【詳解】圓的方程可化為，可知圓心為設(shè)，則以為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)即為經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)．又知，所以，所以直線(xiàn)的方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓的幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)方程求解，是基礎(chǔ)題15、2【解析】求出圓心和雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即.所以圓心到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離為.故答案為：216、【解析】利用平行間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線(xiàn)間的距離公式可知，直線(xiàn)、間的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）點(diǎn)代入即可得出拋物線(xiàn)方程，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義即可求得.（2）由題，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可得，利用韋達(dá)定理證得即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)在拋物線(xiàn)上.，則，所以.【小問(wèn)2詳解】證明：由題，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，點(diǎn)聯(lián)立方程，消得：，由韋達(dá)定理有，由，所以，所以，所以，所以為直角三角形.18、（1）（2）,證明見(jiàn)解析.（3）不存在，【解析】（1）數(shù)列為首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果；（2），，成等差數(shù)列，則+=2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可解得，進(jìn)而計(jì)算可得，即可判斷結(jié)果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，解方程組可得無(wú)解，則所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合為.【小問(wèn)1詳解】，，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，數(shù)列為，數(shù)列為首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)2詳解】，，成等差數(shù)列，+=2，當(dāng)時(shí),+=,2,不符題意舍去，當(dāng)時(shí)，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，，，.【小問(wèn)3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來(lái)的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，,即，解得：方程組無(wú)解.即符合條件的不存在，所有數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合為.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在處的切線(xiàn)方程，再由有相同的切線(xiàn)這一條件即可求解；（2）先分離，再研究函數(shù)的單調(diào)性，最后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公切線(xiàn)與的圖像切于點(diǎn)，f'(x)=1+lnx?f由題意得：；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，①，①式可化為為，令令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，當(dāng)時(shí)，由題意知：20、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓半焦距c，長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)a，b即可得解.(2)設(shè)出直線(xiàn)的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦AB長(zhǎng)及點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離，然后求出面積的表達(dá)式并求其最大值即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線(xiàn)，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，因此，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積最大值為1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線(xiàn)l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；直線(xiàn)l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理、線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，∵平面，∴（2）解：取的中點(diǎn)，連接，∵是邊長(zhǎng)為4的菱形，，∴，，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴，同理可得，平面的一個(gè)法向量為，∴，由圖知，平面與平面所成角為銳角，故平面與平面所成角余弦值為22、（1）（2）【解析】（1）由與的真假相反，得出為真命題，將定義域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題，討論參