遼寧沈陽市第31中學2025屆高二上數學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

遼寧沈陽市第31中學2025屆高二上數學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列中，，則（）A. B.C. D.2．記等差數列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.413．已知數列滿足，且，則的值為（）A.3 B.C. D.4．下列導數運算正確的是（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.6．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.7．若離散型隨機變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.108．已知為拋物線上一點，點P到拋物線C的焦點的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，則（）A.1 B.C.2 D.39．設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.410．定義“等方差數列”：如果一個數列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫作等方差數列，這個常數叫作該數列的方公差．設是由正數組成的等方差數列，且方公差為4，，則數列的前24項和為（）A. B.3C. D.611．若展開式的二項式系數之和為，則展開式的常數項為（）A. B.C. D.12．已知長方體的底面ABCD是邊長為4的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線垂直，則實數的值為___________.14．已知圓，以點為中點的弦所在的直線的方程是___________15．已知雙曲線，則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為______16．直線與直線間的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點，點在拋物線上.（1）求；（2）過點向軸作垂線，垂足為，過點的直線與拋物線交于兩點，證明：為直角三角形（為坐標原點）.18．（12分）設數列是公比為q的等比數列，其前n項和為（1）若，，求數列的前n項和；（2）若，，成等差數列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數m，n，p，使得，，成等差數列；（3）若存在正整數，使得數列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數列是等差數列，求所有數對所構成的集合，19．（12分）已知函數.（1）若與在處有相同的切線，求實數的取值；（2）若時，方程在上有兩個不同的根，求實數的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的焦點為，且長軸長是焦距的倍（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點，已知點，求面積的最大值21．（12分）已知幾何體中，平面平面，是邊長為4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值22．（10分）已知對于，函數有意義，關于k的不等式成立.（1）若為假命題，求k的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由數列的遞推公式依次去求，直到求出即可.【詳解】由，可得，，，故選：D.2、A【解析】設等差數列的公差為d，首先根據題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設等差數列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.3、B【解析】根據題意，依次求出，觀察規(guī)律，進而求出數列的周期，然后通過周期性求得答案.【詳解】因為數列滿足，，所以，所以，，，可知數列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B4、B【解析】利用基本初等函數的導數和復合函數的導數，依次分析即得解【詳解】選項A，，錯誤；選項B，，正確；選項C，，錯誤；選項D，，錯誤故選：B5、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選6、C【解析】先由圖像分析出的正負，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數的圖象可知,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間(0,2)上單調遞增，即當時,;當x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C7、D【解析】根據分布列即可求出【詳解】因為，所以故選：D8、B【解析】先求出點的坐標，然后根據拋物線的定義和已知條件列方程求解即可【詳解】因為為拋物線上一點，所以，得，所以，拋物線的焦點為，因為點P到拋物線C的焦點的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，所以，化簡得，因為，所以，故選：B9、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以故選：A10、C【解析】根據等方差數列的定義，結合等差數列的通項公式，運用裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為是方公差為4的等方差數列，所以，，∴，∴，∴，故選：C11、C【解析】利用二項式系數的性質求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數項為.故選：C.12、C【解析】建立空間直角坐標系，結合空間向量的夾角坐標公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標系∵底面是邊長為4的正方形，，∴，，，因為,，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線垂直的充要條件列式計算即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，解得故答案為：14、【解析】設，利用以為中點的弦所在的直線即為經過點且垂直于AC的直線求得直線斜率，由點斜式可求得直線方程【詳解】圓的方程可化為，可知圓心為設，則以為中點的弦所在的直線即為經過點且垂直于的直線．又知，所以，所以直線的方程為，即故答案為：【點睛】本題考查圓的幾何性質，考查直線方程求解，是基礎題15、2【解析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程，即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心為，雙曲線的漸近線方程為，即.所以圓心到雙曲線漸近線的距離為.故答案為：216、【解析】利用平行間的距離公式可求得結果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）點代入即可得出拋物線方程，根據拋物線的定義即可求得.（2）由題，設直線的方程為：，與拋物線方程聯立，可得，利用韋達定理證得即可得出結論.【小問1詳解】點在拋物線上.，則，所以.【小問2詳解】證明：由題，設直線的方程為：，點聯立方程，消得：，由韋達定理有，由，所以，所以，所以，所以為直角三角形.18、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數列為首項為公差為的等差數列，利用等差數列的求和公式即可得出結果；（2），，成等差數列，則+=2，根據等比數列求和公式計算可解得，進而計算可得，即可判斷結果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數列是等差數列,則，解方程組可得無解，則所有數對所構成的集合為.【小問1詳解】，，數列是公比為q的等比數列，，數列為，數列為首項為公差為的等差數列，數列的前n項和.【小問2詳解】，，成等差數列，+=2，當時,+=,2,不符題意舍去，當時，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數，使得，，成等差數列，，，.【小問3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數列是等差數列,則，,即，解得：方程組無解.即符合條件的不存在，所有數對所構成的集合為.19、（1）（2）【解析】（1）根據導數的幾何意義求得函數在處的切線方程，再由有相同的切線這一條件即可求解；（2）先分離，再研究函數的單調性，最后運用數形結合的思想求解即可.【小問1詳解】設公切線與的圖像切于點，f'(x)=1+lnx?f由題意得：；【小問2詳解】當時，，①，①式可化為為，令令，，在上單調遞增，在上單調遞減.，當時，由題意知：20、（1）；（2）1.【解析】(1)根據給定條件求出橢圓半焦距c，長短半軸長a，b即可得解.(2)設出直線的方程，再與橢圓C的方程聯立，求出弦AB長及點P到直線的距離，然后求出面積的表達式并求其最大值即得.【小問1詳解】設橢圓的標準方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】依題意，設直線，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點到直線的距離為，因此，的面積，當且僅當，即時取“=”，所以面積最大值為1.【點睛】結論點睛：直線l：y=kx+b上兩點間的距離；直線l：x=my+t上兩點間的距離.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據菱形的性質，結合面面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理和性質進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，根據空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）證明：連接，交于點，∵四邊形是菱形，∴，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，∵平面，∴（2）解：取的中點，連接，∵是邊長為4的菱形，，∴，，以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，設平面的法向量為，則，即，令，則，，∴，同理可得，平面的一個法向量為，∴，由圖知，平面與平面所成角為銳角，故平面與平面所成角余弦值為22、（1）（2）【解析】（1）由與的真假相反，得出為真命題，將定義域問題轉化為不等式的恒成立問題，討論參