江蘇省蘇州市相城區(qū)南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

江蘇省蘇州市相城區(qū)南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.2．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.3．拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.4．已知過點(diǎn)的直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．設(shè)數(shù)列、都是等差數(shù)列，若，則等于（）A. B.C. D.6．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.7．命題；命題．則A.“或”為假 B.“且”為真C.真假 D.假真8．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則點(diǎn)P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.9．運(yùn)行如圖所示程序后，輸出的結(jié)果為（）A.15 B.17C.19 D.2110．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.911．已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則拋物線的方程是（）A. B.C. D.12．設(shè)直線與雙曲線（，）的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中，選出2位同學(xué)分別擔(dān)任正、副班長的選法數(shù)可以用表示為____________.14．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會上發(fā)表重要講話，莊嚴(yán)宣告，在迎來中國共產(chǎn)黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅(jiān)取得了全面勝利.在脫貧攻堅(jiān)過程中，為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，工作人員對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中所存確結(jié)論的序號是____________①該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%；②該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%；③估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計(jì)該地有一半以上農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間15．直線的傾斜角的取值范圍是______.16．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其中.（1）若“”為真命題，求的取值范圍：（2）若“”為假命題，“”為真命題，求的取值范圍.18．（12分）函數(shù)（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍19．（12分）在等比數(shù)列中，是與的等比中項(xiàng)，與的等差中項(xiàng)為6（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，遞增等比數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.21．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)的橢圓；（2）與雙曲線－＝1有相同的漸近線且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線.22．（10分）設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E（1）判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作斜率為，的兩條直線，分別交點(diǎn)E的軌跡于M，N兩點(diǎn)，且，證明：直線MN必過定點(diǎn)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.有圖知，由題得、、、.，，.設(shè)平面的一個法向量，則，，令，得，，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡化分析過程，直接用計(jì)算的方式解決問題，是基礎(chǔ)題.2、D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.3、A【解析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A4、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時弦長最短，最長為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時，弦長最短，，所以弦長，當(dāng)過圓心時，最長等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D5、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列可求得，由此可得出，進(jìn)而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，即，由于數(shù)列也為等差數(shù)列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數(shù)列為常數(shù)列，對任意的，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列基本量的求解，通過等差數(shù)列定義列等式求解公差是解題的關(guān)鍵，另外，在求解有關(guān)等差數(shù)列基本問題時，可充分利用等差數(shù)列的定義以及等差中項(xiàng)法來求解.6、B【解析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B7、D【解析】命題：可能為0，不為0，假命題，命題：，為真命題，所以“或”為真命題，“且”為假命題．選D.8、D【解析】利用分布計(jì)數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點(diǎn)落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會都是等可能的，點(diǎn)P（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點(diǎn)P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點(diǎn)：古典概型點(diǎn)評:本題考查先判斷出各個結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進(jìn)行求解，直到滿足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D10、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得.【詳解】設(shè)公差，.故選：D11、B【解析】由拋物線知識得出準(zhǔn)線方程，再由點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離求出，從而得出方程.【詳解】由題意知，則準(zhǔn)線為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即，∴，則故選：B.12、C【解析】先求出，的坐標(biāo)，再求中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)滿足，可得，從而求雙曲線的離心率.【詳解】解:由雙曲線方程可知，漸近線為，分別于聯(lián)立，解得：，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意知：從4為同學(xué)中選出2位進(jìn)行排列，即可寫出表示方式.【詳解】1、從4位同學(xué)選出2位同學(xué)，2、把所選出的2位同學(xué)任意安排為正、副班長，∴選法數(shù)為.故答案為：.14、①②④【解析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項(xiàng)①，②，④，利用平均值的計(jì)算方法，即可判斷選項(xiàng)③【詳解】解：對于①，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)①正確；對于②，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)②正確；對于③，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項(xiàng)③錯誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項(xiàng)④正確故答案為：①②④15、【解析】先求出直線的斜率取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求出【詳解】可化為：，所以，由于，結(jié)合函數(shù)在上的圖象，可知故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，以及直線的一般式化斜截式，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）先假設(shè)命題為真命題，求出的取值范圍，為真命題，取補(bǔ)集即可（2）假設(shè)命題為真命題，求出的取值范圍，根據(jù)題意，則命題假設(shè)和命題一真一假，分類討論求的取值范圍【小問1詳解】解：若為真命題，則，解得，若“”為真命題，則為假命題，或；【小問2詳解】若為真命題，則解得，若“”為假命題，則“”為真命題，則與一真一假，①若真假，則解得，②若真假，則解得，綜上所述，，即的取值范圍為.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和（2）【解析】（1）求出，然后可得答案；（2）由條件可得，設(shè)，則，然后利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，，然后分、兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】由題可得令，得；令，得，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和【小問2詳解】由，得，即設(shè)，則設(shè)，則當(dāng)時，，，所以所以即在上單調(diào)遞增，則若，則，所以h(x)在上單調(diào)遞增所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合題意若a＞2，則，必存在正實(shí)數(shù)，滿足：當(dāng)時，，h(x)單調(diào)遞減，此時h(x)＜h(0)＝0，不符合題意綜上所述，a的取值范圍是19、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比，根據(jù)給定條件列出方程求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用分組求和法計(jì)算作答.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，依題意，，即，解得，所以的通項(xiàng)公式【小問2詳解】由(1)知，，.20、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求【小問1詳解】，當(dāng)時，，也滿足上式，∴，則.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，.【小問2詳解】①①①②：∴21、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）由題意設(shè)雙曲線的共漸近線方程為,再將的坐標(biāo)代入方程可求出的值，從而可求出雙曲線方程【小問1詳解】因?yàn)?，所以P、Q分別是橢圓長軸和短軸上的端點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)與雙曲線共漸近線的方程為,代入點(diǎn)，解得m=2,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22、（1）與半徑相等，（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點(diǎn)E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進(jìn)行討論，由設(shè)而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過定點(diǎn)的條件即可解決.【小問1詳解】圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因?yàn)?，故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓（不包括左右頂點(diǎn)），且有，，即，，，