專題18導(dǎo)數(shù)之隱零點問題(原卷版+解析)

專題18導(dǎo)數(shù)之隱零點問題1．已知函數(shù)（表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)），若函數(shù)的零點為，則（）A． B．-2 C． D．2．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是____.3．已知函數(shù)．（1）求的最值；（2）若對恒成立，求的取值范圍．4．已知函數(shù)，證明．5．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：．6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，證明：．7．已知函數(shù)在上有兩個極值點，，且．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，．8．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，為整數(shù)，且當(dāng)時，，求的最大值．9．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：不等式恒成立．10．已知函數(shù)（1）若是的極值點，求的值，并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．12．已知二次函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)極大值點，求證：..13．已知函數(shù)，且.（1）求；（2）證明：存在唯一極大值點，且.14．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：.15．已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若在上的最大值為，求證：.16．已知函數(shù)且.（1）求實數(shù)的值；（2）令在上的最小值為，求證：.17．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，討論在的單調(diào)性；（2）若，對任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．18．已知函數(shù)，．（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值；（2）當(dāng)時，證明：專題18導(dǎo)數(shù)之隱零點問題1．已知函數(shù)（表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)），若函數(shù)的零點為，則（）A． B．-2 C． D．【解析】因為，所以在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；又，所以在上必然存在零點，即，因此，所以.故選B2．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是____.【解析】函數(shù)有三個零點等價于與有三個不同的交點，當(dāng)時，，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，從而可得圖象如下圖所示：通過圖象可知，若與有三個不同的交點，則3．已知函數(shù)．（1）求的最值；（2）若對恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，無最大值．（2）由題知，在上恒成立，令，則，因為，所以．設(shè)，易知在上單調(diào)遞增．因為，，所以存在，使得，即．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故的取值范圍為．4．已知函數(shù)，證明．【解析】在上單調(diào)遞增，，，在存在唯一實數(shù)根，且，當(dāng)時，，，時，，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，即，，．5．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：．【解析】（1）時，令，可化為，即，易知為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．（2）令，可化為，，當(dāng)時，易知為上增函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，而，所以存在，，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以．6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，證明：．【解析】（1）∵，，∴，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無極值；當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)的極小值為，無極大值．（2）證明：令，，故，令的根為，即，兩邊求對數(shù)得，即，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴，∴，即原不等式成立．7．已知函數(shù)在上有兩個極值點，，且．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，．【解析】（1），，由題意知方程在上有兩不等實根，設(shè)，其圖象的對稱軸為直線，故有，解得．（2）證明：由題意知是方程的大根，從而，，由于，，．設(shè)，，，，在，遞增，，即成立．8．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，為整數(shù)，且當(dāng)時，，求的最大值．【解析】（1），，，，，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．（2），．若，則恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．3）由于，所以，．故當(dāng)時，．①令，則．函數(shù)在上單調(diào)遞增，而（1），（2）．所以在上存在唯一的零點，故在上存在唯一的零點．設(shè)此零點為，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，在上的最小值為．由，可得，所以，，．由于①式等價于．故整數(shù)的最大值為2．9．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：不等式恒成立．【解析】（1），當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得到，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）設(shè)函數(shù)，則，可知在上單調(diào)遞增．又由，，知在上有唯一實數(shù)根，且，則，即．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合，知，所以，則，即不等式恒成立．10．已知函數(shù)（1）若是的極值點，求的值，并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．【解析】（1）由函數(shù)的定義域，因為，是的極值點，所以（1），所以，所以，因為和，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；時，，此時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）證明：當(dāng)時，，設(shè)，則，因為和，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為（1），（2），所以存在使得，所以在上使得，在，上，所以在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，因為，即，所以，所以，因為，所以，所以．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)a＝－1時，f′(x)＝－2x－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(－2x2－x＋1,x)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2)(負(fù)值舍去)，當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時，f′(x)>0；當(dāng)x>eq\f(1,2)時，f′(x)<0.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－eq\f(lnx,x).令g(x)＝x－eq\f(lnx,x)，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，則g′(x)＝1－eq\f(1－lnx,x2)＝eq\f(x2＋lnx－1,x2)，令g′(x)＝0，得x＝1，當(dāng)eq\f(1,3)≤x<1時，g′(x)<0；當(dāng)1<x≤3時，g′(x)>0，∴g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,3]，∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有兩個零點，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝3ln3＋eq\f(1,3)，g(3)＝3－eq\f(ln3,3)，3ln3＋eq\f(1,3)>3－eq\f(ln3,3)，∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，3－\f(ln3,3))).12．已知二次函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)極大值點，求證：..【解析】（1），，當(dāng)時，在上恒正；所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，由得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2），則，，令的，當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)；所以，在處取得極大值，一定有個零點，分別是的極大值點和極小值點.設(shè)是函數(shù)的一個極大值點，則，所以，又，所以，此時，所以.13．已知函數(shù)，且.（1）求；（2）證明：存在唯一極大值點，且.【解析】（1）因為,且,所以,構(gòu)造函數(shù),則,又,若,則,則在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時,矛盾,舍去；若,則,則當(dāng)時,，則在上單調(diào)遞增，則矛盾，舍去；若,則,則當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,則矛盾,舍去；若,則當(dāng)時,,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,則,滿足題意；綜上所述,.（2）證明:由（1）可知,則,構(gòu)造函數(shù),則,又在上單調(diào)遞增,且,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,,又,結(jié)合零點存在性定理知,在區(qū)間存在唯一實數(shù),使得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故存在唯一極大值點,因為,所以,故,因為,所以.14．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域是，.當(dāng)時，恒成立，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時，令得時，令得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：當(dāng)時，，則.當(dāng)時，，令，則.所以在上單調(diào)增.因為，，所以存在使得，即，即.故當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以.15．已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若在上的最大值為，求證：.【解析】（1）因為函數(shù)，定義域為，所以.由，得；由，得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以的極小值為，無極大值.（2）因為，所以.令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.因為，，所以存在使得，即，即.故當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增.則當(dāng)時，，，所以.由（1）知在上單調(diào)遞減，因為，，所以.16．已知函數(shù)且.（1）求實數(shù)的值；（2）令在上的最小值為，求證：.【解析】（1）法1：由題意知：恒成立等價于在時恒成立，令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，由于，所以當(dāng)時，，不合題意.當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即.所以要使在時恒成立，則只需，亦即，令，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以滿足條件的只有2，即.法2：由題意知：恒成立等價于在時恒成立，令，由于，故，所以為函數(shù)的最大值，同時也是一個極大值，故.又，所以，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.故合題意.（2）由（1）知，所以，令，則，由于，所以，即在上單調(diào)遞增；又，，所以，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以.（∵）即，所以，即.17．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，討論在的單調(diào)性；（2）若，對任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】（1）因為，令，則．所以函數(shù)在單調(diào)遞增，從而，所以．由，得；由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）因為，對任意恒成立，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得，又，由（1）知當(dāng)時，，所以，所以存在唯一的，使得，即．當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，