數(shù)字信號處理-第五章-數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

第五章

數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法掌握IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)（直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型）掌握FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)（直接型、級聯(lián)型、線性相位型）

0、數(shù)字濾波器的概念 １)濾波器：指對輸入信號起濾波作用的裝置。

,對其進(jìn)行傅氏變換得:

2)當(dāng)輸入、輸出是離散信號，濾波器的沖激響應(yīng)是單位抽樣響應(yīng)h(n）時，這樣的濾波器稱作數(shù)字濾波器。§5.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及表示πωcω00ωcπω0ωcπωH(ejω)為矩形窗時的情形1、數(shù)字濾波器的表示：差分方程和系統(tǒng)函數(shù)單位延時基本運(yùn)算單元方框圖流圖加法器常數(shù)乘法器2、結(jié)構(gòu)表示：方框圖和信號流圖法+1/z1/z)(nx0a1b-)(ny一階離散系統(tǒng)方框圖1a)(nx)(ny1/z1/z0a1a1b-一階離散系統(tǒng)信流圖

幾個基本概念：

a）輸入節(jié)點(diǎn)或源節(jié)點(diǎn)，所處的節(jié)點(diǎn)；

b）輸出節(jié)點(diǎn)或阱節(jié)點(diǎn)，所處的節(jié)點(diǎn)；

c）分支節(jié)點(diǎn)，一個輸入，一個或一個以上輸出的節(jié)點(diǎn)；將值分配到每一支路;d）相加器（節(jié)點(diǎn))或和點(diǎn)，有兩個或兩個以上輸入的節(jié)點(diǎn)。支路不標(biāo)傳輸系數(shù)時，就認(rèn)為其傳輸系數(shù)為1；任何一節(jié)點(diǎn)值等于所有輸入支路的信號之和。

1例如，和點(diǎn)：1，5；分點(diǎn)：2，3，4；源點(diǎn)：6；阱點(diǎn)：7235467a1y(n-1)3、實(shí)現(xiàn)方式：軟件與硬件4、軟件方式：通用計算機(jī)或?qū)Ｓ糜嬎銠C(jī)5、典型結(jié)構(gòu)——無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）濾波器§5.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)一、IIR濾波器的特點(diǎn)

1、單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的（定義的由來）

2、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面上有極點(diǎn)存在；

3、結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結(jié)構(gòu)上的遞歸型的。二、有限階IIR的表達(dá)式：（其中至少有一個

ak≠0）三、IIR濾波器四種結(jié)構(gòu)1、直接I型)(nx)(ny1/z1/z0b1b1/z1/z1/z...1/z1/z1/z1a2aNa2bNb結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：直接實(shí)現(xiàn)第一個網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)第二個網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)

N+M個時延單元2、直接II型:典范型1/z0b1b1/z1/z1/z2bMb1/z1/z1/z1/z1a2aNa)(nx)(ny

1/z1/z1/z1/z1/zb0b1b2b3bMa1a2a3aNx(n)y(n)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：Max(N、M)個時延單元。

直接型的共同缺點(diǎn)：系數(shù)ak，bk

對濾波器的性能控制作用不明顯極點(diǎn)對系數(shù)的變化(量化效應(yīng))過于靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差運(yùn)算的累積誤差較大Example

-ConsiderthecausalIIRtransferfunctionTheplotoftheimpulseresponsecoefficientsisshownonthenext:Ascanbeseenfromtheaboveplot,theimpulseresponsecoefficienth[n]decaysrapidlytozerovalueasnincreasesh[n]Theabsolutesummabilityconditionofh[n]issatisfied.Hence,H(z)isastabletransferfunctionNow,considerthecasewhenthetransferfunctioncoefficientsareroundedtovalueswith2digitsafterthedecimalpoint:^Aplotoftheimpulseresponseofisshownbelow^^Inthiscase,theimpulseresponsecoefficient increasesrapidlytoaconstantvalueasnincreasesHence,theabsolutesummabilityconditionofisviolatedThus,isanunstabletransferfunction^^3、級聯(lián)型(CascadeForm)將系統(tǒng)函數(shù)按零極點(diǎn)因式分解:

再將共軛因子展開，構(gòu)成實(shí)系數(shù)二階因子，則得：

為了方便，分子取正號，分母取負(fù)號；這樣，流圖上

最后，將兩個一階因子組合成二階因子（或?qū)⒌南禂?shù)均為正。一階因子看成是二階因子的退化形式），則有結(jié)構(gòu)：將分解為一階及二階系統(tǒng)的串聯(lián)，每級子系統(tǒng)都用典范型實(shí)現(xiàn)。特點(diǎn)：方便調(diào)整極點(diǎn)和零點(diǎn)；但分解不唯一;實(shí)際中需要優(yōu)化；所用的存儲器的個數(shù)最少。注意：*如果有奇數(shù)個實(shí)零點(diǎn)，則有一個同樣，如果有奇數(shù)個實(shí)極點(diǎn)，則有一個*通常M=N時，共有[（N+1）/2]節(jié)，符號[(N+1)/2]

表示取（N+1)/2的整數(shù)。Byexpressingthenumeratorandthedenominatorpolynomialsofthetransferfunctionasaproductofpolynomialsoflowerdegree,adigitalfiltercanberealizedasacascadeoflow-orderfiltersectionsConsider,forexample,H(z)=P(z)/D(z)expressedasExamplesofcascaderealizationsobtainedbydifferentpole-zeropairingsareshownbelowExamplesofcascaderealizationsobtainedbydifferentorderingofsectionsareshownbelowbasedonpole-zero-pairingsandorderingDuetofinitewordlengtheffects,eachsuchcascaderealizationbehavesdifferentlyfromothersTherearealtogetheratotalof36differentcascaderealizationsof4、并聯(lián)型(ParalleForm)將因式分解的H(z)展成部分分式：；其中，均為實(shí)數(shù)，與復(fù)共軛當(dāng)M<N時，不包含；M=N時，該項(xiàng)為G0！當(dāng)M=N時，將兩個一階實(shí)極點(diǎn)合為一項(xiàng)，將共軛極點(diǎn)化成實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式，H(z)

可表為：注意：一般IIR濾波器皆滿足M≤N條件；上頁分解式表示系統(tǒng)由N1個一階系統(tǒng)、N2個二階系統(tǒng)以及延時加權(quán)單元并聯(lián)組合而成。當(dāng)N為奇數(shù)時，包含一個一階節(jié)，即：特點(diǎn):方便調(diào)整極點(diǎn)，不便于調(diào)整零點(diǎn)；部分分式展開計算量大。1/z1/zM1bM2bM1aM2a1/z1/z11b21b11a21a1/z1/z0A1ALA)(nx)(ny結(jié)構(gòu)：將H(z)分解為一階及二階系統(tǒng)的并聯(lián)(部分分式展開)，每級子系統(tǒng)都用典范型實(shí)現(xiàn)。IIR濾波器結(jié)構(gòu)表示舉例例：用典范型（II型）和一階級聯(lián)型、并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)方程：解：直接型、一階級聯(lián)和并聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)表示：圖示如下：轉(zhuǎn)置定理——對于一個信號流圖，如果將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向加以倒轉(zhuǎn)，且將輸入x(n)和輸出有y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)仍不改變。直接II型的轉(zhuǎn)置:例5.1,P274

作業(yè)：

5.6,

5.7(b)(c),

5.18(1)(2)(3)§5.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)不存在極點(diǎn)(z=0除外)，系統(tǒng)函數(shù)在處收斂。系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)在有限個n

值處不為零。結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋。一、FIR的特點(diǎn)：注：h(n)為N點(diǎn)序列，Z=0處為N-1階極點(diǎn)（因果系統(tǒng)）；z-->∞，有（N-1）階零點(diǎn)。二、FIR結(jié)構(gòu)1、橫截型(又稱為直接型或卷積型，直接完成差分方程）X(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)z-1z-1z-1通過轉(zhuǎn)置定理，可得另一結(jié)構(gòu)（見教材圖5.13）；特點(diǎn):N個延遲單元；不方便調(diào)整零點(diǎn)。將H(z)分解為二階實(shí)系數(shù)因子的乘積:2、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)：

特點(diǎn):便于調(diào)整零點(diǎn)；所需系數(shù)多，乘法次數(shù)也多。注：[N/2]表示取N/2的整數(shù)部分，如N為偶數(shù)時，N-1為奇數(shù)，這時因?yàn)橛衅鏀?shù)個根，所以中有一個為零。當(dāng)N為奇數(shù)時的結(jié)構(gòu)如下：3、頻率采樣型結(jié)構(gòu)（不作要求）：1）理論型：由以及頻率采樣表達(dá)的內(nèi)插公式得：其中： 為梳狀濾波器； (諧振器)其極點(diǎn)正好與零點(diǎn)對消。關(guān)于梳狀濾波器說明梳狀濾波器傳輸函數(shù):梳狀濾波幅頻特性:梳狀濾波相頻特性:頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn):①便于控制濾波器頻率響應(yīng)，因?yàn)闉V波器的系數(shù)H(k)就是在處的頻率響應(yīng)值。②需要復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算;③理論上諧振器的極點(diǎn)正好與零點(diǎn)對消，但實(shí)際上的有限字長效應(yīng)，使之不能對消，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。理論型頻率采樣型結(jié)構(gòu)圖示2）實(shí)際型(解決量化誤差引入的不穩(wěn)定)

第一步:采樣點(diǎn)修正為:Z平面采樣點(diǎn)圖(N=8)Z平面1-1jj-r將零極點(diǎn)移至半徑為r的圓上

第二步:內(nèi)插公式為:實(shí)際型4、快速卷積結(jié)構(gòu)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)DFTXL點(diǎn)IDFTx(n)h(n)y(n)X(k)H(k)Y(k)結(jié)構(gòu)圖示為:設(shè):

有:5、線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器單位抽樣響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，且滿足：偶對稱：或奇對稱：即對稱中心在(N-1)/2處則這種FIR濾波器具有嚴(yán)格線性相位。N為奇數(shù)時h(n)偶對稱，取“+”h(n)奇對稱，取“-”，且N為偶數(shù)時ComparisonofIIRandFIRfilters：IIRfilterFIRfilterh(n)isinfinitelengthh(n)isfinitelengthH(z)isarationalfunctionofz-1WithalowerorderofNIIRNonlinearphaseWitharecursivestructureCannotbecomputedwithFFTCanbedesignedfromanalogprototypefilterH(z)isapolynomialinz-1

WithaconsiderablyhigherorderofNFIR

ExactlinearphaseIngeneral,isnotarecursivestructureCanbecomputedwithFFTDesignedwiththeaidofcomputerIIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)的比較

IIR濾波器

FIR濾波器h(n)

是無限長序列h(n)是有限長序列H(z)

是關(guān)于z-1的有理分式H(z)

是關(guān)于