高考真題+知識(shí)總結(jié)+方法總結(jié)+題型突破04平面向量問題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第頁近年高考真題+優(yōu)質(zhì)模擬題匯編(全國(guó)通用)專題04平面向量問題【高考真題】1．(2022·全國(guó)乙理)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，則a·b＝()A．－2B．－1C．1D．21．答案C解析∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又∵|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，∴a·b＝1．故選C．2．(2022·全國(guó)乙文)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則|a－b|＝()A．2B．3C．4D．52．答案D解析因?yàn)閍－b＝(4，－3)，，所以|a－b|＝5．故選D．3．(2022·全國(guó)甲理)設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為eq\f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，則(2a＋b)b＝________．3．答案11解析設(shè)a，b的夾角為θ，因?yàn)閍與b的夾角的余弦值為eq\f(1,3)，即cosθ＝eq\f(1,3)，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cosθ＝1，所以(2a＋b)b＝2a·b＋|b|2＝11．故答案為11．4．(2022·全國(guó)甲文)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，則m＝________．4．答案－eq\f(3,4)解析由題意知a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－eq\f(3,4)，故答案為－eq\f(3,4)．5．(2022·新高考Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n5．答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝2(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝3n－2m＝－2m＋3n．故選B．爪子定理如圖1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝3n－2m＝－2m＋3n．故選B．如圖2，eq\o(CA,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)m－n．沒答案．6．(2022·新高考Ⅱ)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若<a，c>＝<b，c>，則t＝()A．－6B．－5C．5D．66．答案C解析c＝(3＋t，4)，cos<a，c>＝cos<b，c>，即eq\f(9＋3t＋16,5|c|)＝eq\f(3＋t,|c|)，解得t＝5，故選C．7．(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－5，3]B．[－3，5]C．[－6，4]D．[－4，6]7．答案D解析依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，因?yàn)镻C＝1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π]，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3－cosθ，－sinθ)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－cosθ，4－sinθ)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－cosθ)(3－cosθ)＋(4－sinθ)(－sinθ)＝cos2θ－3cosθ－4sinθ＋sin2θ＝1－3cosθ－4sinθ＝1－5sin(θ＋φ)，其中sinφ＝eq\f(3,5)，cosφ＝eq\f(4,5)，因?yàn)椋?≤sin(θ＋φ)≤1，所以－4≤1－5sin(θ＋φ)≤6，即eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－4，6]，故選D．極化恒等式法設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連接CM，則|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，即點(diǎn)M在如圖所示的圓弧上，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(25,4)≥(|CM|－1)2－eq\f(25,4)＝－4．eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(25,4)≤(|CM|＋1)2－eq\f(25,4)＝6．【知識(shí)總結(jié)】1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．2．向量a與b的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向．如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，我們說a與b垂直，記作a⊥b.3．平面向量的數(shù)量積(1)若a，b為非零向量，夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.4．兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.5．利用數(shù)量積求長(zhǎng)度(1)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).6．利用數(shù)量積求夾角設(shè)a，b為非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【常用結(jié)論】1．“爪”子定理形式1：在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，如果|BD|＝m，|DC|＝n，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(AB,\s\up7(→))，其中eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))知二可求一．特別地，若D為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))．形式2：在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))，其中eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))知二可求一．特別地，若D為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))．形式1與形式2中eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))的系數(shù)的記憶可總結(jié)為：對(duì)面的女孩看過來(歌名，原唱任賢齊)2．極化恒等式三角形模式如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差．【同類問題】題型一向量的線性運(yùn)算1．(2015·全國(guó)Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))1．答案A解析eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，故選A．2．(2014·全國(guó)Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\o(BC,\s\up7(→))D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))2．答案A解析eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，故選A．3．(2018·全國(guó)Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))3．答案A解析∵E是AD的中點(diǎn)，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，又知D是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，因此eq\o(EB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))．4．在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))分別為a，b，則eq\o(AH,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bD．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b4．答案B解析如圖，過點(diǎn)F作BC的平行線交DE于G，則G是DE的中點(diǎn)，且eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，易知△AHD∽△FHG，從而eq\o(HF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AH,\s\up6(→))，∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b，故選B．5．(多選)在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，AD，BE，CF交于點(diǎn)G，則()A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))D．eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝05．答案CD解析如圖，因?yàn)辄c(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，故A不正確；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，故B不正確；eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))，故C正確；由題意知，點(diǎn)G為△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，故D正確．故選CD．6．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)6．答案A解析由題意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)．7．(2013·江蘇)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC．若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．7．答案eq\f(1,2)解析由題意，得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2)．8．如圖，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(8,9)B．eq\f(4,9)C．eq\f(8,3)D．eq\f(4,3)8．答案A解析eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))．因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(2,9)，則λ＋μ＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,9)．9．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．3D．2eq\r(3)9．答案A解析如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，因?yàn)椤螪AB＝60°，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3)．10．(2017·江蘇)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))的模分別為1，1，eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))的夾角為α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))的夾角為45°．若eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)，則m＋n＝__________．10．答案3解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，由tanα＝7，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得sinα＝eq\f(7,5\r(2))，cosα＝eq\f(1,5\r(2))，設(shè)C(xC，yC)，B(xB，yB)，則xC＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|cosα＝eq\r(2)×eq\f(1,5\r(2))＝eq\f(1,5)，yC＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|sinα＝eq\r(2)×eq\f(7,5\r(2))＝eq\f(7,5)，即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(7,5)))．又cos(α＋45°)＝eq\f(1,5\r(2))×eq\f(1,\r(2))－eq\f(7,5\r(2))×eq\f(1,\r(2))＝－eq\f(3,5)，sin(α＋45°)＝eq\f(4,5)，則xB＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|cos(α＋45°)＝－eq\f(3,5)，yB＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|sin(α＋45°)＝eq\f(4,5)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，由eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＝m－\f(3,5)n，,\f(7,5)＝\f(4,5)n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4)，))所以m＋n＝eq\f(5,4)＋eq\f(7,4)＝3．題型二平面向量的平行與垂直11．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．11．答案eq\f(1,2)解析由題意得2a＋b＝(4，2)，因?yàn)閏＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝eq\f(1,2)．12．(2018·全國(guó)Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．12．答案eq\f(1,2)解析2a＋b＝(4，2)，因?yàn)閏＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝eq\f(1,2)．13．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb與c共線，則實(shí)數(shù)λ＝()A．eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)13．答案B解析解法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，因?yàn)閍＋λb與c共線，所以必定存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得a＋λbeq\a\vs4\al(＝)μc，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－λ＝2μ，,4＋λ＝3μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(6,5)，,λ＝－\f(2,5).))解法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，由a＋λb與c共線可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－eq\f(2,5)．14．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－3b共線，則eq\f(m,n)＝________．14．答案－eq\f(1,3)解析由eq\f(2,－1)≠eq\f(3,2)，所以a與b不共線，又a－3b＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么當(dāng)ma＋nb與a－3b共線時(shí)，有eq\f(m,1)＝eq\f(n,－3)，即得eq\f(m,n)＝－eq\f(1,3)．15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(6，3)，若點(diǎn)P在直線OA上，且|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))|，P是OB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_________．15．答案(4，2)或(－12，－6)解析∵點(diǎn)P在直線OA上，∴eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(PA,\s\up6(→))，又∵|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))|，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝±eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，設(shè)點(diǎn)P(m，n)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6－m，3－n)．①若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，則(m，n)＝eq\f(1,2)(6－m，3－n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)6－m，,n＝\f(1,2)3－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1，))∴P(2，1)，∵P是OB的中點(diǎn)，∴B(4，2)．②若eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，則(m，n)＝－eq\f(1,2)(6－m，3－n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2)6－m，,n＝－\f(1,2)3－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－6，,n＝－3，))∴P(－6，－3)，∵P是OB的中點(diǎn)，∴B(－12，－6)．綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，2)或(－12，－6)．16．(2020·全國(guó)Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是()A．a(chǎn)＋2bB．2a＋bC．a(chǎn)－2bD．2a－b16．答案D解析由題意得|a|＝|b|＝1，設(shè)a，b的夾角為θ＝60°，故a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(1,2)．對(duì)A項(xiàng)，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝eq\f(1,2)＋2＝eq\f(5,2)≠0；對(duì)B項(xiàng)，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×eq\f(1,2)＋1＝2≠0；對(duì)C項(xiàng)，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)≠0；對(duì)D項(xiàng)，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×eq\f(1,2)－1＝0．17．(2021·全國(guó)乙)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________．17．答案eq\f(3,5)解析方法一a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝eq\f(3,5)．方法二由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，從而λ＝eq\f(a·b,b2)＝eq\f(1，3·3，4,32＋42)＝eq\f(15,25)＝eq\f(3,5)．18．(2020·全國(guó)Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝________．18．答案eq\f(\r(2),2)解析由題意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0．因?yàn)閍，b為單位向量，且夾角為45°，所以k×12－1×1×eq\f(\r(2),2)＝0，解得k＝eq\f(\r(2),2)．19．(2018·北京)設(shè)向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，則m＝________．19．答案－1解析由題意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根據(jù)向量垂直的充要條件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1．20．(2017·全國(guó)Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________．20．答案7解析因?yàn)閍＋b＝(m－1，3)，a＋b與a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7．題型三面向量數(shù)量積21．(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．21．答案－16解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AM|2－eq\f(1,4)|BC|2＝9－eq\f(1,4)×100＝－16．22．如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝()A．1B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)22．答案B解析取AO中點(diǎn)Q，連接PQ，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PO,\s\up7(→))＝PQ2－AQ2＝eq\f(5,16)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)．23．如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝()A．13B．7C．5D．323．答案C解析連接AP，BP，則eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(PN,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→)))·(eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→)))＝eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝－eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝1×6－1＝5．24．(2016·江蘇)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．24．答案eq\f(7,8)解析極化恒等式法設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n．根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1．聯(lián)立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8)．因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8)．即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8)．坐標(biāo)法以直線BC為x軸，過點(diǎn)D且垂直于BC的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy，如圖：設(shè)A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)，則有E(2a，2b)，F(xiàn)(a，b)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，則a2＋b2＝eq\f(5,8)，c2＝eq\f(13,8)eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－c，2b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－c，2b))＝4a2－c2＋4b2＝eq\f(7,8)．基向量eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4\o(AD,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝eq\f(36\o(FD,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4\o(FD,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝－1，因此eq\o(FD,\s\up6(→))2＝eq\f(5,8)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(13,2)，eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))(eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4\o(ED,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝eq\f(16\o(FD,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,4)＝eq\f(7,8)．25．在梯形ABCD中，滿足AD∥BC，AD＝1，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))的值為________．25．答案4解析過A點(diǎn)作AE平行于DC，交BC于E，取BE中點(diǎn)F，連接AF，過D點(diǎn)作DH平行于AC，交BC延長(zhǎng)線于H，E為BH中點(diǎn)，連接DE，，，又，AD∥BC，則四邊形ADEF為平行四邊形，，．26．在三角形ABC中，D為AB中點(diǎn)，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F(xiàn)分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF＝1，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))最小值為________．26．答案eq\f(15,4)解析設(shè)EF的中點(diǎn)為M，連接CM，則|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)，即點(diǎn)M在如圖所示的圓弧上，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝|eq\o(DM,\s\up6(→))|2－|eq\o(EM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DM,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)≥||CD|－eq\f(1,2)|2－eq\f(1,4)＝eq\f(15,4)．27．(2017·全國(guó)Ⅱ)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3)D．－127．答案B解析解析法建立坐標(biāo)系如圖①所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，eq\r(3))，B(－1，0)，C(1，0)．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，圖①則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－eq\r(3)y)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2－\f(3,4)))≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(3,2)．當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值為－eq\f(3,2)．故選B．幾何法如圖②所示，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))(D為BC的中點(diǎn))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))．圖②要使eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))最小，則eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PD,\s\up6(→))方向相反，即點(diǎn)P在線段AD上，則(2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→)))min＝－2|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|，問題轉(zhuǎn)化為求|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|的最大值．又當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，|eq\o(PA,\s\up6(→))|＋|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(PA,\s\up6(→))|＋|\o(PD,\s\up6(→))|,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，∴[eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))]min＝(2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→)))min＝－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2)．故選B．極化恒等式法設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為M，連接DP，PM，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(3,2)≥－eq\f(3,2)．當(dāng)且僅當(dāng)M與P重合時(shí)取等號(hào)．28．已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是_____．28．答案[