新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第26講外接圓問題(原卷版+解析)

第26講外接圓問題一．解答題1．已知拋物線，是的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求切線，的方程；（2）設(shè)圓是的外接圓，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，求圓的方程．2．已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切．（Ⅰ）求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作曲線的切線，，兩條切線相交于點(diǎn)，求外接圓面積的最小值．3．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，，、是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且求橢圓的離心率；設(shè)直線上有一點(diǎn)，在△的外接圓上，求的值．4．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且滿足，求外接圓的方程．5．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過拋物線的焦點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，使得，求證：的外接圓過點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在上的投影為，求的最大值．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線與線段、分別交于點(diǎn)、．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求以，為焦點(diǎn)，且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，記的外接圓為圓．①求證：圓心在定直線上；②圓是否恒過異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．7．已知的邊邊所在直線的方程為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)在邊所在直線上且滿足．求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為正整數(shù)．試討論在的外接圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？說明理由．8．過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，，．（Ⅰ）證明：為定值；（Ⅱ）記的外接圓的圓心為點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，試判斷以為直徑的圓是否恒過點(diǎn)？并說明理由．9．已知拋物線，為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求過，，三點(diǎn)的圓的方程；（2）若，是上的任意點(diǎn)，求證：點(diǎn)處的切線的斜率為；（3）證明：以為直徑的圓恒過點(diǎn)．10．（2020?廣州一模）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程．第26講外接圓問題一．解答題1．已知拋物線，是的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求切線，的方程；（2）設(shè)圓是的外接圓，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，求圓的方程．【解答】解：（1）拋物線，準(zhǔn)線的方程，點(diǎn)在軸上，，設(shè)，，，，且，由，求導(dǎo)，，解得，切線的方程為，即，同理可得切線的方程為，（2）如圖：設(shè)點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為，由△．，即切線，互相垂直．即是直角三角形，的外接圓直徑為弦．當(dāng)圓的面積最小時(shí)，即是最短時(shí)，，此時(shí)垂直軸，的外接圓圓心為，圓的方程為．2．已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切．（Ⅰ）求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作曲線的切線，，兩條切線相交于點(diǎn)，求外接圓面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，依題意．設(shè)，則有．化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)的軌跡的方程為．（Ⅱ）設(shè)，代入中，得．設(shè)，，，，則，．所以．因?yàn)?，即，所以．所以直線的斜率為，直線的斜率為．因?yàn)椋?，即為直角三角形．所以的外接圓的圓心為線段的中點(diǎn)，線段是直徑．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)線段最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為．3．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，，、是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且求橢圓的離心率；設(shè)直線上有一點(diǎn)，在△的外接圓上，求的值．【解答】解：（Ⅰ），且，是和的中點(diǎn)，不妨設(shè)，由，，代入得：，，即橢圓的離心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，得，，橢圓的方程可設(shè)為．若，則，線段的垂直平分線的方程為，直線與軸的交點(diǎn)是△外接圓的圓心．因此，外接圓的方程為．直線的方程為，于是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組：，由，解得．故；若，則，同理可得．．4．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且滿足，求外接圓的方程．【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，①橢圓的離心率為，，即②聯(lián)立①②解得：，，橢圓的方程為；（2）橢圓的方程為，，．設(shè)，，則，③，且，，即，④聯(lián)立③④解得：，或，，或，當(dāng)為時(shí)，，的外接圓是以為圓心，1為半徑的圓，此時(shí)外接圓的方程為：；當(dāng)為時(shí)，設(shè)的外接圓方程為：，則，解得，此時(shí)外接圓的方程為：，綜上所述，的外接圓的方程為：或．5．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過拋物線的焦點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，過作兩條直線和，其斜率分別為、，滿足，，它們分別是橢圓的上半部分相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，使得，求證：的外接圓過點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在上的投影為，求的最大值．【解答】（1）解：由已知，設(shè)橢圓的方程為，則，離心率為，，，橢圓的方程為；（2）證明：由題意，，并且和，關(guān)于軸對(duì)稱，與，與也分別關(guān)于軸對(duì)稱，的方程代入橢圓方程，可得，或，，或，直線是橢圓的上半部分相交，，，和的方程分別為或，令，可得，，，，，，四點(diǎn)共圓，的外接圓過點(diǎn)；（3）設(shè)，則，，由拋物線的定義及梯形的中位線定理可得，時(shí)，的最大值為．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線與線段、分別交于點(diǎn)、．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求以，為焦點(diǎn)，且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，記的外接圓為圓．①求證：圓心在定直線上；②圓是否恒過異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，當(dāng)時(shí)，中點(diǎn)為，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）①證明：直線；；所以可得，，，直線交于點(diǎn)，設(shè)的外接圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為圓心在定直線上；②由①可得圓的方程為：整理可得，且聯(lián)立此兩方程解得，或，圓恒過異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為，．7．已知的邊邊所在直線的方程為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)在邊所在直線上且滿足．求邊所在直線的方程；求的外接圓的方程；若點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為正整數(shù)．試討論在的外接圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？說明理由．【解答】解：，又在上，為，（1分）又邊所在直線的方程為，所以直線的斜率為．（2分）又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為．即．（3分）與的交點(diǎn)為，所以由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，（5分）（6分）又．（7分）從外接圓的方程為：．（8分）若在的外接圓圓上存在點(diǎn)，使得成立，則為線段的垂直平分線與圓的公共點(diǎn)．所以當(dāng)與圓相離時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)；當(dāng)與圓相交或相切時(shí)則存在滿足條件的點(diǎn)．由，，知的斜率為，線段的中點(diǎn)為線段的垂直平分線為（10分）圓的圓心到直線的距離為（11分）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與圓相交，存在滿足條件的點(diǎn)當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與圓相交，存在滿足條件的點(diǎn)當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與圓相離，不存在滿足條件的點(diǎn)．（14分）8．過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，，．（Ⅰ）證明：為定值；（Ⅱ）記的外接圓的圓心為點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，試判斷以為直徑的圓是否恒過點(diǎn)？并說明理由．【解答】解：（Ⅰ）證明：法1：由，得，所以．所以直線的斜率為．因?yàn)辄c(diǎn)，和，在拋物線上，所以，．所以直線的方程為．（1分）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即．（2分）同理，．（3分）所以，是方程的兩個(gè)根．所以．（4分）又，（5分）所以為定值．（6分）法2：設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為，（1分），消去得，由△，化簡(jiǎn)得．（2分）所以．（3分）由，得，所以．所以直線的斜率為，直線的斜率為．所以，即．（4分）又，（5分）所以為定值．（6分）（Ⅱ）法1：直線的垂直平分線方程為，（7分）由于，，所以直線的垂直平分線方程為．①（8分）同理直線的垂直平分線方程為．②（9分）由①②解得，，所以點(diǎn)．（10分）拋物線的焦點(diǎn)為，則．由于，（11分）所以．所以以為直徑的圓恒過點(diǎn)．（12分）另法：以為直徑的圓的方程為．（11分）把點(diǎn)代入上方程，知點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解．所以以為直徑的圓恒過點(diǎn)．（12分）法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的外接圓方程為，由于點(diǎn)，，，在該圓上，則，．兩式相減得，①（7分）由（Ⅰ）知，代入上式得，（8分）當(dāng)時(shí)，得，②假設(shè)以為直徑的圓恒過點(diǎn)，則，即，，，得，③（9分）由②③解得，（10分）所以點(diǎn)．（11分）當(dāng)時(shí)，則，點(diǎn)．所以以為直徑的圓恒過點(diǎn)．（12分）9．已知拋物線，為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求過，，三點(diǎn)的圓的方程；（2）若，是上的任意點(diǎn)，求證：點(diǎn)處的切線的斜率為；（3）證明：以為直徑的圓恒過點(diǎn)．【解答】解：（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得，令△，解得，代入方程得，故得，，因?yàn)榈降闹悬c(diǎn)的距離為2，從而過，，三點(diǎn)的圓的方程為．（2）證明：拋物線，導(dǎo)數(shù)為，可得，是上的任意點(diǎn)，點(diǎn)處的切線的斜率為；（3）證明：設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，，，切線的方程為，即，切線的方程為，即，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，，所以得，①又因?yàn)榍芯€也過點(diǎn)，，所以得，②所以，是方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得，，因?yàn)椋?，，，所以，將，代入，得，則以為直徑的圓恒過點(diǎn)．10．（2020?廣州一模）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：（1）由拋物線的方程可得頂點(diǎn)，由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整